基于量子微粒群的綜合孔徑圓環(huán)陣排列方法

董 健 施榮華 郭 迎 雷文太

（中南大學信息科學與工程學院，湖南 長沙 410083）

引 言

綜合孔徑微波輻射計是近年來被動微波遙感技術(shù)發(fā)展的一個方向［1］，它引入了射電天文學“孔徑綜合”的方法［2］，通過對不同基線干涉測量所得的可見度函數(shù)值反演成像，得到觀測場景的亮溫分布。由于相同基線矢量的干涉測量結(jié)果相同，使得天線陣列中的陣元可以減少，天線陣列可以稀疏排列，從而可減小天線體積、重量和接收通道數(shù)目，節(jié)約硬件成本。所以，稀疏天線陣列的優(yōu)化設計是綜合孔徑輻射計的一個重要研究內(nèi)容。綜合孔徑天線陣列優(yōu)化設計的目標通常是采用盡可能少的陣元，獲得充分而均勻、具有最小基線冗余度的UV覆蓋，從而實現(xiàn)高空間分辨率［1］。對一維綜合孔徑微波輻射計（如電掃描稀疏陣列輻射計（ESTAR）［1］）而言，通常采用的陣型為最小冗余線陣（MRLA）［1，3-5］；對二維綜合孔徑微波輻射計（如綜合孔徑微波成像輻射計（MIRAS）［6］、對地靜止合成稀疏陣列輻射計（GeoSTAR）［7］、赫爾辛基技術(shù)大學二維綜合孔徑輻射計（HUT-2D）［8］等）而言，常規(guī)采用的陣型包括 U型、T型、Y型等［9-11］。由于局部仍呈線性排布，這些陣型均存在一定的基線冗余。而圓環(huán)陣由于其基線零冗余［9］（可獲得（u，v）平面最多的空間頻率采樣點）的特性，近年來逐漸受到關(guān)注［12-17］。而且，圓環(huán)陣具有陣元平均間距較大（陣元分布于圓周上），易于通過旋轉(zhuǎn)測量增加采樣點（無須陣元間相對位置的移動，消除由此引起的結(jié)構(gòu)復雜以及損耗、相差等問題），以及共形、波束旋轉(zhuǎn)對稱等特點，這些在毫米波陣列輻射計的工程實際中均具有獨特的優(yōu)勢。

與U、T、Y等陣型在（u，v）平面上均勻柵格采樣的特點不同，圓環(huán)陣屬于非均勻柵格采樣，這也給反演成像帶來了不便。比如，均勻圓環(huán)陣（UCA）的UV覆蓋在徑向上呈外密內(nèi)疏的分布。這種不均勻的UV覆蓋會導致陣列因子呈現(xiàn)較高而且不規(guī)則的旁瓣分布，對反演成像不利。為改善其UV覆蓋，本文采用量子微粒群（QPSO）算法來優(yōu)化圓環(huán)陣的陣元位置，以改善圓環(huán)陣UV覆蓋。通過引入量子行為搜索機制，并設計一種新的衡量圓環(huán)陣UV覆蓋均勻程度的目標函數(shù)，與現(xiàn)有方法相比，本文方法的計算復雜度大大降低，全局搜索效率更高，且能更好地度量圓環(huán)陣UV覆蓋的均勻程度。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1.綜合孔徑圓環(huán)天線陣排列問題表述

設任一天線對形成的基線矢量為

式中λ為波長。干涉測量原理表明，任一天線對的相關(guān)輸出為對稱的空間頻率（u，v）和（-u，-v）處的可見度函數(shù)采樣。那么，天線陣所構(gòu)成的所有基線便在UV平面上形成了空間頻率采樣點分布，稱為UV覆蓋。以下給出陣列排布與UV覆蓋之間的關(guān)系。

