基于二階錐優化方法的MIMO陣列發射方向圖設計

高 偉 黃建國 徐振華 張群飛

(西北工業大學航海學院 西安 710072)

1 引言

近年來在 MIMO通信技術快速發展與成熟促使下，MIMO雷達和聲吶等新技術逐漸成為研究熱點[1,2]。MIMO雷達與聲吶陣列系統與常規相控陣列系統的根本不同在于前者充分利用了發射波形分集和空間分集技術，能夠形成大的虛擬陣列孔徑，增加了空間獨立信道及更高的自由度，因此能夠克服目標回波的閃爍，從而提高信號檢測器的性能；而后者是利用發射信號的相關性最大化相干處理增益。按陣列傳感器排列方式的不同MIMO雷達與聲吶陣列又可分為分布式 MIMO陣列和集中式MIMO陣列。分布式MIMO陣列通過空間遠距離位置放置發射和接收陣列的陣元可以獲得目標的角度擴展。集中式MIMO陣列的特點是發射和接收陣元間距較小，相對于傳統相控陣雷達，集中式MIMO雷達具有更高的分辨率、對低速運動目標檢測的靈敏度和更好的參數識別能力[1]。

隨著MIMO雷達和聲吶研究工作的展開，由于MIMO陣列可同時獲得相干處理增益和空間分集增益結構特征，通過靈活設計發射信號可以綜合出適用于不同情況下的實際發射方向圖，因此MIMO陣列的波形設計成為一個重要的研究主題。在發射信號優化方面，MIMO 雷達發射波形設計方法眾多[3,4]，主要可分為3類：(1)基于協方差矩陣設計；(2)基于模糊度函數設計；(3)基于先驗信息設計。已有研究為對發射信號相關矩陣進行Cholesky分解，對分解因子用梯度搜索算法求得最優的發射波形相關矩陣[5]；在不同代價函數下優化發射信號互相關矩陣，使綜合出的發射方向圖逼近給定的理想發射方向圖[6]；文獻[7]以優化目標參數估計為目的，在推導出MIMO雷達目標參數估計的克拉美羅界(CRB)之后，通過最小化CRB矩陣的跡、行列式和最大特征值來優化發射信號的互相關矩陣；采用線性規劃方法由一組基波束綜合出發射方向圖[8]。

這些已有的方法計算復雜度大，有些方法性能對初始參數選取比較敏感。本文基于任意發射方向圖是一組基波束(對應一組基信號矢量)按一定比例組成的思想[8]，先在最小旁瓣約束條件下利用二階錐優化(second-order cone programs)得出基波束的發射波形，然后利用線性規劃求解出構成方向圖的基波束(基信號矢量)的比例系數，所得 的發射方向圖較其它方法具有更低的旁瓣和更加平滑的主瓣指向，且計算速度快。

2 發射方向圖模型

考慮集中式MIMO陣列系統，在遠場窄帶假設條件下，發射陣列為均勻線列陣(ULA)且陣元數為M，其在空間中的歸一化功率密度為

式(1)中θ和φ分別表示方位角和俯仰角，a(θ)=為M×1發射陣列導向矢量,其中f為發射信號頻率，c為波速，d為發射陣元間隔；R為發射信號矩陣S的相關矩陣。

其中N為發射信號采樣長度，…,sM(n)]T為第n個M×1發射信號向量。由式(1)可知，歸一化功率密度P(θ,φ)即為我們所期望設計的發射波束。當陣列構型確定時，這一設計問題便轉化為信號互相關矩陣R的設計問題。對于常規相控陣，發射信號完全相干，秩為1，其中θ0為目標方向，其發射方向圖為pphased(θ)=對于MIMO陣列，發射信號正交時，R可等效為單位陣I，其發射方向圖為pMIMO(θ0)。根據任意發射方向圖可以由一組基波束合成的思想，由式(1)和式(2)可看出，發射方向圖是由一個脈沖內的一組發射信號波束圖aH(θ)s(n)?sH(n)a(θ)線性疊加組成，如式(3)所示。

