H?lder型矩陣不等式及改進

黃 燦

(重慶大學數學與統計學院，重慶 400044)

H?lder不等式在數學定理的證明過程中起著重要的作用［1－2］。王松桂［3］給出了半正定Hermite矩陣跡的H?lder不等式成立的充要條件。設A，B為n×n階半正定Hermite矩陣，A≠0，B≠0，p＞1，1/p+1/q=1，則 trA1/pB1/q≤(trA)1/p(trB)1/q，等號成立??k ＞0，使得 B=kA。本文利用 Fuad［1］給 Young 不等式加細的技巧對該結論進行改進，得到了實對稱矩陣跡加細的H?lder不等式成立的充要條件。Young不等式、H?lder不等式及Minkowski不等式是幾個重要的不等式。本文在文獻［1］和文獻［3］的基礎上進一步將它們推廣。

1 預備知識

Young不等式:若 a，b＞0，p＞1，1/p+1/q=1，則有

H?lder不等式:若 p＞1，1/p+1/q=1，則有

2 主要結果

定理1 加細的H?lder不等式為

兩邊同時乘X1/pY1/q。即得結論。

定理2 加細的矩陣H?lder不等式:設A，B為n×n階實對稱正定矩陣，p＞1，1/p+1/q=1，則

等號成立??k＞0，使得B=kA。

［1］Fuad Kittaneh，Yousef Manasrah.Improved Young and Heinz inequalities for matrices［J］.Math Anal Appl，2010，361:262－269.

［2］劉玉璉.數學分析講義:上［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.北京:科學出版社，2006.

［4］Horn R A，Johnson C R .Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1985.

［5］魏佳麗，郭輝.利用凸函數證明H?lder不等式［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2009(6):540－542.