混凝土結構地震需求參數敏感性分析

尹犟，胡其高，李鵬

(1. 中南林業科技大學 土木工程與力學學院，湖南 長沙，410004；2. 國防科技大學 指揮軍官基礎教育學院，湖南 長沙，410072；3. 湖南省建筑設計院，湖南 長沙，410011)

近年來，一些研究者從地震災害造成的損失出發，對一些抗震工程領域主要的不確定因素進行了敏感性分析[1-3]，其中：Porter等[1]分析了建筑物的地震損失估計值對于場地運動強度、結構特性、構件易損性和單修復造價等不確定性因素的敏感性；Bake等[2]基于一次二階矩(FOSM)方法，建議了估計結構震后修復總造價的實施步驟；Aslani等[3]以構件為基礎，采用可靠度方法對建筑在地震作用下的年預期損失值進行了估計。這些研究人員均未直接對結構的地震需求參數(Earthquake demand parameters，EDP)進行研究。實際上，EDP可以更加直觀地體現結構的抗震性能。在此，本文作者綜合運用3種敏感性分析法(一次二階矩法、龍卷風圖形法和數理統計方法)，以1個典型混凝土框架結構為例，選擇4種對其抗震性能產生關鍵影響的EDP(含基底剪力需求、樓層加速度需求、頂點位移需求、層間位移比需求)進行敏感性分析。根據分析結果，對一系列基本不確定因素進行重要性排序，從中選擇對EDP不確定性產生重要影響的敏感性因素。

1 敏感性分析的方法

1.1 一次二階矩(FOSM)法

一次二階矩(FOSM)方法在結構可靠度理論中具有重要地位，是國際標準《結構可靠性總原則》(ISO 2394)[4]以及我國《建筑結構可靠度設計統一標準》(GB 50068—2001)[5]中推薦采用的方法。本文運用該方法進行敏感性分析。其理論如下。

設隨機變量Y和隨機矢量X=[ X1, X2, …, Xn]T之間有函數關系：Y=g(X)；將Y在X的均值μX處按Taylor級數展開可得：

式中：μX為隨機矢量 X 的均值矩陣，μ=[x ,x,…,x]T； ?g (μ )/?X為函數 g(·)關于隨X12nXi機變量Xi的偏導數矩陣在其均值μX處的值。根據述(1)及可靠度基本理論，隨機變量Y的均值μY(一階矩)為：

同理，隨機變量Y的方差2Yσ(二階矩)為：

式中：VC(X)為隨機矢量X的協方差矩陣；▽ g ( μX)為函數g(·)關于矢量X的梯度矩陣在其均值μX處的值。

對敏感性進行分析時，由于式(3)能夠反映輸入參數X的不確定性通過函數g(·)進行傳遞，從而導致輸出結果Y也出現不確定性(σY)的過程，該式尤為重要。在敏感性分析中往往將σY作為反映Y對于X的敏感度的參量[6]，若σY很大，則表明Y對X很敏感；反之，則表明Y對X不敏感。

從理論上講，由式(3)計算的σY體現了隨機矢量X對于輸出結果Y的綜合影響，可直接應用于敏感性分析。但在實際應用中，往往希望能夠分別確定EDP對每一個隨機變量Xi的敏感度，從而通過排序識別出主要的敏感性因素。此時，可將除隨機矢量中除 Xi以外的其他隨機變量全部設置為其均值，并將輸出變量Y重新表示為：

將上式按Taylor級數展開，并經過類似式(2)和(3)的推導可得：

式中：μY和σY分別為則隨機變量Y的均值和標準差。

顯然，盡管式(3)和式(7)均可用于敏感性分析，但它們的特點各不相同。式(3)能夠考慮各隨機變量之間的相關性，而式(7)則可分別計算輸出參數對于每一個隨機輸入變量的敏感性。

本文運用有限元方法得到輸入、輸出參數間的函數關系 g(·)，而 g(·)關于隨機變量的 Xi的梯度采用有限差分法確定，即：

式中：ΔXi為第 i個輸入隨機變量 Xi的擾動量，本文將其取為標準差 σXi的某個分位數，即： ΔXi=cpσXi(其中，cp為擾動系數，可通過收斂性試驗確定)。