式(3)中αn為基波束的權值系數。對式(3)中的基信號向量s(n)按權重αn進行合并，得到由主基信號向量的s(l)構成的發射方向圖為

式(4)中αl為主基波束的權值系數。其中由主基信號向量的s(l)構成的基波束圖Bl(θ,φ)為

將式(5)代入式(4)可得由主基波束圖構成的發射方向圖為

最后定義任意兩個方向的互相關方向圖如下：

式(7)表示了兩個不同方向上回波的相互干擾程度。

3 基波束的構造

綜合出的發射方向圖在更加逼近給定的理想波束圖情況下，還需空域旁瓣和空域互相關系數越小越好，因此所要構造的基波束也必須具有低的空域旁瓣和空域互相關系數。切比雪夫窗函數法只適用于均勻線列陣，對平面陣等其它結構的基陣不適用，且性能調整不靈活。近年來出現了一些將優化理論運用于旁瓣控制的方法，例如采用二階錐約束的方法實現任意期望主瓣響應或主瓣幅度響應的波束圖設計，并且可以在波束主瓣寬度、旁瓣級、零陷干擾以及穩健性之間進行最佳折中[9]。本文采用主瓣寬度約束條件下的最低旁瓣波束形成方法，低旁瓣波束形成可以解釋為在給定主瓣寬度的條件下，使旁瓣級最低；主瓣寬度越寬，能夠獲得的旁瓣越低。因此基于二階錐優化方法可直接構造出主基波束圖，其優點是在保證主基波束寬度滿足條件的情況下具有更低的旁瓣級和空域互相關系數。

主瓣寬度約束條件下低旁瓣波束形成方法，可以表達為約束優化求解問題：在保證給定寬度波束對觀察方向的響應為1的條件下，讓旁瓣區域最大旁瓣值最小，它可以表示為

式中θ0為觀察方向，Δθ為主瓣波束寬度的一半，w為所求的陣列加權向量。引入一新的非負實輔助變量γ和一組新的非負輔助變量θi∈θSL,i=1,…,I，其中θSL為旁瓣區域,θi為旁瓣區域離散方向的角度值，則式(8)可變為

式(9)描述的是凸優化問題，可以轉化為二階錐優化的形式，二階錐優化是凸優化可解標準問題的一種，然后利用已有的內點方法(interior-point methods)可以求出其數值解。式(9)使用Sturm開發的二階錐規劃Matlab工具箱SeDuMi可以很容易的求解數值解。該低旁瓣波束形成方法相比于采用低旁瓣的切比雪夫窗函數加權波束圖和其它基于自適應波束形成的旁瓣控制方法的波束圖，在同等主瓣寬度的情況下可以獲得更低的旁瓣級。

4 發射方向圖合成

在任意發射方向圖可以由一組基波束合成的基礎上，采用如下代價函數逼近理想方向圖，

式(10)中Pd(θ,φ)為任意給定的理想方向圖，θ為方位角，αl定義與式(4)相同。將上述代價函數離散化，再令俯仰角φ=0，后將式(6)代入式(10)可得

式(12)即為基于式(10)代價函數的發射方向圖數學模型，它屬于線性規劃問題，其目標函數和L+M個約束函數都是線性的，并且它也是一類重要的凸優化問題。線性規劃問題的解并沒有一個簡單的解析表達式，但是目前仍然有許多有效的方法來求解，包括 Dantzig方法和內點法等。由于線性規劃問題的求解工具已經被廣泛地嵌入到各種流行的軟件工具中，因此在此不再贅述。

5 仿真結果

為了通過計算機仿真驗證所提算法性能，采用如下仿真參數和條件：發射陣列為均勻線列陣(ULA)，陣元數為M1=1 0，陣元間隔為發射信號波長一半，離散方位角個數為360個。

取觀察方向θ0=0o，半主瓣波束寬度Δθ=13.5o，比較均勻加權(常規)波束形成方向圖，-20 dB切比雪夫窗函數加權波束形成方向圖與基于二階錐優化方法的主瓣寬度約束條件下低旁瓣波束形成方向圖，如圖1所示。由圖可以看出基于二階錐優化方法，半主瓣波束寬度 Δθ=1 3.5o約束條件下低旁瓣波束形成方向圖與-20 dB切比雪夫窗函數加權波束形成方向圖主瓣寬度近似相同但旁瓣級要低 4 dB，具有更低旁瓣級的性能。

