板坯連鑄鼓肚變形撓度及變形阻力計算模型

徐榮軍

(寶山鋼鐵股份有限公司研究院，上海201900)

板坯連鑄鼓肚變形撓度及變形阻力計算模型

徐榮軍

(寶山鋼鐵股份有限公司研究院，上海201900)

本文從平板理論出發，考慮高溫蠕變，推導出坯殼在鋼液靜壓力和溫度場的共同作用下承受均勻載荷的四邊簡支矩形板和四邊固支矩形板坯鼓肚模型的撓度解。從鼓肚變形能出發，推導出計算鼓肚變形阻力的解析模型。通過工程實例和實測分析討論了承受均勻載荷的四邊簡支矩形板、一對邊簡支另一對邊固支矩形板、和四邊固支矩形板坯鼓肚模型的適用性，后兩者都適合鼓肚變形撓度計算。

連鑄;鼓肚變形;鼓肚變形阻力

0 前言

現代板坯連鑄機生產過程中，隨著拉坯速度的提高和冶金長度的不斷加長，鑄坯在離開結晶器下口后，當板坯通過二次冷卻區兩個夾輥之間，鑄坯在內部未凝固的鋼水靜壓力作用下必將產生鼓肚變形，過大的鼓肚變形會引起鑄坯內裂等現象。因此，連鑄板坯的鼓肚變形分析對連鑄機的設計及生產等具有重要的實際意義。

目前國內常見的坯殼鼓肚變形量的幾個近似公式在文獻［1］中已給出綜述和評價，公式大多把連鑄坯殼視為承受均勻載荷的連續梁，認為坯殼的鼓肚變形完全是彈性的。而實際寬面坯殼應當是薄平板，且有在高溫下的蠕變特性，用粘彈性薄板模型表述應當是合理的。作者［2］曾將兩夾送輥間坯殼視為全凝固側固支，未全凝夾輥側視為簡支的承受均布載荷的等厚度彈性板，并考慮蠕變的影響，求出其鼓肚變形量和鼓肚變形阻力的解析解。

由于視為薄板的鑄坯邊緣的支撐邊界條件復雜，假設的條件不一定完全符合工程實際情況，除了作者［2］已討論的一對邊簡支一對邊固支的邊界條件，視為薄板的鑄坯其符合工程意義的支撐邊界條件尚有:四邊簡支和四邊固支的邊界條件。本文試圖從平板理論出發，考慮高溫蠕變，推導出坯殼在鋼液靜壓力和溫度場的共同作用下承受均勻載荷的四邊簡支矩形板和四邊固支矩形板坯鼓肚模型的撓度解。從鼓肚變形能出發，推導出計算拉坯阻力的解析模型。并分析討論承受均勻載荷的四邊簡支矩形板、一對邊簡支另一對邊固支矩形板和四邊固支矩形板坯鼓肚模型的工程適用性。

1 四邊簡支的板坯鼓肚模型

1.1 基本方程

根據坯殼的實際凝固狀態，將坯殼視為一不均勻的溫度場，且承受均布載荷(鋼水靜壓力)的矩形薄板，由于板坯寬度遠比輥距大，所以鑄坯邊界對內部影響根據圣維南原理可忽略不計，因此其力學模型為:把坯殼視為四邊簡支承受均布載荷，坯殼溫度場沿坯殼厚度方向線性變化的矩形板。圖1為簡支平板撓度計算模型。平板的小撓度曲面微分方程為

圖1 四邊簡支平板撓度計算模型Fig.1 Model of deflection calculation for four-side simply-supported rectangular plates

邊界條件

式中，B為坯殼承受靜載荷的有效板坯寬度，mm;l為輥間距，mm;D為平板的彎曲鋼度，N

其中，E為彈性模數;S為坯殼厚，mm;υ泊為松比。

1.2 撓曲方程的求解［3］

代入相應的邊界條件，整理得撓曲面的近似解

應用雙曲函數表，就能計算任一點的撓度。最大撓度在板的中心(x=0，y=0)處，在這里，最大撓度為

雙曲函數的級數收斂得非常快，只取第一項就已足夠精確。采用公式(3)可以把板坯的最大撓度表示成如下形式

其中，α為一數值因子，其值可以在表1中查得。

表1 承受均勻載荷的四邊簡支矩形板的數值因子αTab.1 Numeric factor of four－side simply-supported rectangular plates which bear even load

