迭代對角加載采樣矩陣求逆魯棒自適應波束形成

金 偉 賈維敏 姚敏立

(第二炮兵工程大學 西安 710025)

1 引言

波束形成廣泛應用于雷達、聲納、射電天文、地震學、通信和醫療成像等領域[1]。經典的 Capon波束形成器，具有良好的分辨率和干擾抑制能力，是自適應波束形成器的典型代表，但需要準確的期望信號導向矢量[2]。然而，在實際中，由于期望信號的假設到達角與實際到達角有誤差，或者陣列響應的假定值與真實值有誤差(陣列校正誤差)等原因，假設的期望導向矢量可能不完全準確，與真實值之間有失配誤差，從而導致Capon波束形成器的性能急劇下降，甚至比常規波束形成器更差。因此，如何增強Capon波束形成器的魯棒性成為陣列傳感器應用系統一個亟待解決的問題。

近三十年來，學者們提出多種算法來改善Capon波束形成器的魯棒性。傳統的方法主要有線性約束最小方差(LCMV)方法、對角加載方法、特征子空間方法和協方差矩陣消錐(CMT)方法等[3]。前述方法只是針對某一種失配誤差有效或者只在較高信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)時有效，都沒有與具體的失配誤差建立起聯系，因此均具有一定的局限性。雖然對角加載算法對一般性的誤差具有一定的魯棒性，但其加載因子難以選擇[4]。

近些年，涌現出了一類具有明確理論背景的魯棒波束形成算法，最壞性能最優法(Worst-Case,WC)[5]，魯棒 Capon波束法(Robust Capon Beamformer,RCB)[6]是其典型代表，它們均屬于基于不確定集理論的魯棒波束形成算法。該類算法通過對導向矢量的失配誤差進行建模，將其限定在球體或橢球體內，并將約束優化問題轉化為凸優化問題，或對最優加載量的數值求解問題。理論推導分析證明這兩種算法都可歸為對角加載算法的范疇[6]。自從基于不確定集類的魯棒波束形成算法提出后，關于魯棒波束形成的研究著重集中在對不確定集類算法的深入研究和推廣應用[7-10]上。這些方法通過凸優化或者支持向量機方法對約束優化問題進行求解，算法相對比較復雜。

當 DOA偏差比較大時，基于不確定集的魯棒波束形成器性能下降。針對這一問題，Nai等人[11]提出了迭代魯棒最小方差法(Iterative Robust Minimum Variance Beamforming,IRMVB)，采用較小的不確定集，運用RCB算法對期望導向矢量進行迭代求解，能夠求解出更為準確的期望導向矢量。該文獻利用最優化問題中的敏感度分析理論[12]以及對期望信號的 DOA進行區間限制，設計了迭代算法的終止條件。Lie等人[13]在此基礎上，提出一種自適應不確定集迭代算法(Adaptive Uncertainty based Iterative RCB,AU-IRCB)，對每次迭代所用的不確定集大小進行自適應地調整，加快了收斂速度。然而，這兩種方法仍然是基于不確定集思想發展起來的，屬于對不確定集方法的改進算法。

針對導向矢量失配誤差較大的情況，本文從一個新的角度出發，提出了一種迭代對角加載采樣矩陣求逆(ILSMI)魯棒自適應波束形成算法。該算法利用Capon波束形成器的最優權矢量與假定導向矢量的基本關系，對傳統對角加載算法進行迭代計算，從而得出較為準確的期望信號導向矢量。算法能夠明顯提高導向矢量大失配誤差情況下的陣列輸出SINR，并且不需要對導向矢量建立不確定集約束，避免了在每次迭代中運用拉格朗日法或凸優化方法對問題進行求解。

2 問題描述

一個線性陣列窄帶波束形成器的輸出通常可表示為

式中w=[w1,w2,…,wM]T為自適應陣列加權矢量，M為陣元個數，x(k)為M×1維陣列接收數據矢量，y(k)為陣列輸出，k為采樣時刻，(?)T表示轉置，(?)H表示共軛轉置。