選取理想方向圖Pd(θm)為 (- 3 0o,30o)的矩形波束，雖然矩形波束寬度占整個觀察方位角的 1/3，但初始時由于離散方位角個數為360個，所以初始基波束個數也取為 360個。根據式(12)對基波束分別進行計算，由基波束的權值系數α={αl},l=1,2,…,360的權重大小合并出 5個不同方向的主基波束圖，其余基波束權值系數取0,5個主基波束圖的指向和歸一化的權值系數[8]分別為{-25.5°,-1 2.5°,0°,12.5°,25.5°}和{0.1989,0.2003,0.1994,0.2011,0.2003}。根據式(12)計算出基波束的權值系數后，再由式(6)得實際合成的發射方向圖。為了比較各種方法設計發射方向圖的性能，除了本文所提設計方法外，圖2中給出了文獻[10]中的設計方法由二階錐規劃MATLAB工具箱SeDuMi求得的發射方向圖，以及由文獻[8]中所提設計方法的發射方向圖。由圖2可看出本文所提方法(實線)比其它方法在主瓣區更加平滑接近理想矩形發射方向圖，在旁瓣區具有更低且平坦的旁瓣級；其中以0°方向與其它方位角的互相關方向圖為例，如圖3所示。由圖3可以看出本文所提設計方法的發射方向圖的互相關旁瓣在3種方法中是最低的，與圖2中合成方向圖主瓣外旁瓣級最低相對應。

當發射陣元數M2=16且Pd(θm)取為 (-60o,-3 0o)∪ (30o,60o)兩個方向的矩形波束時，同理可根據式(12)對基波束權系數進行合并后得出 6個不同方向的主基波束圖，其余基波束權系數取為0,6個主基波束圖的指向和歸一化的權值系數分別為{- 5 5,-4 5,-3 5,35,45,55}和{0.1583,0.1643,0.1735,0.1758,0.1669,0.1612}。圖4分別給出了3種方法對兩個理想矩形方向圖合成的實際發射方向圖，由圖4可看出本文方法在旁瓣區具有更低且平坦的旁瓣級；由圖5所示的-45°方向和其它方位角的互相關旁瓣比較低，可得出本文方法在對兩個理想矩形發射方向圖進行合成時也具有較低的空域互相關旁瓣。其原因是本文所提的基波束構造方法是基于二階錐優化的主瓣寬度約束條件下的最低旁瓣波束形成方法，該方法具有性能調整靈活且適用于各種不同結構的陣列。

以合成理想方向圖Pd(θm)為 (- 3 0o,30o)的矩形波束為例，隨著陣元數的增加，分別測試3個算法的運算時間。程序運行的硬件平臺為雙核2.93 GHz主頻、2 G內存PC機，采用Matlab R2010a版使用相應的凸優化工具箱，為保證計時準確只對運算時間較長的凸優化代碼部分進行計時得表1。由表1可看出本文方法比文獻[10]的迭代方法要快的多，但本文方法與文獻[8]方法計算時間相當。原因是兩者同屬于線性規劃(linear programming)問題，并且本文方法采用基于二階錐優化方法構造較低旁瓣的基波束計算時間有所增加，但是合成的實際發射方向圖主瓣和旁瓣性能更優。

圖1 基波束方向圖比較

圖2 合成的實際發射方向圖

圖3 0°方向與其它方位角的互相關方向圖

圖4 對兩個矩形方向圖合成的實際發射方向圖

圖5 -45°方向與其它方位角的互相關方向圖

6 結束語

本文在集中式 MIMO陣列的任意發射方向圖可以由一組基波束合成的基礎上，提出利用基于二階錐優化方法的主瓣寬度約束條件下最低旁瓣波束形成方法，構造出一組具有較低旁瓣的基波束，然后根據計算出的基波束比例系數合成實際的發射方向圖。由仿真實驗表明，該方法綜合出的實際發射方向圖更加逼近理想方向圖，且具有旁瓣級低、相互干擾程度小的優點。

表1 計算時間隨陣元數增加的變化(s)

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