2 四邊固支的板坯鼓肚模型

2.1 基本方程

其力學模型為:把坯殼視為四邊固支承受均布載荷，坯殼溫度場沿坯殼厚度方向線性變化的矩形板。圖2為四邊固支平板撓度計算模型。

平板的小撓度曲面微分方程為

邊界條件

圖2 四邊固支平板撓度計算模型Fig.2 Model of deflection calculation for four-side fixed support rectangular plates

式中參數意義同上。

2.2 撓曲方程的求解［4］

四邊固支矩形板撓曲方程的求解過程比較復雜，首先對四邊簡支矩形板問題求解，然后按照疊加法原理在四邊簡支矩形板的撓度上疊加各邊緣分布的彎矩所產生的撓度。

方形板中心(x=y=0)的最大撓度

對于任意長寬比的矩形板，可進行類似的計算，表2列出了這些計算結果。

采用公式(8)可以把板坯的最大撓度表示成如下形式

其中α為一數值因子，它決定于板的二邊長B/l，α的值可以在表2中查得。

表2 承受均勻載荷的四邊固支矩形板的數值因子αTab.2 Numeric factor of four-side fixed support rectangular plateswhich bear even load

對于板坯連鑄，通常板坯寬度B遠大于輥間距l，即B/l＞5，所以α=0.00260。

3 粘彈性的Maxwell模型

以上推導常溫下承受均布載荷平板的彈性變形撓度，而板坯是高溫條件下在連鑄機上運行的，因此必定受到高溫蠕變［6］的影響。

相應的，根據Maxwell模型撓度計算的疊加法原理，由文獻［2］高溫鑄坯的撓度公式應該由式(4)和式(9)修正為以下形式

根據矩形平板的對稱性和式(3)、式(7)的極佳收斂性，為計算簡化，將鑄坯的鼓肚曲面表示為

4 矯平鼓肚拉坯阻力

根據文獻［2］，小撓度薄板功與應變能的原理可導出高溫鑄坯蠕變情況下第i對夾送輥矯平坯殼鼓肚阻力

式中符號意義參見文獻［2］。

5 計算與討論

圖3為一實際工程中已有方法和四邊簡支的矩形板、四邊固支的矩形板坯鼓肚模型計算的最大鼓肚變形量對比。計算條件:鑄機坯寬1 650 mm，厚度235 mm，鑄機長度41.23 m，半徑R=9 500 mm，拉速1.8 m/min，計算鑄坯從結晶器出口直到到凝固完畢的最大鼓肚量，并與目前國內常用的鼓肚量計算模型［7］計算的結果相對比。結果發現四邊固支的矩形板板坯鼓肚模型計算的鼓肚量是現有模型的3倍左右。而四邊簡支的矩形板鼓肚模型是四邊固支的矩形板板坯鼓肚模型計算的最大鼓肚變形量的5倍，且是原有模型的15倍，其最大鼓肚量達到2.3 mm。

圖3 最大鼓肚變形量計算值對比Fig.3 Contrast among calculated values of maximum bulging deformation

圖4為一實際工程中已有方法和四邊簡支的矩形板、四邊固支的矩形板板坯鼓肚模型計算的累計鼓肚阻力對比。計算鑄坯從結晶器出口直到到凝固完畢的累計鼓肚阻力，并與目前國內常用的鼓肚阻力計算模型［7］計算的結果相對比。四邊固支的矩形板板坯鼓肚模型計算的累計鼓肚阻力是現有模型的2.1倍。而四邊簡支的矩形板鼓肚模型計算的累計鼓肚阻力是現有模型計算的累計鼓肚阻力的2.4倍。

圖5為一實際工程中已有方法和四邊簡支的矩形板、四邊固支的矩形板板坯鼓肚模型計算的累計拉坯阻力對比。根據作者對拉坯阻力與實測值結果，原有模型計算值和實測值相比呈負偏差－59.8%。四邊固支模型計算值和實測值相比呈正偏差+10.1%，而四邊簡支模型計算值和實測值相比呈正偏差+26.0%。通過拉坯阻力的驗證，說明四邊簡支模型的鑄坯鼓肚量計算結果偏大，而原有模型的鑄坯鼓肚量計算結果偏小，四邊固支模型的鑄坯鼓肚量計算值較為符合真實情況。

