基于四端參數法的管路支架隔振性能研究

劉秀峰 王永勝 張京偉 吳崇健

1海軍駐中國艦船研究設計中心軍事代表室，湖北武漢430064 2中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

0 引 言

管路支架在船舶中俗稱馬腳，除了能起到支撐和固定管路的作用外，它還是管路與船體之間振動能量的傳遞中介。船舶上機械設備的振動和管內介質流動產生的脈動都會由管路經管路支架傳遞到船體上，因此，除了要控制振動在管路系統中的傳遞外，關于振動能量在管道與船體之間的隔離也是減振降噪研究的重要內容之一［1-2］。

隨著船舶管路減振和隔振要求的不斷提升，各種新型的隔振器和材料被運用到管路中［3-5］，因此，對管路支架隔振性能的研究就顯得尤為重要。蔣學武等［6］分析了管路橡膠減振器對剛性管路的隔振原理，但忽略了管道本身彈性和基礎彈性的影響。朱石堅和Sciulli等［7-8］分別就基礎彈性和被隔振物彈性對隔振系統傳遞率的影響進行了分析。本文將在考慮管道彈性和基礎彈性的基礎上，利用四端參數法［9］研究管路支架的隔振性能。

1 考慮管道彈性時的隔振分析

1.1 力學模型的建立

為了分析管道彈性對隔振效果的影響，首先要建立合適的力學模型。由于管道沿管長的尺寸要遠大于截面尺寸，并且這里主要關心的是管道的彎曲振動，而不考慮橫截面內發生的變形，因此，可以把管道看成是歐拉—伯努利梁。這根梁由多個管路支架支承，假設相鄰支架間梁的長度為L/2，取長度為L的梁進行分析。先不考慮基礎的彈性，即支架底部為固定約束，將支架用一個彈簧阻尼系統代替。這里只考慮垂向振動，忽略角剛度的影響，建立一個兩端彈性支承的梁模型。假設梁中部受一個集中簡諧激勵力的作用，則整個結構可用如圖1所示的隔振模型來表示。

圖1 考慮管道彈性時管路支架的隔振模型Fig.1 Vibration isolationmodelof piping support when considering elasticity of the pipeline

1.2 力傳遞率的推導

對圖1所示的隔振系統模型，利用四端參數法求解傳遞率。由于基礎是固定的，所以這里將主要考慮力的傳遞率μF。經過分析，可以得到等效的四端參數線路及其簡化形式，如圖2所示。

圖2 考慮管道彈性時隔振系統的四端參數線路圖Fig.2 Circuitdiagram of four-pole parametersof vibration isolation when considering elasticity of the pipeline

對于圖2所示的線路圖，有

下面，再來考慮。假設在簡支梁距端點ε處有一簡諧激勵力 F(t)=F0sinωt，假設為 F1，該力在梁中點A處引起的位移響應X1與F1之比為A點處的位移傳遞導納M(A)，并且 X1=X2，將這些力和位移的關系進行整理可寫成如下矩陣形式：

因此，，于是

由于基礎固定，X3=0，得到力的傳遞率：

由式（5）可知，導納 M(A)是問題的關鍵，而導納決定于A點的位移響應。梁的位移響應一般由模態疊加法求得，因此，首先需要解決梁的模態振型函數，而目前還不能獲得彈性支承梁振型函數的解析解。但有3種方法可以解決這一問題。方法1：由振動理論可知，梁的振動響應一般由低階模態決定，高階模態的影響較小，因此，可以利用數值方法求解出有限的前幾階模態解。不考慮阻尼時，彈性支承梁的頻率方程為：

式中，EI為抗彎剛度；m為單位長度梁的質量；L為梁長；ωi是第i階固有頻率，可由數值法或圖解法求得，然后代入梁的振型函數，并進行歸一化，就可以得到彈性支承梁的前i階正則振型。最后，利用疊加法求得導納并代入式（5），便可獲得傳遞率的近似解。

方法 2：Yang等［10］提出了一種將彈性支承梁的模態分離成簡支彈性梁與彈性支承剛性梁的模態相疊加的方法，利用該方法，可以解得模態函數的近似解。但經過驗證，這種方法獲得的模態只有前兩階較為準確，可以用于低頻計算，但在高頻區域偏差較大。

方法3：由文獻［11］可知，當彈性支承的剛度較大時，梁的模態頻率與簡支梁的頻率差距非常小，因此，當支架剛度較大時，可以用簡支梁的模型代替。由簡支梁的彎曲振動理論，可以求得在簡諧力作用下梁中點A處的位移導納：