定義N單元天線陣的陣列排布函數(shù)（以波長歸一化）

式中（xi，yi）為第i個天線單元的位置。那么，UV覆蓋，C（u，v），可表述為陣列排布函數(shù)的空間自相關(guān)［2］

式中:∏（u，v）為二維單位沖擊函數(shù)，定義為

理論上，N 單元陣在UV平面上有N（N-1）個（u，v）采樣點（不計零頻采樣點），但是由于冗余采樣點的存在，實際獲得的采樣點數(shù)目往往少于該值。而且，不同陣列排布方式其UV覆蓋的冗余度不同。一維情形下，由于天線單元線性排布的限制，陣元數(shù)大于4的陣列均會出現(xiàn)基線冗余。二維情形下，各陣元分布在平面內(nèi)，則有可能實現(xiàn)基線零冗余。由于局部仍呈線性排布，U、T、Y型陣仍然存在一定的基線冗余（Y型陣冗余度相對較小）。而圓環(huán)陣由于消除了這種局部線性，可實現(xiàn)基線零冗余，獲得（u，v）平面上最多的空間頻率采樣。但是，均勻圓環(huán)陣（UCA）的UV覆蓋在徑向上呈外密內(nèi)疏的分布，這也給反演成像帶來了不便。由于圓環(huán)陣采樣點并非落在規(guī)則柵格上，通常采用柵格化處理后進行規(guī)則的矩形快速傅里葉變換（FFT）圖像反演。UCA的這種不均勻的UV覆蓋會導致陣列因子呈現(xiàn)較高且不規(guī)則的旁瓣分布，對反演成像結(jié)果不利。所以，需要優(yōu)化圓環(huán)陣的陣元位置，以改善其UV覆蓋。

令ri=（xi，yi）為圓環(huán)陣第i個單元的矢量位置，K為陣元允許位置的集合（本問題中為圓周上的位置），UV覆蓋的度量函數(shù)為m（r1，r2，…，rN）。那么，圓環(huán)陣排列優(yōu)化問題可表述為如下多變量非線性優(yōu)化問題:

式中obj.表示優(yōu)化問題的目標函數(shù)。如何設計合理的目標函數(shù)，是圓環(huán)陣排列優(yōu)化問題的一個難點和關(guān)鍵。

由于圓環(huán)陣排列優(yōu)化目標函數(shù)m（r1，r2，…，rN）往往具有不可導甚至不可解析表達、多極值等特點，常用的梯度搜索算法往往會落入局部最優(yōu)的“陷阱”，比較有效的一類方法為近二十年興起的隨機優(yōu)化方法。文獻［14］采用模擬退火（SA）算法首先對圓環(huán)陣進行優(yōu)化排布，得到了陣元數(shù)N≤12的排列結(jié)果。優(yōu)化后的圓環(huán)陣在保持空間頻率采樣無冗余的同時，使UV覆蓋更趨均勻。文獻［15］將遺傳算法（GA）用于綜合孔徑圓環(huán)陣排列優(yōu)化，文獻［16］將微分進化（DE）算法用于綜合孔徑圓環(huán)陣排列優(yōu)化，取得了與文獻［14］相似的結(jié)果。雖然SA、GA、DE等這類智能優(yōu)化方法具有通用性強、優(yōu)于梯度搜索的全局尋優(yōu)能力等特點，但存在以下缺陷:一是這類方法均是基于解空間內(nèi)隨機搜索求解，易出現(xiàn)早熟收斂、全局尋優(yōu)精度不夠等問題。二是現(xiàn)有文獻通常采用的圓環(huán)陣優(yōu)化目標函數(shù)計算復雜度過大。上述缺陷在一定程度上限制了這些方法在圓環(huán)陣（尤其是陣列規(guī)模較大的圓環(huán)陣）排列優(yōu)化問題中的應用。鑒于此，本文提出了基于量子微粒群優(yōu)化（QPSO）算法的圓環(huán)天線陣排列方法，通過引入量子行為搜索機制提高全局搜索效率，設計一種新的目標函數(shù)來降低計算復雜度，且能更好地度量圓環(huán)陣UV覆蓋的均勻程度。

2.基于量子微粒群優(yōu)化的綜合孔徑圓環(huán)天線陣排列方法

2.1 量子微粒群優(yōu)化

微粒群優(yōu)化（PSO）算法［18］由Eberhart和 Kennedy在1995年共同提出，其思想是模擬自然界鳥類飛行的群體行為，近年來被用于天線優(yōu)化設計問題［19-21］。PSO算法利用多個個體組成的群體在解空間內(nèi)迭代地搜索求解。每個個體（微粒）代表一個候選解，其性能由適應度函數(shù)（與優(yōu)化目標函數(shù)關(guān)聯(lián)）度量。每次迭代中，所有個體交換已找到的最好解的信息。每個個體受自身經(jīng)驗和其他個體知識所引導。重復迭代過程，直至群體收斂到全局最優(yōu)值。

