基于Bayes理論的小子樣維修性驗證方法研究

李建偉，陳先有，趙小全，王 棟

(陸航駐景德鎮地區軍事代表室，江西景德鎮 333002)

0 引言

維修性是現代裝備的重要設計特性，是影響裝備戰斗力的重要因素。平均修復時間(MTTR)作為維修性的一個核心指標，其結果已成為衡量裝備維修性工作好壞的重要依據［1］。維修性驗證就是對裝備的維修性指標值進行驗證，要求在自然故障或模擬故障條件下，根據試驗中得到的數據，統計計算維修性參數，進行判決，驗證其維修性是否達到指標要求。

目前，國內對平均修復時間(MTTR)的驗證采用的是 GJB2072－94中給出的三種經典驗證方法［2］:(1)對數正態分布，對數方差已知時的驗證方法;(2)分布未知，方差已知時的驗證方法;(3)分布未知，方差未知時的驗證方法。國軍標中的方法是基于大樣本的數理統計理論，試驗費用高昂，研制周期長，不利于裝備早日裝備部隊。基于Bayes理論的小子樣維修性驗證方法正是在這種需求下產生的。Bayes方法綜合利用各種驗前信息，結合少量的現場維修性試驗信息，對裝備維修性指標作出可信的評估，從而降低裝備研制費用、縮短研制周期，促進新(改進)裝備盡快定型并投入使用，最終實現飛機戰斗力的提升［3］。

1 基于Bayes理論的小子樣維修性驗證方法

1.1 確定維修時間總體分布

總體分布是進行Bayes統計分析首先需要解決的問題。對于維修時間而言，它不是一個常數，而是以某種統計分布的形式存在的。在維修性分析中最常用的時間分布有正態分布、對數正態分布、指數分布和Γ分布。維修時間總體分布的確定方法是首先采用直方圖法對獲得的維修時間數據進行統計分析，判斷所服從的分布模型，然后對分布模型的有效性進行檢驗。通常采用的檢驗方法是x2檢驗方法和K～S檢驗方法。x2檢驗方法只適用于大樣本的情況，而K～S檢驗方法既適用于大樣本，又適用于小子樣情況，所以本文選用K～S檢驗方法進行檢驗。K～S檢驗方法是一種常用的檢驗方法，本文在此不作詳細介紹，具體方法步驟可參考文獻［4］。

1.2 驗前分布的確定

在進行Bayes統計推斷時，本文采用應用比較廣泛的隨機加權法確定驗前分布。隨機加權法(Bayes Bootstrap)是一種通過抽樣獲得統計量的方法，但該方法中的抽樣是依據Dirichlet分布。實際應用和仿真計算表明:隨機加權法較自助法有較高的精確度［5］。

運用隨機加權法對該現場子樣進行估計，步驟如下:

首先，抽取n－1獨立且在［0，1］上服從均勻分布的樣本u1，u2，…，un－1，按從小到大次序重新排列，記為u(1)，u(2)，…，u(n－1)，設u(0)=0，u(n)=1，令vi(j)=u(i)－u(i－1)，i=1，2，…，n，則(v1(j)，v2(j)，…，vn(j))的聯合分布即為所求。

3)分布參數μ、σ2的估計分別為:

由第3步可知，μ(j)=－(j)，j=1，2…，N，據N個μ估計值計μ(j)，畫出直方圖，就得到隨機加權法之下μ的驗前密度π(μ)。

1.3 多源信息融合

由于收集的驗前信息可能很多，需要將這些不同的驗前分布合理客觀的融合為一個綜合驗前分布，對于驗前分布的融合，目前比較常用的加權融合方法有:基于專家信息的加權融合方法和基于可信度的加權融合方法［6］。但這兩種方法都有一定缺陷，利用專家信息獲得權重因子的方法主觀性偏強，而基于可信度的加權方法在小子樣情況下對驗前信息的可信度的確定比較困難，在實際工程應用中很難實現。基于此，本文提出一種基于ML－II(第二類極大似然估計)的驗前分布融合方法。

1)由驗前分布πj(θ)得到的邊緣分布為

2)由邊緣分布m(x|πj)得到似然函數的表達式如下:

3)根據極大似然估計原理，L(X|πj)的值越大，則其所對應的驗前分布πj(θ)在融合驗前分布中所占的權重應該越大。于是得到融合權重的表達式如下:

4)由此得到融合驗前分布為

1.4 小子樣維修性驗證

在確定了維修時間總體分布以及平均修復時間的驗前分布之后，接下來就要討論基于Bayes理論的平均修復時間驗證方法—基于驗后似然比的驗證方法。基于驗后似然比的驗證方法是通過計算驗后似然比得到判決規則，依據給定的兩類錯誤確定現場試驗樣本量。

設X～N(θ，σ2)，其中 σ2已知，或由以往資料得到其適當精度的估計值;θ為總體分布參數。通過分析計算得到θ的驗前分布為正態分布N(μ，v2)，其中μ、v2為已知的θ的驗前均值和方差。按合同給出平均修復時間MTTR的指標值θ0，承制方風險α和訂購方風險β。可以通過如下方法對平均修復時間進行驗證，作如下假設:

其中λ為檢出比，由承制方和訂購方商定。

1)檢驗判據

首先計算兩種假設的驗前概率比:

由Bayes公式及(7)可計算兩種假設的驗后似然比為:

也即

當式(9)成立時，備選假設H1成立的概率大于原假設H0成立的概率，此時拒絕原假設，認為平均修復時間MTTR不符合要求。否則，接受原假設，認為平均修復時間符合要求。

2)樣本量的確定

其中P0、P1分別為假設H0、H1成立的驗前概率，由于θ的驗前分布為正態分布N(μ，v2)，故

由α和β兩關系式聯合求解可得最小驗證樣本量:

從而有

不等式右邊正是經典方法下所需的試驗樣本量。故由上述分析可知，由于綜合了驗前信息，使得現場樣本量有所減少，這充分體現了Bayes方法的優越性。

2 算例

下面結合某裝備系統的維修時間數據，利用本文研究的方法進行小子樣維修性驗證，已知接受值μ0=45，μ1=70，α =0.05，β =0.05。假設以下三組數據都經過維修時間數據的預處理，驗前信息與現場試驗信息通過一致性檢驗。

1)歷史維修時間數據:240，150，110，60，50，40，40，40，35，30，30，30，30，30，30，20(min)。

2)相似系統的維修時間數據:200，140，100，60，48，45，45，40，35，35，30，30，20(min)。

3)現場維修時間數據:60，120，45，30，30，20，40，40，35，60，35，20，60，30(min)。

2.1 確定維修時間總體分布

1)作出歷史維修時間分布模型的直方圖

圖1 歷史數據分布直方圖

通過直方圖可以初步確認維修時間服從對數正態分布，下面采用K～S檢驗方法對該模型的有效性進行檢驗。

2)K～S檢驗

將歷史數據取對數從小到大排列(重復數據合并為1個)，各次序統計量對應的頻數為ni，計算過程見表1:

表1 K～S檢驗計算表

從表1中可以得出=max(di)=0.2679，如果取顯著性水平α=0.05，查柯爾莫哥洛夫檢驗臨界值表，可得到D0.05(16)=0.32733，由＜D0.05(14)，接受原假設，認為X服從正態分布，即維修時間Y服從對數正態分布。

2.2 驗前分布的確定與融合

由于總體分布服從對數正態分布，所以把維修時間的對數作為研究對象，對每組數據的對數采用隨機加權方法確認其驗前分布，然后采用前面介紹的基于ML－II的驗前分布融合方法進行融合。

對第一組驗前信息采用隨機加權方法來確定其驗前分布，利用隨機加權法對第一組驗前數據(已取對數)的均值進行3000次仿真。仿真結果如圖2所示:

通過仿真擬合，由Bayes Bootstrap方法計算第一組驗前分布為 π1(θ)～N(3.8219，0.16432)。

同樣用隨機加權法對第二組驗前分布進行確定，計算結果為 π2(θ)～N(3.9289，0.16832)。

所以由式(5)得到 ε1=0.76，ε2=0.24，再由式(6)得到 π(θ)～N(3.8476，0.13122)。

2.3 小子樣維修性驗證

由Bayes方法可知所需的樣本量可由下式確定:

其中P0、P1分別為假設H0、H1成立的驗前概率，標準差σ由歷史數據估計為=0.477，由于θ的驗前分布為 π(θ)～N(3.8476，0.13122)，故

由于合同給出的指標值μ0=45，則θ0=lnμ0－σ2=3.6929，同理可得 θ1=4.1314，λ =，代入計算得到樣本量n=3.7192，向上取整為4，故現場需要做4次試驗。判決規則為，從現場數據中按照樣本分配方法抽取4個樣本，若這4個樣本的對數均值:

則認為該系統不符合維修性要求而拒絕，否則接受。

若依據國軍標的方法，至少需要30個現場樣本，可見樣本量大大減少了。

3 結束語

維修性驗證的經典統計方法由于所需的試驗樣本量太大，難以滿足實際工程需要。本文提出了一種小子樣維修性驗證方法，重點對基于Bayes理論的維修性驗證方法進行了探索和研究。并通過實例分析，證明了該方法可以大大減少現場試驗樣本量，從而降低了試驗費用，縮短了試驗周期，能使裝備早日形成戰斗力。

［1］于永利，郝建平，杜曉明，等.維修性工程理論與方法［M］.北京:國防工業出版社，2007，6.

［2］GJB 2072－94.維修性試驗與評定［S］.

［3］趙亮，李積源.基于Bayes理論的小子樣維修性試驗與評定研究［J］.艦船電子工程，2006，26(1):113～117.

［4］張玉柱，胡自偉，曹世民，等.維修性驗證試驗與評定統計原理［M］.北京:國防工業出版社，2006，5.

［5］張守玉，封偉書.基于隨機加權法的裝備平均維修時間驗證研究［J］.裝備指揮技術學院學報，2009，20(3):100－103.

［6］馮靜，周經倫，孫權.Bayes分析中多源驗前信息融合的 ML －II方法［J］.數學的實踐與認識，2006，36(6):142－145.