1.2 Tornado圖形法

Tornado圖形法最早應用于決策分析領域。近年來，一些研究者利用該方法對建筑物的地震損失進行了敏感性分析[1]。Tornado圖形由一系列被稱為“幅擺”的水平橫杠組成，每一條“幅擺”對應于1個隨機變量，其寬度體現了輸出結果的變異性，見圖 1(a)。若某個輸入變量對輸出結果的變異性產生了顯著影響，則其“幅擺”也就較寬，反之則較窄。在確定了各輸入變量對應的“幅擺”寬度后，可按照由寬至窄的順序對其重要性進行排列(見圖 1(b))。排序后的圖形與龍卷風形態相似，該方法為Tornado(龍卷風)圖形法。本文利用Tornado圖形法進行敏感性分析的具體步驟如下。

(1) 首先根據需要確定EDP的類型，如基底剪力需求、頂點位移需求等。

(2) 任選1個隨機輸入變量X，根據其概率分布的上、下界(如10%和90%)確定與之相應的輸入變量下限值XLB和上限值XUB，見圖1(a)。

(3) 將除X以外的其他隨機變量全部設置為其均值，并將XLB和XUB分別輸入結構模型進行有限元分析，從而得到EDP的下限值XLB和上限值XUB，見圖1(a)。

(4) 取|XUB-XLB|為 X對應的“幅擺”寬度，并將其表示在初始圖形中，見圖1(b)。

(5) 重復上述步驟直至獲得所有輸入變量對應的“幅擺”寬度為止，并將其自上而下按降序重新排序。排序后的圖形即為Tornado圖，圖中的“幅擺”寬度反映了EDP對所選隨機輸入變量的敏感性，見圖1(b)。

1.3 數理統計方法

為了提高分析效率，本文采用FOSM法及Tornado圖形法進行敏感性分析，但涉及場地運動的具體特征時(即指地面運動記錄中除強度以外的其他特性[6])，上述方法則不再適用。這是由于場地運動具體特征PGM極為復雜，其不確定性很難用簡單的概率函數描述。

本文從美國太平洋地震工程研究中心PEER強震數據庫中選擇53條實測地面運動加速度記錄，并將其縮放至相同的峰值地面運動加速度 PGA，以模擬PGM(地面運動加速度記錄的具體特征)的不確定性。所有地面運動記錄均取自斷層距大于10 km的場地，其地下30 m平均剪切波速250≤vS30≤550 m/s，場地特征周期0.35≤Tg≤0.45 s，基本與我國規范定義的Ⅱ類場地等效，見表1。其中，地震動特征周期值Tg根據Vidic等[7]提出的公式計算，即：

式中：PGA和 PGV分別為地面運動加速度和速度的峰值；ca為譜加速度與峰值加速度的比值；cv為譜速度與峰值速度的比值。根據Vidic等[7]的研究成果，系數ca和cv可分別取為2.5和2.0。

2 混凝土框架結構的敏感性分析

以1榀位于8度設防(0.3g)、Ⅱ類場地(第2組)的典型鋼筋混凝土框架結構為例，對影響其抗震性能的4種EDP敏感性進行分析。該框架共3跨7層，單跨跨度為6 m；底層層高為4.2 m，其他層層高為3.6 m。梁、柱混凝土為C30級，縱筋為HRB335級，箍筋為HRB235級。表2所示為該框架的配筋參數設計值，列出了按受荷范圍集中到框架梁、柱上的荷載標準值，其中：括號內數值為活荷載標準值，其他為恒荷載標準值；梁上荷載為等效均布荷載，單位為kN/m；柱上荷載為集中荷載，單位為kN。表3所示為7層平面框架梁、柱尺寸及配筋。所選地面運動加速度記錄見表1。

圖1 Tornado圖形制作方法Fig.1 Fracture of Tornado diagrams

表1 地面運動加速度記錄[19]Table 1 Acceleration records of ground motions[19]

表2 不確定性因素的概率分布類型及統計參數Table 2 Probabilistic distribution and statistic parameters of uncertainties

表3 7層平面框架梁、柱尺寸及配筋Table 3 Reinforcing bars and dimensions of 7-story planar frame

2.1 基本的不確定性因素

在抗震工程領域，基本的不確定性因素主要來源于場地運動和結構特性這2個方面。鑒于上述2個方面的不確定性因素較多，進行全面分析尚有困難，表2所示僅列舉一些主要不確定性因素，并參照國內、外相關研究成果對其概率特征和統計參數進行歸納。

2.2 結構模型及計算方法

采用通用有限元設計分析軟件 SAP2000建立計算模型，模型中根據受力范圍將結構各樓層的質量按比例集中于梁、柱交點，見圖2。其中：邊梁-邊柱節點集中質量為m1，標準值m1k=17.93 t；中梁-中柱節點集中質量為m2，標準值m2k=29.55 t。