假定解空間是N維實值空間RN，那么，解空間內(nèi)每個位置x為一個N維實矢量，在實際問題中被映射為具有N個未知變量的候選解。本問題中，對圓環(huán)陣陣元位置的優(yōu)化，可轉(zhuǎn)化為對相應角度位置的優(yōu)化。因此，N單元圓環(huán)陣的陣列排布可用N 維實值矢量表示

式中:θi∈［0，2π］，i=1，2，…，N（單位:弧度）表示每個陣元的角度位置，設定θ1=0.由于變量θ的優(yōu)化屬于連續(xù)空間內(nèi)的優(yōu)化問題，采用PSO算法優(yōu)化圓環(huán)陣陣元位置。相較于前述圓環(huán)陣優(yōu)化方法，PSO算法的優(yōu)勢體現(xiàn)在:與SA算法［14］單點尋優(yōu)的特點相比，PSO算法具有多點尋優(yōu)的能力，即從多個初始解出發(fā)同時迭代搜索多個優(yōu)化解，具有隱并行性；與GA、DE等算法［15-16］相比，PSO算法的進化機制更簡單（省卻了編碼、解碼等操作），控制參數(shù)的定義也更簡單。

經(jīng)典PSO算法中，粒子運動方程和收斂行為由牛頓力學機制［19］決定，容易產(chǎn)生早熟收斂、全局尋優(yōu)精度不夠等問題。盡管有部分文獻［22-23］提出對慣性參數(shù)、進化機制等方面的微調(diào)來改善這些問題，但均以犧牲算法復雜度或計算成本為代價，且不同程度地降低了收斂速度；此外，引入了更多操作參數(shù)，令參數(shù)調(diào)節(jié)過程更為繁瑣。本文擬引入具有量子行為搜索機制［24-25］的PSO算法（QPSO），并將其用于圓環(huán)陣優(yōu)化設計。與經(jīng)典PSO算法不同，在量子空間中，采用波函數(shù)來描述粒子的運動狀態(tài)

式中:E代表粒子的能量；?為普朗克常數(shù)。波函數(shù)ψ（r）可以通過解如下薛定諤方程求得

選擇特定勢阱分布函數(shù)V（r），可求得波函數(shù)ψ（r），進而求得粒子運動位置的概率密度函數(shù)Q（r）=

由海森堡測不準原理可知，無法同時測量粒子的位置與速度，故QPSO算法中只需要測量粒子位置即可。通過蒙特卡羅仿真過程將量子空間運動粒子的波函數(shù)映射到牛頓力學的位置空間，表述為下列函數(shù)形式。

式中:x為粒子的位置矢量；P為最優(yōu)位置矢量；u為（0，1）間均勻分布的隨機變量；函數(shù)f的形式通過概率密度函數(shù)Q（r）求逆得到；L=L（g，u，）為勢阱的特征長度。QPSO算法收斂性理論分析［24］表明，只要滿足lim∞L（t）=0，所有粒子最t→終將趨于最優(yōu)位置（最佳解）。

采用基本的δ勢阱分布［24］，由此得到的粒子位置更新方程為

式中:k為迭代次數(shù)；“±”符號通過隨機判斷方式選取。由式（10）可知，QPSO算法僅含一個控制參數(shù)g（經(jīng)典PSO算法則需要c1、c2、w、Vmax四個控制參數(shù)），該參數(shù)影響粒子的收斂速度和全局尋優(yōu)性能。與經(jīng)典PSO算法相比，QPSO算法的參數(shù)定義和調(diào)節(jié)更為簡單，而且，通過采用量子計算機制更新粒子位置，在不增加計算復雜度的前提下使算法具有更強的全局搜索能力和收斂效率。

2.2 綜合孔徑圓環(huán)陣排列優(yōu)化目標函數(shù)設計

綜合孔徑輻射計圓環(huán)陣排列布以UV覆蓋為優(yōu)化目標，即獲得盡可能均勻完整、且具有最小基線冗余的（u，v）采樣分布。如何度量圓環(huán)陣UV覆蓋的均勻程度，即如何設計圓環(huán)陣優(yōu)化目標函數(shù)m（r1，r2，…，rN）是一個難點。本文通過對圓環(huán)陣目標函數(shù)的改進設計，旨在降低現(xiàn)有文獻算法的計算復雜度。

