基于彈性需求的高速鐵路列車開行方案優化*

楊宇正，周文梁

(1.廣州鐵路(集團)公司，廣東廣州 510088;2中南大學 商學院，湖南長沙 410083)

列車開行方案確定了高速鐵路上各類開行列車的數量、運行區段以及沿途停站序列等，是高速鐵路列車運營組織的綜合計劃。列車開行方案的編制質量直接決定了高速鐵路列車運營質量與旅客出行服務水平，高質量的列車開行方案不但能夠有效提高高速鐵路運營效益與效率，而且還能因提供旅客高水平的出行服務而吸引更多客流選擇高速鐵路出行，提高高速鐵路客運市場份額。由于列車開行方案質量影響到旅客出行服務水平，而旅客出行服務水平在一定程度上決定了旅客出行需求量，當旅客列車開行方案改變而導致旅客出行服務水平變化時，旅客出行需求量將會作相應的變化。目前，關于固定需求下旅客列車開行方案優化問題的研究成果［1－6］較多，而考慮旅客列車開行方案質量差別對客運需求的影響來優化列車開行方案的研究相對較少，文獻［7－8］設計了基于彈性需求的鐵路旅客列車開行方案優化方法，但這僅考慮了鐵路全天OD需求量與旅客出行服務水平的變化關系，但對于高速鐵路而言，由于全天不同時段客流需求的差異性，列車開行方案分時段進行編制，各時段列車開行方案質量不僅決定了本時段客流出行需求量，而且還影響到其他時段客流需求量大小。換而言之，各時段客流出行需求量同時受到自身時段與其它時段內列車開行方案的影響。本文考慮不同時段列車開行方案與客流出行需求量之間的相互影響關系，通過建立高速鐵路各時段客流出行需求量關于各時段旅客出行服務水平間的函數關系，將旅客是否選擇高速鐵路出行以及選擇出行列車行為描述為彈性需求下的用戶均衡分配問題。在此基礎上，構建彈性需求下高速鐵路列車開行方案優化的雙層規劃模型，并設計相應的模擬退火求解算法。

1 高速鐵路旅客出行彈性需求分析

1.1 旅客出行需求影響因素與出行需求結構分析

高速鐵路旅客出行需求受多方面因素影響，主要包括旅客出行心理因素、高速鐵路運輸產品性能因素以及外部環境因素。這里僅考慮列車開行質量對旅客出行需求的影響，故只需分析與旅客列車開行質量相關的旅客出行各項費用(如換乘費用、票價)因素，而假設其他影響因素不變。

根據旅客出行需求受出行費用的影響程度將其分為剛性出行需求、轉移出行需求及誘增出行需求3部分。其中，剛性出行需求指高速鐵路上不受旅客出行費用影響的出行需求量，為高速鐵路上出行需求的最小值，如圖1(a)所示;轉移出行需求指因旅客出行費用的改變在高速鐵路與其他客運方式之間轉移的出行需求，當旅客出行費用減少，則存在部分需求從其他客運方式轉移到高速鐵路上，反之，則存在部分需求從高速鐵路上轉移到其他客運方式，如圖1(b)所示;誘增出行需求指因旅客出行費用減少而誘增產生的部分出行需求，旅客出行費用越小，誘增的出行需求越多，如圖1(c)所示。

1.2 旅客出行彈性需求函數建立

旅客出行彈性需求函數反映了高速鐵路旅客出行需求量與旅客出行費用之間的變化關系。在彈性需求的概念下，可以視確定需求為彈性需求的均值，或者說，彈性需求可以由確定需求這一均值波動而來。這種波動關系與旅客出行費用相關，若旅客出行費用相對較低，則存在更多需求從其他客運方式中轉移到高速鐵路上，同時誘增更多的出行客流，從而導致高速鐵路出行需求量增加;反之，高速鐵路出行需求減少。以高速鐵路出行需求預測量作為這一確定需求量，結合預測出行需求時的出行費用水平便可建立高速鐵路旅客出行需求與出行費用間的彈性需求函數關系式如下:

圖1 旅客出行需求量與出行費用變化關系圖Fig.1 Varying relation between passenger travel demand and travel cost

其中:fijt為時段t起點i至終點j的旅客出行需求量;f0ijt和分別為起點i至終點j的剛性出行需求量、出行需求預測量;μijt為客流fijt的最小出行費用;為起點i至終點j的時段t之后時段的平均出行費用;為預測出行需求量ˉfijt時的出行費用水平;R1(μijt－)和R2(μijt－)分別為轉移出行需求、誘增出行需求波動率與μijt和兩出行費用之差以及后續時段平均出行費用的變化關系。