圖2 框架荷載標準值Fig.2 Standard load of frame

假定結構的非線性變形集中于梁、柱端部，采用SAP2000提供的集中塑性模型(纖維鉸)模擬梁、柱端部的彎矩-曲率(轉角)非線性關系。纖維鉸模型需要先定義材料的單軸應力-應變關系，為此，進行如下規定：(1) 梁內軸力很小，因而可不考慮箍筋約束對混凝土強度及變形性能的影響，故采用Kent-Park模型[16]模擬梁內混凝土的應力-應變關系，見圖3(a)；(2) 柱內軸力較大，因而需要考慮箍筋約束對混凝土強度及變形性能的提高，故采用 Park模型[16](即改進后的Kent-Park模型)模擬柱內混凝土的應力-應變關系，見圖3(a)；(3) 采用雙線性滯回模型鋼筋的應力-應變關系，見圖 3(b)。圖 3中：σc為混凝土壓應力；fc為混凝土抗壓強度；εc為混凝土壓應變；ε0為混凝土軸心抗壓強度對應的壓應變；ε50u為無約束混凝土 50%抗壓強度對應的壓應變；ε50為約束混凝土50%抗壓強度對應的壓應變；ε20為約束混凝土20%抗壓強度對應的壓應變；ε50h=ε50-ε50u；K為約束混凝土抗壓強度提高系數；σs為鋼筋壓應力；εs為鋼筋壓應變；fy為鋼筋屈服強度；Es為鋼筋彈性模量；α為鋼筋屈服后彈性模量比。

采用Releigh阻尼假定，假定結構的阻尼C與其質量M和剛度K成比例，即：C=aM+bK。其中：

式中：T1和T2分別為結構的一階、二階特征周期，對應于結構的前 2階彈性振型，模態分析結果表明，T1=1.109 9 s，T2=0.364 8 s；1ξ和2ξ分別為結構的前2階模態阻尼比。

進行時程分析時，將積分步長設為場地運動時間步長的1/4，采用Newmark β方法進行數值計算，控制參數γ和β分別取為0.50和0.25，此時，Newmark β法等效于平均常加速度法，算法無條件穩定。

2.3 敏感性分析結果

選擇4種能體現混凝土框架結構抗震性能的地震需求參數(EDP)進行敏感性分析，即分析結構的基底剪力需求S、最大樓層加速度需求A、頂點位移需求D和最大層間位移比需求R。上述參數中，前2種屬于傳統地震力的范疇，而后2種則屬于位移反應。

2.3.1 FOSM法分析結果

根據FOSM法對所選4種EDP進行敏感性分析，結果見表4。需注意的是：

(1) 為了便于比較，表4已將EDP對各隨機變量的敏感性值(σEDP)統一按其均值進行了歸一化處理，即表示為變異系數的形式。

(2) 為確保式(8)中的擾動cp取值合理，對cp分別為0.100，0.010和0.001時的敏感性進行分析，結果如表4所示。經對比分析可知：當cp為0.001時，可確保FOSM方法的計算結果收斂。

(3) 表4中各EDP對PGM的敏感性根據數理統計方法得到。具體步驟如下：首先，將除PGM以外的其他所有隨機變量設置為其均值；隨后將統一縮放后(PGA=1.74 m·s-2)53條地面運動加速度記錄輸入結構進行動力時程分析，以獲取4組EDP樣本(S，A，D和 R)；在此基礎上，分別對各組 EDP樣本進行統計分析，得其均值、標準差和變異系數，見表4。

圖3 混凝土和鋼筋的應力-應變關系Fig.3 Stress-strain relationship of concrete and reinforced bar

表4 結構地震需求參數EDP 的變異系數Table 4 Coefficient of variation of structural EDP %

由表4可知：4種EDP對PGA和PGM的敏感性明顯比其他結構特性方面的隨機變量的敏感性強。這主要是因為在50 a設計基準期內，場地運動自身的變異性本來就較高；另一方面，結構的位移需求參數往往顯示出比另外2種力需求參數更強的隨機性，其中D和R的變異系數最高時均超過100%(由PGA引起)，分別達到 105.1%和 108.3%。上述現象表明：結構位移需求參數對其抗震性能的影響不容忽視。

2.3.2 Tornado圖形法分析結果

Tornado圖形法要求事先根據輸入變量的概率分布確定其上、下限(見圖 1)，而場地運動的具體特征(PGM)并不是1個簡單的隨機變量，也沒有明確的概率分布函數，因此，本文采用如下方法確定PGM的上、下限(超越概率分別為10%和90%)。