現(xiàn)有文獻多采用Cornwell所提目標函數(shù)［14］

式中:ri=（real（R·ej·θi），imag（R·ej·θi））為第i個陣元的位置矢量，R為圓環(huán)陣的半徑；Bij為任一天線對（i，j）形成的基線矢量。該目標函數(shù)計算（u，v）平面上所有采樣點間的距離之和，并使之最大化。文獻［14］認為由此目標函數(shù)導出的陣列顯然具有無冗余的采樣分布，且采樣點分布盡可能均勻。因為式（11）中，采用距離的對數(shù)代替距離本身或距離平方可以“懲罰”相鄰很近的采樣點。Cornwell目標函數(shù)最大的問題在于計算復雜度。從式（11）可以看出，對N單元圓環(huán)陣來說，其對應的UV平面基線矢量數(shù)目為N（N-1）；又該目標函數(shù)需計算任兩基線之間的距離，故計算復雜度為O（N4），其中符號“O”表示數(shù)量級的概念。而SA、GA、PSO這類優(yōu)化算法的解空間隨機搜索求解的特性，決定了其目標函數(shù)計算不能過于復雜。因此，Cornwell目標函數(shù)僅適用于陣元數(shù)N較小時的圓環(huán)陣排列優(yōu)化情形。

本文試圖從圓環(huán)陣圖像反演的過程出發(fā)，提出一種簡化的目標函數(shù)。由于圓環(huán)陣在（u，v）平面的采樣點并非落在規(guī)則柵格上，通常采用柵格化處理后進行規(guī)則的矩形 FFT 圖像反演［17，20］。受此啟發(fā)，可以將圓環(huán)陣的UV覆蓋離散劃分為Ngrid×Ngrid個柵格，且有

式中:操作符“［］”表示取整運算，常數(shù)4／π為整個矩形UV覆蓋區(qū)域與圓環(huán)陣圓形采樣區(qū)域的面積之比。采用式（12）來確定Ngrid值是為了使圓環(huán)陣的圓形采樣區(qū)域近似由N（N-1）個柵格組成。在此意義上，我們認為，最均勻且無冗余的UV覆蓋應該是每個柵格中有且僅有一個采樣點。同一柵格內(nèi)的多個采樣點被平均后認為只有一個采樣點。

由此，定義一種簡單直觀的目標函數(shù)

式中，Neff表示所有柵格內(nèi)的有效采樣點數(shù)目總數(shù)。相應地，本文方法的優(yōu)化目標就是最大化有效采樣點數(shù)Neff.由式（13）易知，目標函數(shù)的計算復雜度為O（N2），與式（11）相比，計算復雜度顯著降低。

相應地，QPSO算法的適應度函數(shù)定義為

式中的負號是因為適應度函數(shù)通常定義為最小化目標函數(shù)。采用式（14）定義的適應度函數(shù)，無疑會大大提高QPSO優(yōu)化圓環(huán)陣UV覆蓋的計算效率。

3.數(shù)值仿真實例

以陣元數(shù)N=9的圓環(huán)陣（半徑R為單位波長）為例，驗證本文所提基于QPSO的圓環(huán)陣排列方法的有效性，并比較兩種目標函數(shù)的性能。仿真實驗運行環(huán)境:CPU為Pentium IV 2.8GHz，內(nèi)存1 GB.QPSO算法種群的個體數(shù)目為50，最大迭代次數(shù)MaxIter=500，參數(shù)g參照基本PSO算法慣性參數(shù)w，設定如下線性遞變方式

式中:a=1；b=0.5.

圖1（a）給出了9單元UCA的陣元位置示意圖，圖1（b）給出了其對應的UV覆蓋示意圖，可見，UCA的UV覆蓋在徑向上呈現(xiàn)外密內(nèi)疏的非均勻分布。按照式（13）目標函數(shù)衡量，有效采樣點數(shù)Neff=48.圖1（c）（見421頁）給出了 UCA的陣列因子AF（即綜合孔徑成像系統(tǒng)對理想點源的沖擊響應），其第一旁瓣電平（FSL）為-7.18dB.

圖2（a）給出了按照Cornwell目標函數(shù)，用以前方法得到的9單元優(yōu)化圓環(huán)陣［14］的陣元位置示意圖，圖2（b）給出了其對應的UV覆蓋示意圖，其有效采樣點數(shù)Neff=54.圖2（c）（見421頁）給出了其對應的陣列因子AF，其第一旁瓣電平為-9.29dB.