從四邊簡支的矩形板、四邊固支的矩形板板坯鼓肚模型，和一對邊簡支另一對邊固支矩形板板坯鼓肚模型中可以看到，對于板坯連鑄而言，通常情況下板坯寬度總是遠大于輥間距，通常B/l≥5，此時四邊固支的矩形板和一對邊簡支另一對邊固支矩形板的數值因子α都等于0.00 260，但四邊簡支的矩形板的數值因子α等于0.013 02，根據，在同樣條件下，采用四邊固支的矩形板和一對邊簡支另一對邊固支矩形板鼓肚模型計算的最大鼓肚量是相同的，說明這兩種模型是相同的。但采用四邊簡支的矩形板板坯鼓肚模型計算的板坯最大鼓肚量將是上述兩種模型的5倍，這樣根據鑄坯鼓肚阻力的計算，它將大于上述兩種模型的鼓肚阻力，與實測結果不符，因此采用四邊簡支的矩形板板坯鼓肚模型對于板坯連鑄是不合適的，但四邊固支的矩形板和一對邊簡支另一對邊固支矩形板板坯鼓肚模型，均可較好的描述連鑄板坯實際鼓肚的情況。

6 結論

從平板理論考慮高溫蠕變推導出坯殼在鋼液靜壓力和溫度場的共同作用下承受均勻載荷的四邊簡支矩形板和四邊固支矩形板板坯鼓肚模型的撓度解。從鼓肚變形能出發，推導出計算鼓肚變形阻力的解析模型。四邊固支的矩形板和一對邊簡支另一對邊固支矩形板板坯鼓肚模型是一致的，通過工程實例計算和現場拉坯阻力實測對比，其均符合連鑄板坯鼓肚的真實情況，而四邊簡支的矩形板板坯鼓肚模型對于板坯連鑄不合適，呈現較多的正偏差。

［1］盛義平，孫薊泉，章敏．連鑄板坯鼓肚變形量的計算［J］．鋼鐵:1993，28(3):20－25．

［2］徐榮軍．板坯連鑄鼓肚變形行為分析［J］．重型機械，2012(1):17-21．

［3］S．鐵摩辛柯S．沃諾斯基．板殼理論［M］．板殼理論翻譯組，譯．北京:科學出版社，1977:119－125．

［4］S．鐵摩辛柯S．沃諾斯基．板殼理論［M］．板殼理論翻譯組，譯．北京:科學出版社，1977:206－213．

［5］楊耀乾．平板理論［M］．北京:中國鐵道出版社，1980:30－35．

［6］GVLIN T F，HACON J，HAZRA L K，et al．The creep properties of carbon steel［C］//British Steelmakers Creep Committee．The Presentation of Creep Strain Data．London:Battersea，1972:37-60．

［7］曹廣疇．現代板坯連鑄機［M］．北京:冶金工業出版社，1994:102－110．

M odel for resistance calculation of bulging deformation generated in slab casting

XU Rong-jun
(Research Institute，Baoshan Iron＆Steel CO．，Ltd．，Shanghai201900，China)

Based on theory of plates＆shells，the solution of solidified shell deflection under the jointaction in both the static pressure ofmolten steel and temperature field is derived with consideration of the high-temperature creep deformation．Proceeding from the energy of bulging deformation，the analyticalmodel of calculating the resistance from bulging deformation is derived．The applicability of the bulging deformation model for fourside simply-supported rectangular plate，two-side simply-supported and other two-side fixed support rectangular plate，and four-side fixed support rectangular plate under uniform load are discussed on the basis of analysis of project examples and actualmeasured results．The discussion result proves that the latter twomethods are suitable for deflection calculation for bulging deformation．

continuous casting;bulging deformation;drag resistance generated by bulging deformation

TH777.1

A

1001－196X(2012)04－0068－05

2011－12－29;

2012－02－03

徐榮軍(1965－)，男，博士，寶山鋼鐵股份有限公司研究院，教授級高級工程師。