接收數據矢量x(k)可表示為

其中s(k),i(k),n(k)分別為期望信號、干擾信號和高斯白噪聲分量，s(k)為期望信號波形，a0為期望信號對應的導向矢量。

2.1 Capon波束形成器

Capon波束形成器是自適應波束形成器的典型代表，可表示為

式中Ri+n表示干擾加噪聲協方差矩陣。在實際應用中，Ri+n難以得到，一般都用陣列輸出的采樣協方差矩陣代替，假設快拍數為N，則

此時的Capon波束形成算法稱為采樣矩陣求逆算法(Sample Matrix Inversion,SMI)，其最優權矢量為

2.2 對角加載

Capon波束形成器需要準確的期望信號導向矢量a0。然而在實際中，這一信息通常不能精確獲得，一般以假設值代替，與真實值a0之間往往有一定的失配誤差，有可能造成Capon波束形成器在真實的信號方向形成零陷，性能大大降低，因此需要研究能克服導向矢量失配誤差影響的魯棒波束形成技術。

對角加載算法LSMI是一種常用的魯棒波束形成算法，近年來提出的具有完善理論背景的不確定集類算法大都被證明是廣義對加載方法[6]，這進一步說明了LSMI算法應用的廣泛性。基本的LSMI算法就是在信號協方差矩陣上引入一個對角矩陣，即解決如下優化問題：

通過引入對角加載矩陣，LSMI算法對噪聲子空間的擾動具有一定的抑制能力，從而在一定程度上提高了波束形成器的魯棒性。該算法的關鍵問題就是加載因子λ難以選擇，其中一個經驗值取法就是λ等于10倍的噪聲功率[4]。但是，這種參數選擇方法具有很大的隨意性，其效果也有限。

RCB等不確定集類魯棒波束形成方法，之所以能取得比LSMI更優的性能，在于它們能夠求出一個在一定意義上最優的對角加載因子λ。然而，當導向矢量失配誤差較大時，RCB的輸出SINR下降。這是因為為了克服大的導向矢量失配，RCB此時也要相應地采用大的不確定集，以保證真實的期望信號導向矢量能夠包含在以假定導向矢量為中心的不確定集中。這種大的不確定集削弱了波束形成器對干擾信號的抑制能力，從而降低了陣列的輸出SINR[11,13]。在這一問題背景下，IRMVB算法考慮使用小的不確定集，進行多次迭代，用每次迭代得到的信號導向矢量代替假設值，從而更為準確地逼近真實的期望信號導向矢量[11]。IRMVB方法仍然基于不確定集理論，但是它卻不再屬于對角加載的范疇[13]。

3 迭代對角加載魯棒自適應波束形成算法

當前關于魯棒自適應波束形成的研究主要集中在對不確定集方法的改進與推廣應用上，很少有針對LSMI算法本身來進行深入研究的。本文從最基本的LSMI出發，通過提出的迭代對角加載采樣矩陣求逆(ILSMI)魯棒自適應波束形成算法估計出較準確的期望導向矢量，從而提高了算法對導向矢量大失配誤差的魯棒性。

3.1 算法提出

當真實的導向矢量a0不能準確知道，只能以假設值a0代替時，式(5)中的SMI算法權矢量為

觀察式(8)可以發現，權矢量與期望導向矢量存在一定關系，圖1給出了這種Capon波束形成器的最優權矢量與導向矢量的對應關系示意圖。

如果假定的導向矢量a0比較準確，那么用SMI算法求解的權矢量就比較合適，輸出 SINR就比較高，當假定導向矢量a0完全等于真實值時，此時式(8)就等同于標準Capon波束形成器；反之，如果導向矢量不準確，存在一定的失配誤差，那么求取的權矢量就不合適，對SMI算法來說，就有可能會在期望信號方向形成零陷，降低輸出SINR。

圖1 最優權矢量與導向矢量關系

前面的分析考慮了導向矢量假設值的準確與否對求解的波束形成器權矢量的影響，反之，如果能夠得到一個合適的權矢量，那么按照式(5)的關系，將可以對應反解出一個較準確的導向矢量，如圖1所示。

LSMI方法通過引入對角加載因子，改善了波束形成器的魯棒性。盡管這種改善不一定達到最優，但是可以認為，通過LSMI求解得到的權矢量式(7)要比不引入對角加載因子的SMI得到的權矢量式(8)更為合適。