2 高速鐵路列車開行方案優化的雙層規劃模型

高速鐵路列車開行方案的制定涉及到高速鐵路企業與旅客雙方面利益，對于高速鐵路企業，在一定的動車組運用數量、線路資源能力限制條件下，以降低列車開行成本、提高列車開行收益為目的制定列車開行方案;旅客只能在高速鐵路企業制定的列車開行方案的限制下，根據其出行廣義費用決定是否選擇高速鐵路出行以及選擇出行列車，而旅客的這種出行選擇結果將直接影響到高速鐵路列車開行效益，成為高速鐵路企業進一步完善列車開行方案依據。由此，可將高速鐵路列車開行方案制定問題描述為一個Leader－Follower問題，其中高速鐵路企業屬于指導者(Leader)，而旅客屬于跟隨者(Follower)。高速鐵路通過列車開行方案來改變旅客廣義出行費用，從而影響旅客出行選擇行為，但不能控制旅客出行選擇行為，以下將構建一個雙層規劃來描述這種關系。

根據高速鐵路客流需求將高速鐵路全天運營時間劃分為t=1，2，…，h個時段，設高速鐵路網N=(S，E)上時段t內的列車開行方案為Ωt={T=(Q，q)}，其中，對于旅客列車T∈Ωt，用QT和qT分別表示列車T的停站序列與開行數量(列車編組一般為固定的一組動車組)，S={1，2，…，n}為高速鐵路車站集，E為高速鐵路路段集，de表示路段e∈E的里程。設時段t起點i到終點j的客流fijt可選擇 σtij種換乘方案Hkijt，k=1，2，…，σtij，則相應的客流量為fkijt。由此便可將上層規劃，即高速鐵路企業制定列車開行方案的決策過程描述如下:

式中:Pkijt為旅客選擇出行路徑Hkijt出行所需花費的票價;cL為列車行駛的單位公里費用，cH為動車組使用的單位小時費用;v為高速鐵路列車的旅行速度;cM為列車的開行組織費用。當車站i為旅客列車 T 的始發站時，η(i，T)=1，否則，η(i，T)=0;L(i)為車站i的最大發車能力;M為可使用的動車組總數。

在以上上層規劃中，式(2)表示為高速鐵路開行列車效益(開行列車票價收入減去各項開行成本)最大化，式(3)表示表示車站發車能力限制，式(4)表示動車組數量限制。

上層規劃中各條出行路徑的客流量fkijt是在給定的列車開行方案Ωt條件下旅客決定是否出行及選擇換乘方案所形成的路徑流量，這是一個基于彈性需求的用戶平衡分配問題。它構成求解f={fkijt}的下層規劃如下:

其中:Ukijt為旅客選擇出行路徑Hkijt出行所需花費的出行時間價值;yT(x)為旅客列車T乘載客流量x的擁擠費用函數。利用旅客列車T的定員xT定義擁擠費用函數如下:

3 模擬退火算法設計

將采用模擬退火算法求解以上所構建的列車開行方案優化的雙層規劃模型。首先，以“按流開車”為原則生成初始列車開行方案，進而通過構造模擬退火算法鄰域系不斷產生新解進行反復迭代。模擬退火算法的設計必須解決好以下3個問題。

(1)初始列車開行方案生成。根據高速鐵路線路區間里程尋找各OD對之間的里程最短路，為提高列車旅行速度，按照路徑里程由大到小順序逐個判斷，只要最短路上客流量達到開行列車要求便可開行，并盡可能地吸引經過此路徑的其他OD客流量，直至將所有客流量安排到列車上為止獲得初始列車開行方案。初始列車開行方案中列車停站采用站站停方式，在列車開行方案調整階段將逐漸調整停站使之滿足要求。

(2)解的鄰域系的構造。構造開行方案Ω的鄰域系包括剔除和添加列車兩個步驟。剔除列車指從旅客列車開行方案Ω中剔除部分列車;添加列車指向旅客列車開行方案Ω中添加新的列車，而新列車采用“按流開車”的原則［4］產生。

(3)模擬退火計劃表確定。模擬退火計劃表構造為:初始溫度Ψ0由數值方法確定;溫度下降規則采用比例下降法，比例值θ隨著溫度下降而逐步提高;同一溫度的迭代次數采用迭代次數下限、上限和接受頻率來綜合控制;算法終止規則采用溫度下降至接近0或目標函數在λ次迭代無改變來綜合控制。

在生成初始列車開行方案、構造解的鄰域系、安排模擬退火計劃表的基礎上，便可設計求解高速鐵路列車開行方案雙層規劃模型的模擬退火算法如下。

第0步:初始化。求取初始溫度值Ψ0，設置溫度下降比例θ，終止溫度Ψend，當前溫度Ψ =Ψ0，迭代次數Κ =1，轉第1步。

第1步:生成初始解Ω0。按以上方法生成初始列車開行方案Ω0，并置Ω =Ω0，轉第2步。

第2步:用戶平衡配流。基于列車開行方案Ω求解下層規劃得到符合客流均衡條件的彈性需求量f，計算目標函數值G，轉第3步。

第3步:生成鄰域解。計算列車開行方案Ω中每列列車的開行效益GT，根據GT值以概率形式從列車開行方案Ω中剔除一定比例的列車，相應地獲得這部分旅客列車上的客流，將這部分客流按“按流開車”的原則產生部分新列車，并將它們添加到列車開行方案Ω中去得到鄰域解Ω'。轉第4步。