圖3（a）給出了按照式（13）目標函數(shù)，利用QPSO算法得到的9單元優(yōu)化圓環(huán)陣的陣元位置示意圖，圖3（b）給出了其對應的UV覆蓋示意圖，其有效采樣點數(shù)Neff=68.可見，優(yōu)化圓環(huán)陣的有效采樣點數(shù)大大多于UCA和原優(yōu)化圓環(huán)陣時的情形，且接近于理想值Ntheoeff=9×8=72.這也說明了式（13）目標函數(shù)能更好地衡量圓環(huán)陣UV覆蓋的均勻程度。圖3（c）（見421頁）給出了該圓環(huán)陣的陣列因子AF，其第一旁瓣電平為-11.04dB.可見，優(yōu)化圓環(huán)陣的旁瓣電平明顯優(yōu)于UCA和原優(yōu)化圓環(huán)陣時的情形。

圖4給出了QPSO算法的收斂曲線以及與標準PSO算法的比較，可見，QPSO算法很好地克服了經(jīng)典PSO算法早熟收斂的問題，且保持了較快的收斂速度。收斂曲線比較表明QPSO算法具有良好的全局尋優(yōu)效率。進一步地，表1給出了N=5～12時UCA與優(yōu)化圓環(huán)陣的Neff值比較。表2比較了N=5～12時，分別采用Cornwell目標函數(shù)和式（13）目標函數(shù)，每次迭代所需要的時間。從表2可以清楚地看出，Cornwell目標函數(shù)的迭代時間隨陣元數(shù)N增大而呈非線性急劇增長。可見，采用式（13）目標函數(shù)其計算時間遠小于Cornwell目標函數(shù)；而且，陣元數(shù)越大，這種計算時間上的優(yōu)勢愈發(fā)明顯。

圖3

圖4 QPSO算法的收斂曲線以及與標準PSO算法的比較

表1 UCA與本文方法得到的優(yōu)化圓環(huán)陣的Neff值比較

表2 式（13）目標函數(shù)與Cornwell目標函數(shù)每次迭代所需時間的比較

4.結(jié) 論

稀疏天線陣列設計是綜合孔徑微波輻射計的一個重要研究內(nèi)容。圓環(huán)陣具有實現(xiàn)（u，v）平面基線零冗余、結(jié)構(gòu)簡單以及共形、波束旋轉(zhuǎn)對稱等特點，在陣列輻射計工程實際中均具有獨特的優(yōu)勢。但是，均勻圓環(huán)陣（UCA）的非均勻UV覆蓋，對反演成像不利。因此，需要優(yōu)化UCA陣元位置來改善圓環(huán)陣的UV覆蓋，但現(xiàn)有圓環(huán)陣優(yōu)化方法均存在計算復雜度過高以及早熟、全局尋優(yōu)精度不夠等缺陷，限制了這些方法在天線工程實際中的應用。

針對這些缺陷，本文提出了基于量子微粒群（QPSO）的綜合孔徑輻射計圓環(huán)陣排列優(yōu)化方法，來改善圓環(huán)陣的UV覆蓋。該方法特點在于:一是引入了量子行為的搜索機制，改進經(jīng)典PSO算法參數(shù)控制和位置更新方程，從而在不增加計算復雜度的前提下提高了算法的全局搜索能力和收斂效率，且簡化了參數(shù)的定義及調(diào)節(jié)；二是設計了一種新的圓環(huán)陣排列優(yōu)化目標函數(shù)，其原理是基于圓環(huán)陣的非均勻UV覆蓋通常采用柵格化處理然后進行規(guī)則的矩形FFT圖像反演。與現(xiàn)有方法采用的目標函數(shù)相比，該方法的目標函數(shù)的計算復雜度大為降低，且能更好地度量圓環(huán)陣UV覆蓋的均勻程度。數(shù)值仿真結(jié)果表明:該方法求解圓環(huán)陣優(yōu)化時具有收斂較快、全局尋優(yōu)能力強的特點，而且由此導出的圓環(huán)陣UV覆蓋的均勻程度大大改善，對應的陣列因子旁瓣電平明顯降低，有利于反演成像。此外，由于目標函數(shù)明顯簡化，算法迭代求解時間相應地大大縮短，因而非常適于求解陣元數(shù)較大的圓環(huán)陣排列優(yōu)化情形。本文提出的基于QPSO的圓環(huán)陣排列優(yōu)化情形。本文提出的基于QPSO的圓環(huán)陣排列方法對綜合孔徑微波輻射計的二維天線陣列優(yōu)化設計具有參考價值。下一步工作將研究不同勢阱分布函數(shù)和控制參數(shù)g對QPSO算法性能和陣列優(yōu)化結(jié)果的影響。

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