當不引入加載因子時，按照式(8)計算出的權矢量w0SMI與假定導向矢量對應。如果將引入了對角加載因子的 LSMI算法計算得到的權矢量w0LSMI代入式(5)，將可對應反解出期望信號導向矢量估計值。由于權矢量w0LSMI比w0SMI更為合適，那么如圖1所示，運用Capon波束形成器矢量與導向矢量的關系進行反解，即可以認為比更為準確，更接近真實的期望導向矢量。

如果以這個更為準確的導向矢量估計值替換掉假定的導向矢量，再次運用LSMI算法求取權矢量，并依照圖1進行反解，將會得到一個相對更加準確的期望導向矢量。如此迭代下去，最終將逼近真實的期望導向矢量。

3.2 期望信號導向矢量估計與終止條件設計

下面具體討論如何對期望導向矢量進行估計以及如何設計迭代算法的終止條件。按上面分析，可將式(7)與式(5)進行聯立求解w0LSMI對應的由此得

由于α1是的二次函數，式(10)是的二次方程式，要通過式(10)求解比較困難。然而，考慮到導向矢量的模是恒定值(且α0和α1都是比例因子，我們可以通過對a?0去比例因子后再進行范數歸一化的方法進行求解，即

ILSMI算法采用與IRMVB算法相類似的終止條件。根據最優化問題中的敏感度分析理論[12]，文獻[11]設計了第1個終止條件，即當拉格朗日乘子小到一定程度，對最優值的影響非常小時，程序中止。本文的ILSMI算法避開了拉格朗日乘子的求解，因此只需要對前后兩次迭代得到的導向矢量之間的差值進行約束，即式(12a)所示。ILSMI的第2個終止條件與文獻[11]相同，即：在低SNR時，迭代算法有可能收斂至干擾對應的導向矢量，從而導致輸出SINR很低，為避免這一問題，假定期望信號DOA波束主瓣寬度)區域內，則算法的第 2個終止條件可設為(12b)。

其中δ為一約束參數，a1和a2分別為-Δθ和+ Δθ對應的導向矢量，表示兩矢量夾角的余弦運算。當迭代算法滿足這兩個終止條件中的任意一個時，算法中止。

3.3 算法流程

ILSMI算法流程總結如下：

(1)初始化：i=0時，=；

(2)當i≥1時，通過式(11a)(用替換)計算并通過式(11b)對進行范數歸一化，得到；

(3)判斷式(12)的終止條件是否滿足，如果任一條件滿足，轉到步驟(4)，算法終止，否則轉到步驟(2)；

(4)使用收斂的導向矢量估計值代替式(5)中的a0計算權值。

圖2描述了ILSMI算法對期望導向矢量不斷更新和約束的過程。

圖2 ILSMI算法示意圖

4 實驗仿真及結果分析

假設陣列為間隔半波長的均勻線陣，陣元數為10，均為全向陣元。加載的噪聲為零均值、單位方差的空間高斯白噪聲。期望信號真實方向為6°，假設方向為0°。兩個干擾信號分別從20°和30°入射，功率均為 30 dB。期望信號與干擾、干擾信號之間均相互獨立。假設期望信號的來波方向位于區間[- 7°,+ 7°]之內，即Δθ=7°。實驗對采樣矩陣求逆算法(SMI)、對角加載算法(LSMI)、魯棒Capon波束形成算法(RCB)和本文提出的迭代對角加載采樣矩陣求逆魯棒自適應波束形成算法(ILSMI)進行比較。RCB的不確定集參數取為該仿真條件下的最優值ε1=8.5,ILSMI方法終止條件式(12a)中的參數取為δ=0 .01,LSMI 和ILSMI的對角加載因子均為λ=1 0(由于實驗中加載的噪聲功率為單位1，因此在實驗中λ均取10(除實驗4外))。實驗結果來自100次獨立的蒙特卡羅實驗。

實驗1 方向圖比較 取快拍數為100,SNR=0 dB，幾種算法的歸一化方向圖如圖3所示。

從圖3可以看出，SMI算法魯棒性最差，在真實的期望信號方向形成了零陷。LSMI和RCB雖然對失配誤差有一定的魯棒性，但其波束圖主瓣卻指向假定的期望信號方向，在真實的期望信號方向上性能有所下降。ILSMI算法的主瓣指向了真實的期望信號方向，對失配誤差具有很強的魯棒性，并且ILSMI算法的旁瓣電平明顯地比其它幾種算法要低。