式中，ε為力作用點距梁左端的距離。梁的第i階固有頻率為：

將式（8）代入式（5），得

式（10）為簡支梁模型時管路支架隔振系統力的傳遞率。當m與L確定時，μF是關于ωi，k，c，ω的函數，且傳遞率 μF越小，隔振效果便越好。

1.3 傳遞率曲線

為了形象地描述管道彈性對系統隔振效果的影響，選取一直徑55mm、厚3 mm的管道作為研究對象，其各個參數為：E=2×1011Pa，σ=0.3，截面慣性矩 I=1.66×10-7m4，m=3.85 kg/m，管長L=4m，支架剛度k既可利用有限元軟件根據文獻［12］的方法進行受力分析得到，也可以由實驗獲得。選用兩種較常見的支架進行計算，得到垂向剛度（取近似值）k1=5×105N/m和 k2=4×106N/m，并且令，其中 m′為廣義質量，，取ε=L/2。利用這些參數和前面的公式，就可以得出考慮管道彈性時的力傳遞率曲線。下面，將從以下方面對其進行分析。

1）集中質量模型、簡支梁模型和彈性支承梁模型力傳遞率的比較。不考慮管道彈性時將管道質量集中在一點，看成集中質量隔振系統，取一半管長的質量作為系統的集中質量，即m′=7.7 kg。當取阻尼比ζ=0.1，剛度選k1時，3種隔振模型的傳遞率曲線對比如圖3所示。由圖3可知，3種處理方式的結果區別較明顯，考慮管道彈性時的傳遞率曲線存在多個峰值（峰值對應的頻率并不直接等于梁的固有頻率），這些峰值由管道固有振型被激發而引起，峰值的位置和數量與管道特性有關。另外，彈性支承梁模型與簡支梁模型曲線也有區別，前者峰值靠前，特別是在高頻區域，這種差別更大。因此，在對管路支架進行隔振分析時不能忽視管道彈性的影響，需選擇合適的隔振模型。

圖3 3種隔振系統力的傳遞率曲線（k=5×105）Fig.3 Curvesof transfer rate of force for three kinds of vibration isolationmodels（k=5 ×105）

2）管路支架的剛度對彈性支承梁隔振系統力傳遞率曲線的影響。前面的分析是以管路支架的垂向剛度k1=5×105N/m為前提，現改變管路支架剛度，以k2=4×106N/m作為比較，其他條件相同，將2種情況下的μF變化曲線列于圖4。

圖4 支架剛度k對力傳遞率的影響Fig.4 Influence of the stiffnessof piping supporton transfer rate of force

對比圖4中兩條曲線可以看出：剛度k小的曲線各階峰值要小于剛度大的曲線峰值，且位置靠前，衰減更快；剛度小的曲線在高頻區域內要低于剛度大的曲線，但在低頻區域（ω＜300 rad/s），剛度小的曲線要高于剛度大的曲線。由此可見，剛度k是影響支架隔振性能的一個重要因素，但并非k越小隔振性能就越好，在低頻區域，剛度k小的支架反而不利于隔振。

3）激勵力作用位置對傳遞率曲線的影響。前面都是以力作用在梁中點為前提，現改變力的作用位置，假設激勵力作用在L/4處，兩種不同剛度k的支架的力傳遞率曲線對比如圖5所示。

對比圖5與圖4可知，當激勵力作用在L/4處時，曲線的峰值位置發生了變化，特別是第1和第2個主峰值由于位置靠近而融合在了一起，使得在低頻內不隔振的區域擴大，這種變化對于剛度小的曲線更為明顯。這說明力的作用位置對支架的隔振性能也有較大影響。

4）阻尼對力傳遞率曲線的影響。將阻尼比ζ減小到0.02，與前面相應曲線的比較如圖6所示。

圖5 激勵力作用在L/4處時支架剛度對力傳遞率的影響Fig.5 Influence of the stiffness ofpiping supporton transfer rate of forcewhen the forcewasapplied to the L/4 ofbeam

圖6 阻尼對力傳遞率曲線的影響Fig.6 Influence of the damping of piping supporton transfer rate of force

圖6 說明阻尼主要是降低曲線的峰值，對共振區域抑制作用較明顯，對其他頻域影響較小。

5）對管長L和支架剛度k隔振優化的近似計算。對于實際的一段管路，從支架隔振優化的角度來考慮怎樣選擇合適的支架安裝間距和支架剛度是工程關心的問題。首先考慮管長L的選擇，由于彈性支撐梁的模態解析解較難獲得，當一般管路支架的垂向剛度較大時，可以用簡支梁模型近似代替。圖7列出了k2=4×106時兩種模型力傳遞率的對比。由圖可知，在支架剛度較大時，兩種模型的曲線幾乎一致。此時，可以利用公式（10）得到管長 L、激勵頻率ω與力傳遞率的關系，如圖8所示。從其中選出2種激勵頻率（200，400 rad/s），L與力傳遞率的關系如圖9所示。