(1) 將所有結構特性方面的不確定因素(隨機變量)設置為其均值；

(2) 將所有地面運動加速度記錄統一縮放至PGA=1.74 m·s-2(均值)；

(3) 采用縮放后的記錄對結構進行動力時程分析以獲得一組符合要求的地 震需求參數(如基底剪力、頂點位移和層間位移比等)；

(4) 對地震需求參數進行統計分析，繪出其頻數直方圖；據直方高度÷總頻數÷直方寬度，將其中點相連即為該參數的經驗概率密度函數，見圖4(a)；

(5) 對地震需求參數的經驗概率密度函數進行數值積分以確定其上限(超越概率10%)、均值和下限(超越概率90%)，見圖4(b)；與之相應的地震記錄具有地震動特征的上限、均值和下限。

圖5列出了采用Tornado圖形法對不同的地震需求參數(EDP)進行敏感性分析的結果，圖中垂線表示將所有不確定性因素設置為其均值時的EDP值。水平條帶(即所謂幅擺)的寬度體現了EDP對于相應不確定性因素的敏感性。

由圖5可知：對于就所選的4種EDP，PGA對應的幅擺寬度總是最大，PGM對應的幅擺寬度僅比 PGA的小，這表明EDP的不確定性對場地運動的強度及具體特征最為敏感，這與FOSM法的分析結果相吻合。除 PGA和 PGM以外，其他隨機變量(fc，fy，Ec，Es，DA，Ms和d)對應的幅擺寬度較窄，且其排列順序也隨EDP的不同而有所變化，但DA，Ms和fc這3個隨機變量對應的幅擺寬度一般總能排入前 3～5位(結構頂點位移需求對應的情況略有差別)。這表明在結構特性方面，EDP對于結構阻尼、質量和混凝土抗壓強度這3種不確定性因素較敏感，而對其他因素的敏感程度則較低。

圖4 EDP的經驗概率密度函數及其限值Fig.4 Empirical probability density function and its limit values of EDP

圖5 EDP的Tornado圖形法和FOSM法敏感性分析結果Fig.5 Analysis results of EDP derived from Tornado diagram method and FOSM method

2.3.3 敏感性分析結果的比較

本文主要采用FOSM法和Tornado圖形法進行敏感性分析(數理統計方法僅用于計算EDP對于PGM的敏感性)，這 2種方法都有其各自的優點和局限性。FOSM法能估計出EDP的2個統計量(均值和標準差)，但該方法僅對于線性的輸入輸出關系才能嚴格成立。Tornato圖形法計算簡單，且對于線性和非線性的輸入輸出關系均可適用，但該方法無法提供任何有關EDP的統計信息。

為了更好地比較這2種方法的分析結果，這里將FOSM法的分析結果也表示成Tornado圖形的形式，為此假定地震需求參數與輸入隨機變量具有相同的概率分布類型，見文獻[6]，例如：若PGA服從極值Ⅱ型分布，則假定與之對應的地震需求參數也服從極值Ⅱ型分布。由于地震動的特征PGM不是1個簡單的隨機變量，前面也未采用概率函數的形式描述其不確定性，這里假定與之對應的地震需求參數服從對數正態分布，與文獻[6，17-18]中采用的假定基本一致。

在上述分布假定基礎上，結合FOSM法的分析結果(地震需求參數的均值和標準差)，即可確定地震需求的假想概率分布函數，并以此為基礎計算超越概率分別為10%和90%時的地震需求上、下限。將地震需求上、下限繪于圖中，就能用類似于Tornado圖形的形式表示FOSM法的分析結果，見圖5中星號包絡線。

圖5表明：對于各隨機變量的敏感性排序，采用這2種方法得到的結果幾乎相同，唯一的例外是最大層間位移比對Ec和d這2隨機變量的敏感性排序(見圖5(d))。但考慮到Ec和d的效應很小(幅擺較窄)，因此，出現一定偏差不至于對分析結果產生決定性影響?？偟膩碚f，采用這2種方法得到的敏感性排序體現出很強的一致性，這直觀地驗證了上述分析結果，也表明分析方法合理。

3 結論

(1) 以1個典型混凝土框架結構為例，采用一次二階矩法、龍卷風圖形法和數理統計法這3種敏感性分析方法，估計了4種結構地震需求參數對于基本不確定因素的敏感度，進而對基本不確定因素的重要性進行排序，從中選擇對地震需求的不確定性產生顯著影響的敏感性因素。

(2) 地震需求參數的不確定性受場地運動強度的影響最顯著，其次為場地運動的具體特征。除上述 2最主要因素外，EDP對結構特性方面3種不確定因素(黏性阻尼、質量和混凝土抗壓強度)的敏感程度較高，而對其他因素不太敏感。

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