實驗2 不同輸入SNR下的輸出SINR比較

在快拍數為100,SNR較低的情況下，幾種算法的輸出SINR隨輸入SNR變化的關系圖如圖4所示。從圖中可以看出，SMI對大的導向矢量失配誤差基本不具有魯棒性，LSMI算法雖然具有一定的魯棒性，但隨著 SNR的增加，其性能開始下降。RCB算法本身的魯棒性比LSMI好，這是由于RCB算法求得了一個在一定程度上比LSMI所用加載因子更優的加載量，而ILSMI算法的輸出SINR則明顯地要高于其它幾種算法，說明在低 SNR情況下，用ILSMI進行迭代求解的期望導向矢量估計值更加逼近真實值。

實驗 3 不同快拍下的輸出 SINR 比較 取SNR=0 dB，考查幾種算法的輸出SINR與快拍數之間的關系，其結果如圖5所示。

從圖5可以看出，隨著快拍數的增加，幾種算法的輸出 SINR漸趨恒定。其中 SMI算法的輸出SINR隨快拍數增加反而下降，對大的導向矢量失配誤差不具備魯棒性。LSMI和RCB算法輸出SINR隨快拍數增加而增加，但是增加幅度有限，表明對較大的導向矢量失配誤差具有一定的魯棒性。ILSMI效果最好，其穩態值比RCB高4 dB左右，與理論最優值相差0.6 dB左右，這進一步說明了在低SNR情況下，用ILSMI算法可以迭代求解出較為準確的期望導向矢量，從而可以獲得近似最優的權矢量。

圖3 歸一化方向圖

圖4 SINR與SNR關系

圖5 SINR與快拍數關系

實驗4 不同參數下的收斂速度比較 取SNR=-5 dB，考察ILSMI在不同加載因子情況下的輸出SINR隨迭代次數的變化，并與文獻[11]中的IRMVB方法(其不確定集參數取文獻[11]中的ε2=0.1)進行比較，其結果如圖6所示。為方便比較，仿真采用了理想的陣列輸出協方差矩陣，圖中幾條曲線均是在未施加終止條件下得出的，每種情況下應該進行終止的次數在圖中已由不同符號標記出來。從圖中可以看出，ILSMI算法比IRMVB算法所需迭代次數少，收斂速度快。隨著迭代次數的增加，ILSMI算法的SINR會逐漸增加，直到程序中止，如果不對ILSMI算法施加終止條件，則SINR會隨著迭代次數的繼續增加而逐步下降，這說明了ILSMI算法的終止條件必不可少。另外，從圖中還可以看出，加載因子λ是影響ILSMI算法的重要因素，加載因子越小，收斂越慢，加載因子越大，收斂越快。為了與傳統對角加載算法加載因子取 10倍噪聲功率相一致[4]，從而保證算法比較的客觀和公正，我們在實驗1-實驗3中均采用了λ=10。

以上幾個實驗反映了ILSMI算法在低SNR時表現出了良好的性能。然而，與現有大部分魯棒波束形成方法一樣，ILSMI算法在SNR較高時性能會有所下降，這有待下一步研究。

圖6 SINR與迭代次數關系

5 結論

當導向矢量失配誤差較大時，不確定集類魯棒波束形成方法性能下降。為有效克服較大的導向矢量失配誤差，本文從一個新的角度出發，提出了一種迭代對角加載魯棒自適應波束形成算法 ILSMI。該算法不需要對導向矢量建立不確定集限制，避免了在每步迭代中運用凸優化方法或拉格朗日乘子法。算法只需一步關鍵遞推關系式，就可迭代求解出較準確的信號導向矢量，算法簡單，且能夠明顯提高波束形成器在低SNR情況下的輸出SINR。這表明在大的導向矢量失配誤差下，即使不對導向矢量進行不確定球集(或橢球集)限制，只要通過對最基本的LSMI算法進行有效處理，仍然可以提高輸出SINR，甚至高于文中所比較的不確定集類方法。

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