圖8 k2=4×106時L，ω與力傳遞率的關系Fig.8 The relationship between L，ω and transfer rate of forcewhen k2=4×106

圖9 ω=200，400 rad/s時L與力傳遞率的關系Fig.9 The relationship between L and transfer rate of forcewhen ω=200，400 rad/s

由圖8和圖9可知，對于給定的管路和管路支架，應首先根據管路激勵頻率ω選擇合適的支架間距L/2，以避開共振區域，然后再適當調整達到最佳隔振效果。

其次，對于支架間距，當船舶安裝環境已經被限定時，也可通過選擇合適的剛度來提高支架隔振效果。由前面的分析可知，對于高頻激勵，剛度k越小，隔振效果便越好，但在低頻頻域，由于共振作用明顯，剛度小的支架隔振效果反而更差。因剛度k在實際中的可選范圍較大（相差可達十幾倍），若用簡支梁模型分析，對于低剛度支架會出現較大偏差。此時，可以利用方法2取前幾階模態獲得傳遞率的解析式，并據此了解剛度k在低頻時與傳遞率的關系，如圖10所示。由該圖可知，在已知激勵頻率時，可選擇合適的k以避開共振而提高支架隔振效果。

圖10 ω=200，300，400 rad/s時k與 μF的關系（L=4m）Fig.10 The relationship between k and transfer rate of force when ω =200，300，400 rad/s（L=4m）

2 基礎彈性對隔振效果的影響

在船舶實際環境中，管路支架一般固定在船體上，這樣的基礎是具有彈性的，特別是當支架固定在較薄的船體板上時，基礎的彈性變形就不能忽略。此時，管路支架基礎的位移X3就不再為0。

2.1 傳遞率的推導

為研究基礎彈性對支架隔振效果的影響，先繪出系統的等效四端參數線路圖及其簡化形式（圖11）。

圖11 考慮基礎彈性時的四端參數線路圖Fig.11 Circuit diagram of four-pole parametersof vibration isolation when considering elasticity of infrastructure

此時，由于基礎位移不再為零，因此除了力的傳遞率 μF外，還可以求得位移的傳遞率 μX，按照前面的方法，可求得力的傳遞率：

以及位移傳遞率：

式（11）和式（12）中的 M(B)指基礎在支架固定位置B點處的位移導納。由此可知，力的傳遞率 μF不僅與 k，c，ω 有關，而且還與管道導納M(A)以及導納 M(B)有關；而位移傳遞率 μX則與管道在 A點的導納 M(A)無關，只與 k，c，ω以及導納M(B)有關。

假設管路支架的基礎為一四邊簡支、邊長為a、厚度為h的方形薄鋼板，管路支架固定在板上的B點（實際上支架可能有多個腳，但腳之間的距離相對板長較小，這里把它看成一個點），由薄板振動理論可求得：

式中，，為簡支板固有頻率，其中，為抗彎剛度，ρ為鋼板密度，E為彈性模量，σ為泊松比。當B點位于板的中點時，x=y=a/2，將式（13）代入位移傳遞率公式（13），得

2.2 傳遞率曲線

為研究隔振系統中各因素對傳遞率的影響，假設基礎板邊長a=2m和厚度h=0.02m，密度ρ=7.8×103kg/m3，其余參數與前面一致。代入式（13）和式（14），分析各因素對力的傳遞率與位移傳遞率曲線的影響如下：

1）彈性基礎對力傳遞率 μF的影響。與前面基礎固定時的傳遞率曲線進行對比，管用彈性支承梁模型代替，管路支架的垂向剛度k1=5×105N/m。兩種情況下力傳遞率μF隨激勵力頻率ω的變化曲線如圖12所示。由該圖可知，考慮基礎彈性時，力的傳遞曲線在 ω=151.75 rad/s和 ω=758.78 rad/s時出現了2個峰谷值，而這2個頻率正好對應簡支板的ω11和ω13這兩階固有頻率，這說明2個峰谷值是由基礎的第（1，1）和（1，3）階固有振型被激發所引起，并且越靠近主峰由基礎被激發引起的峰值越大，反之亦然。實際上，隨著激勵力頻率ω的擴大，基礎的所有奇數階振型都會被激發，而在未被激發的偶數階固有頻率處則不會出現峰谷值。從總體來看，基礎彈性對力傳遞率的影響較小。

圖12 基礎彈性對力傳遞率的影響Fig.12 Influence of the elasticity of infrastructure on transfer rate of force