第4步:用戶平衡配流。基于列車開行方案Ω'求解下層規劃得到符合客流均衡條件的彈性需求量f'，計算目標函數值G'，轉第5步。

第5步:比較最優解與鄰域解。若G'＞G，或G'≤ G 且 Random(0，1)＜exp［(G － G')/Ψ ］，則接受新解，令Ω =Ω'，G=G';否則，保持原有最優解不變。轉第6步。

第6步:迭代次數檢驗。令Κ =Κ+1，若Κ大于溫度Ψ下的迭代次數下限LΨ且較劣解的接受頻率大于給定的接受概率，或若Κ小于溫度Ψ時的迭代次數上限UΨ，則令Ψ =Ψ×θ后，轉第7步，否則返回第3步。

第7步:算法終止檢驗。若Ψ ＜Ψend，或最優解Ω已經在λ次迭代中沒有發生改變，則算法終止，輸出最優解Ω;否則，重置迭代次數Κ =1，并返回第3步。

4 算例分析

為了驗證模型與算法的有效性，構造如圖2所示的由13個客運站和20個復線運行區間組成的高速鐵路網。該網絡上各車站之間存在高時間價值和低時間價值兩類出行旅客，其中，高時間價值旅客的時間價值β為40元/h，低時間價值旅客的時間價值為20元/h。高時間價值旅客所采用的費用權重系數α1和α2分別為0.5和0.5，而低時間價值旅客所采用的費用權重系數分別為0.7和0.3。考慮開行高、中速兩類列車，其中，高速列車的開行組織費用為4 200元，列車公里費用為59.2元/km，車輛公里費用為5.5元/km，車輛的平均載客量為70人，列車上的人公里票價率為0.35元/(人·km)，列車平均運行速度為325 km/h;而中速列車的開行組織費用為3 700元，列車公里費用為45.6元/km，車輛公里費用為3.8元/km，車輛的平均載客量為70人，列車上的人公里票價率為0.30元/(人·km)，列車平均運行速度為250 km/h。兩類列車上旅客擁擠費用計算參數a，b分別為10.0和2.5，列車開行所需要的最低載客量為800人/列。車站內任意2列車之間的平均換乘時間取為0.5 h。

圖2 高速鐵路網絡結構示意圖Fig.2 The structure diagram of high －speed railway network

為便于對比，首先將旅客運輸需求函數中需求波動強度系數設為r=0/元，此時各OD對之間旅客出行需求量，故可將此情形下確定的旅客列車開行方案看作為固定需求下優化得到的旅客列車開行方案，其中，高速旅客列車204對，中速旅客列車159對，鐵路運輸企業總收益為19 065 441.5元。在其他數據保持不變的條件下，將旅客運輸需求函數中最大需求比例系數設為η=1.2，需求波動強度系數設為r=0.05/元，優化計算得到彈性需求條件下旅客列車開行方案，其中，高速旅客列車191對，中速旅客列車158對，鐵路運輸企業總收益為19 967 276.3元，各項列車開行費用如表1中彈性需求部分所示。

表1 旅客列車組織收益表Table 1 The benefit and cost of train organization

由表1可知:雖然固定需求條件下旅客列車開行方案的票價收入比彈性需求條件下旅客列車開行方案的票價收入高，但由于其開行的旅客列車較多，相應的列車開行費用增多，從而導致其總效益反而比彈性需求條件下總效益少。這主要是因為固定需求條件時沒有考慮旅客出行需求量受其廣義出行費用的影響，廣義出行費用相對低的OD對出行需求量沒有增加;而彈性需求條件下則充分考慮了旅客需求量與出行費用的關系，產生了更好的社會與經濟效益。

5 結論

高速鐵路各時段列車開行方案質量不僅決定了本時段客流出行需求量，而且還影響到其它時段客流需求量。本文考慮不同時段列車開行方案與客流出行需求量之間的相互影響關系，在建立高速鐵路各時段客流出行需求量關于各時段旅客出行服務水平間的函數關系的基礎上，結合彈性需求下旅客出行乘車選擇行為，構建彈性需求下高速鐵路列車開行方案優化的雙層規劃模型，并設計相應的模擬退火求解算法。由此確定的高速鐵路列車開行方案充分體現了高速鐵路企業與旅客出行選擇之間的內在制約關系。

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