不均勻板振動特性的數值計算與實驗研究

李桂云，馬秀琴

（1.天津冶金職業技術學院 機械系，天津 300400；2.河北工業大學 能源與環境工程學院，天津 300401）

0 引言

機械設備用不均勻板材相比均勻厚度板材是一種節約型板材，在造船、汽車等行業應用十分廣泛．機械設備用板材的自由振動問題具有較高的理論和實際研究價值，許多研究人員[1-3]已經對不均勻板的自由振動進行了多年的研究．由于板材自由振動的復雜性，一般需要進行數值計算來獲得離散點的數值解[4-6]．本文提出了一種新的用于計算不均勻板自由振動問題的離散方法．為了驗證理論上獲得的板材振動特性數值解的準確性，應用激光全息干涉法對板材的振動特性進行了實驗研究．本文的計算和試驗方法可為不均勻板材的振動特性研究提供一定的參考價值．

1 板材自由振動特性的數值計算

本文采用離散的方法來研究機械設備用板材的振動特性，對板材單元進行離散時沒有對板材的變形做任何的假設，克服了傳統的Rayleigh-Ritz法中的形狀函數的假設．板材自由振動頻率的數值求解分成以下3個步驟．

第1步，用 函數建立基本微分方程．

用 函數建立基本微分方程，這些微分方程完全滿足于整個板的任何單元．不均勻板的基本微分方程如下

第2步，獲得離散點的數值解．

把微分方程轉化成積分方程，采用數值積分，獲得離散點的數值解．方程 (1)在點 (i,j)的離散結果如下式中：系數的表達式,詳見參考文獻 [1]．

第3步，應用格林公式獲得板材自由振動振幅和特征方程．

利用數值積分和無量綱方程，我們可以得到變厚板的自由振動的特征方程 (4)．

通過式 (4)的分析，可以看出，計算板材的振動頻率時，用到的參數只是板的邊界上的未知量，而與板中間單元的未知量無關，這樣大大減少了未知數的個數．

2 板材自由振動特性實驗研究

2.1 實驗裝置

將裝有應變儀的試樣固定在夾具上，使其形成懸臂梁的邊界條件,并用發聲器發出聲音．應變儀的最大輸出振蕩頻率被視為共振頻率．使用平均時間法，獲取在感光板上形成的全息圖，以達到獲得這些共振圖形的目的[7-8]．實驗裝置如圖1所示．

2.2 實驗原理

全息攝影的特性是記錄光波的相位和振幅．激光光束被分光鏡分割成基準光束和物體光束后產生干涉波形，波形被全息相紙記錄．如果再用同樣波長的基準光束照射全息圖一次，則顯示最初的物體光束[7,9]．實驗原理如圖2所示．

圖1 激光全息干涉儀Fig.1 Laser holography instrument

2.3 實驗準備

本文分別對均勻厚度板材、非均勻厚度板材和帶有缺陷板材的振動特性進行了實驗驗證．各種板材的選擇如下．

2.3.1 均勻厚度板材

實驗用鋁合金板材的長度和寬度為90mm，厚度為1 mm．

2.3.2 非均勻厚度板材

實驗用兩種非均勻厚度板材的形狀如圖3所示．

2.3.3 帶有缺陷的板材

實驗用有缺陷板尺寸和性能如表1．有缺陷板的形狀和尺寸如圖4所示，缺陷位于板的中間．

圖2 全息原理Fig.2 Principleof hologram

圖3 非均勻厚度板材（孔用于安裝）(單位mm)Fig.3 Specimen with non-uniform thickness(holesused for fixing)

圖4 帶有缺陷板Fig.4 A platewith adefect

表1 帶有缺陷板材的尺寸及性能Tab.1 Characteristics of the specimen of plates with a hole defect

3 實驗結果與數值計算結果對比

3.1 均勻厚度板材

通過全息干涉法獲得各向同性的均勻厚度懸臂板的振動頻率和節點圖如圖5所示．其中上面圖像為實驗得到的頻率值，下面為數值解的頻率值．

3.2 非均勻厚度板材

圖6和7為板A和B在5階振動模式下的節點模型圖，其中左側為數值解，右側為實驗值．

3.3 帶有缺陷的板材

帶有缺陷A的振動頻率如圖8所示．通過圖5至圖8可以看出，三類板材的數值解與實驗得到的振動圖形基本一致．均勻厚度板材所有振動圖形線對稱于垂直坐標軸．非均勻厚度板材的振動圖形線不對稱于垂直坐標軸，獲得的是傾斜的振動圖形．

圖5 均勻厚度板材節點圖Fig.5 Nodal patternsfor plateswith uniform thickness(upper:experimental;lower:analytical)

圖6 板A的數值計算與實驗節點振型的比照圖Fig.6 Comparison of nodal patternsof analytic and experimental resultsof plate A

圖7 板B數值解與實驗節點圖Fig.7 Comparison of nodal patternsof analytical and experimental resultsof plate B

圖8 缺陷A板的數值解和實驗振動頻率值的比較圖Fig.8 Vibration frequenciesof analytical and experimental results(defect-A)

4 結論

本文就各向同性均勻厚度、非均勻厚度和帶有缺陷板材的自由振動進行了數值計算和實驗研究．數值計算結果與實驗結果相比較具有很高的一致性．其比較的結果表明本文提出的數值計算方法可以得到很好的收斂性和滿意的精度．本文獲得的實驗結果對不均勻板材自由振動頻率測量具有足夠的精度．

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