2）管路支架剛度對位移傳遞率的影響。按照前面，選兩組不同剛度的支架進行比較，得到位移傳遞率曲線的對比圖，如圖13所示。

圖13 支架剛度k對位移傳遞率曲線的影響（h=0.02m）Fig.13 Influence of the stiffness ofpiping support（k）on transfer rate of displacement（h=0.02m）

圖13 中兩條曲線各個峰值所對應的頻率相近，即都在基礎板的奇數階固有頻率附近，且剛度小的μX曲線峰值明顯更小。并且在絕大部分頻率范圍內，剛度小的 μX曲線都在剛度大的 μX曲線下方，說明剛度是影響支架位移隔振的重要因素，剛度小的支架對位移隔振效果更好。

3）支架固定位置對位移傳遞率的影響。前面分析的都是以支架固定在板中點（a/2，a/2）為前提，改變支架固定位置，增加（a/4，a/4）和（a/8，a/8）兩個位置進行對比分析，得到3種情況下的位移傳遞率曲線如圖14所示。由該圖可看出，3種情況下，固定位置越靠近邊緣，μX曲線峰值越小，且位置越低。一般情況下，當支架固定在基礎邊緣靠近板支撐的位置時，將得到更好的位移隔振效果。另外，基礎板的厚度和大小也會對μX曲線峰值的數量和位置產生一定的影響，一般來說，基礎板越厚、越小，M(B)就越小，位移隔振效果也越好。

圖14 基礎板上不同安裝位置對位移傳遞率的影響Fig.14 Influence of fixed position of piping support on transfer rate ofdisplacement

4）支架阻尼對位移傳遞率的影響。參照前面的方式設置兩組阻尼對比，如圖15所示。該圖說明，阻尼除了對曲線峰值起到了一定的抑制作用外，對位移傳遞率的影響也很小。

圖15 支架阻尼對位移傳遞率曲線的影響Fig.15 Influence of the damping of piping support on transfer rate of displacement

3 有限元仿真

在上面分析的基礎上，利用有限元軟件建立實體模型，通過含預應力的諧響應分析進行仿真驗算。這里，以船舶中常用的硫化馬腳作為計算對象，它一般包含硫化卡箍、橡膠墊、支座等多個構件，通過螺栓固定在一起。前面已經證實，位移傳遞率與管道特性無關，為簡化計算，管長只取0.1 m。另外，用殼單元模擬基礎板，殼單元與支架體單元之間通過多點約束（MPC）技術連接在一起。其他參數與前面一致，考慮阻尼，利用軟件自帶的計算功能，得到的基礎與管垂向位移比 μX（即位移傳遞率）曲線如圖16所示。

圖16 有限元計算的支架的垂向位移傳遞率Fig.16 Transfer function ofdisplacementof piping support in the verticaldirection by finite element calculation

將圖16中的曲線與圖13理論計算得到的剛度k1=5×105N/m的位移傳遞率 μX曲線進行比較，并將橫軸圓頻率換算成角頻率，發現兩曲線峰值位置一致，只是幅值不同，應為設置的阻尼引起。可見，前面的理論計算與有限元求解的結論基本一致。

4 結論及建議

通過理論求解和有限元計算的驗證分析，可以得出以下結論：

1）影響管路支架隔振性能的首要因素是支架的剛度，另外支架實際所處的安裝環境，包括管道和基礎的彈性，也會對支架隔振性能產生較大影響。因此，在研究管路支架隔振性能時，應綜合考慮各個因素的影響。

2）通過對評價管路支架隔振性能常用的2個指標（力隔振和位移隔振）進行分析，可以得知：力隔振能更準確地反映支架的隔振性能，但由于實測較困難，在工程中應用較少；位移隔振受基礎特性的影響較大，所得結論容易產生偏差，但由于實測方便，在工程中應用比較廣泛。

通過本文的分析，可以得到一些改善管路支架隔振性能的建議：

1）對于高頻激勵，盡量降低支架剛度，這是提高支架隔振性能的關鍵。在實際工作中，可通過增加橡膠圈層數，增大橡膠墊厚度，采用硫化馬腳，加裝隔振器，調整支架形狀和緊固程度等來實現。

2）對于低頻激勵，低剛度支架往往不利于隔振，應首先根據計算選擇合適的剛度，以避開峰值獲得最佳隔振效果。

3）當支架剛度已給定時，可以通過計算調整支架間距來獲得較好的隔振效果。

4）支架應盡量安裝在較堅固的結構上。當安裝在船體板上時，應盡量靠近肋骨或加強筋，這樣有助于提高管路與船體間位移的隔振效果。

5）引入適當的阻尼?；谧枘岬臏p振耗能作用，其能改善振動的平穩度并抑制峰值，對于隔離結構的振動具有一定的作用。

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