MR－TMD減振系統(tǒng)對(duì)連續(xù)箱梁橋振動(dòng)控制研究

袁小欽，劉習(xí)軍，張素俠

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072;2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

隨著鐵路運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展，列車運(yùn)行速度不斷加快，車輛載重逐步加大，車－橋耦合系統(tǒng)的相互作用愈加明顯，軌道激勵(lì)引起的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性。因此，對(duì)橋梁減振進(jìn)行深入研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)橋梁振動(dòng)控制進(jìn)行過深入研究。Gu等[1]提出一種杠桿式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，采用半主動(dòng)控制方法對(duì)大跨度橋梁在風(fēng)致振動(dòng)下的控制進(jìn)行了數(shù)值模擬。Shi等[2]在考慮橋面不平順的情況下，數(shù)值模擬了TMD對(duì)車輛通過公路橋梁的振動(dòng)控制。Chen等[3]對(duì)大跨度公路橋梁在風(fēng)荷載和汽車荷載作用下TMD對(duì)橋梁振動(dòng)抑制進(jìn)行了研究。Wang等[4]基于多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(MTMD)減振原理，在不考慮列車軌道不平順的情況下，研究MTMD對(duì)臺(tái)灣高速鐵路橋振動(dòng)控制。Jo等[5]考慮橋面粗糙度的因素，研究了TMD對(duì)車輛荷載作用下的三跨連續(xù)鋼箱梁橋振動(dòng)的影響，結(jié)果表明TMD對(duì)連續(xù)梁靜態(tài)變形抑制很少，但能很快抑制車輛通過橋梁之后的自由振動(dòng)。Jiang等[6]通過實(shí)驗(yàn)的方法論證了MR阻尼器對(duì)橋梁振動(dòng)控制的有效性。

MR－TMD減振裝置是一種新型阻尼裝置，它結(jié)合了磁流變阻尼器智能化的可控性以及調(diào)諧質(zhì)量阻尼器構(gòu)造簡(jiǎn)單又比較經(jīng)濟(jì)的特點(diǎn)。本文在考慮橋梁軌道不平順的條件下，建立了列車－橋梁－阻尼器耦合動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)出耦合振動(dòng)方程組。基于自主研發(fā)的高速鐵路車－橋－軌動(dòng)力耦合仿真分析平臺(tái)(TDBCA1.0)，研究不同車速下的連續(xù)箱梁橋跨中節(jié)點(diǎn)位移和加速度，分析了MR－TMD對(duì)橋梁振動(dòng)抑制的效果。結(jié)果表明，軌道不平順對(duì)橋梁位移影響較小，對(duì)橋梁振動(dòng)加速度影響較大，且列車速度越快對(duì)橋梁振動(dòng)加速度影響越明顯。TMD、MR－TMD對(duì)抑制連續(xù)箱梁橋的位移不明顯，但對(duì)抑制橋梁振動(dòng)加速度效果良好，MRTMD對(duì)橋梁振動(dòng)抑制效果優(yōu)于TMD。

1 耦合系統(tǒng)模型的建立

1.1 車－橋－阻尼器耦合系統(tǒng)模型的建立

耦合系統(tǒng)包括車輛子系統(tǒng)、橋梁子系統(tǒng)和阻尼器子系統(tǒng)。在假設(shè)列車勻速行駛的條件下，三個(gè)系統(tǒng)基于力學(xué)平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件，采用自主研發(fā)的高速鐵路車－橋－軌動(dòng)力耦合仿真分析平臺(tái)(TDBCA 1.0)，通過Newmark－β法求解動(dòng)力學(xué)方程。

每一節(jié)列車由一個(gè)車體、兩個(gè)轉(zhuǎn)向架和四個(gè)輪對(duì)組成，由車輛結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，只給出1/2模型示意圖，如圖1所示。分別考慮車體沉浮和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)向架沉浮和點(diǎn)頭以及輪對(duì)的沉浮運(yùn)動(dòng)。

圖1 1/2車輛結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structural model of half train

車體、轉(zhuǎn)向架及輪對(duì)的動(dòng)力學(xué)方程矩陣為:

式中:kct，cct分別為列車二系懸掛裝置豎向剛度子矩陣和阻尼子矩陣;ktw，ctw分別表示一系懸掛裝置豎向剛度子矩陣和阻尼子矩陣;mcc，mtt和mww分別表示車體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)的由質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組成的子矩陣;qcc，qtt和qww分別表示車體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)的由沉浮位移和點(diǎn)頭轉(zhuǎn)角組成的子矩陣。

橋梁橫截面如圖2所示，阻尼器安裝在箱梁中部。采用常規(guī)空間梁?jiǎn)卧U單元建立橋梁有限元分析模型，則橋梁的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為:

圖2 橋梁－阻尼系統(tǒng)的設(shè)置Fig.2 .Bridge combined with damper system

MR-TMD阻尼裝置的動(dòng)力學(xué)方程為:其中，ms，cs，ks為 TMD 阻尼器的質(zhì)量、阻尼和剛度;)阻尼器質(zhì)量塊的位移和速度;z(x，t)和bs為安裝阻尼器處橋梁節(jié)點(diǎn)位移和速度。Fmr(t)為磁流變阻尼器提供的半主動(dòng)控制力。Em為控制位置指示矩陣。當(dāng)橋與阻尼器在第i個(gè)節(jié)點(diǎn)通過阻尼器相連時(shí)，Ei=－1，其余元素等于0，F(xiàn)mr(t)為一維控制力向量。

令 qs=zs(t)－zb(xs，t)，則(3)式可寫成:

由式(1)、式(2)、式(4)組成耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:

其中，腳標(biāo)c、b和s分別表示列車、橋梁和阻尼系統(tǒng);M、C、K和F分別表示對(duì)應(yīng)的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和力矩陣。q表示系統(tǒng)的位移矩陣。

1.2 軌道不平順模擬

軌道不平順是由軌道方向不平順、軌距不平順、高低不平順和水平不平順組成。本文將軌道不平順過程視為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)高斯過程，采用文獻(xiàn)[7]給定的德國(guó)軌道不平順功率譜，通過三角級(jí)數(shù)疊加法[8]模擬軌道不平順，其樣本可按下式產(chǎn)生:

其中，w(x)為所產(chǎn)生的軌道不平順序列;s(ωk)為給定的軌道不平順的功率譜密度函數(shù);ωk(k=1，2，…，N)為所考慮的頻率，其中ω1、ωn分別為所考慮頻率的上下限;Δω為頻率間隔的帶寬;φk為相應(yīng)的第k個(gè)頻率的相位，一般可按0～2 π間均勻分布取值。

1.3 阻尼器的選取和優(yōu)化

1.3.1 調(diào)諧質(zhì)量阻尼器

為控制橋梁在共振車速下產(chǎn)生過大的豎向振幅，確保列車的安全性和舒適性，將阻尼器安裝在豎向振幅相對(duì)最大的橋梁跨中。文獻(xiàn)[9]給出了TMD最優(yōu)參數(shù)解析式如下:

其中，μ為TMD質(zhì)量與橋梁模態(tài)質(zhì)量之比;ζopt為TMD自身最優(yōu)阻尼比。

根據(jù)上述條件，只要確定一個(gè)控制因素μ，橋梁第n個(gè)模態(tài)對(duì)應(yīng)的質(zhì)量Mbn和橋梁自振頻率ωb，即可按(8)式確定TMD質(zhì)量ms，彈簧系數(shù)ks和阻尼系數(shù)cs，設(shè)m為主梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量，φn(x)為第n個(gè)振型函數(shù)，則:

1.3.2 磁流變阻尼器控制策略

由式(2)和式(4)可得狀態(tài)方程:

Enr和Emr為位置指示矩陣。

當(dāng)采用瞬時(shí)最優(yōu)控制[10]時(shí)，系統(tǒng)最優(yōu)控制性能指標(biāo)為:

控制力向量為:

實(shí)際上MR阻尼器所提供的阻尼力可能達(dá)不到由控制律所決定的控制力，假設(shè)Fmin，F(xiàn)max分別為MR阻尼器所提供的最小和最大阻尼力，由控制律求得的控制力Fopt，本文采用以下半主動(dòng)控制策略確定加在MRTMD系統(tǒng)上的力Fmr，sign(Fopt)為取符號(hào)函數(shù):

2 仿真分析

2.1 參數(shù)選取

2.1.1 橋梁計(jì)算參數(shù)

如圖3所示，橋梁為(80+128+80)m無砟軌道預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁。梁體采用C50混凝土，彈性模量為 Ec=34.5 GPa，密度為 ρ=2.551 ×103kg/m3。中支點(diǎn)梁高為 9.6 m，面積為 32.93 m2，抗彎慣性矩為385.73 m4;跨中梁高為 5.6 m，面積為 16.21 m2，抗彎慣性矩為81.70 m4;邊支座中心線至梁端高為0.85 m，面積為15.64 m2，抗彎慣性矩為71.83 m4。梁高按圓曲線變化，橋面二期恒載取為184 kN/m。橋梁采用空間梁?jiǎn)卧M，可得橋梁前兩階豎向振動(dòng)頻率為fb1=1.1096 Hz，fb2=1.993 0 Hz;則由公式(8)得 Mb1=3.889 82 ×106kg，Mb2=2.494 98 ×106kg。

圖3 橋梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖(單位:m)Fig.3 .Configurations of the railway bridge(unit:m)

2.1.2 車輛計(jì)算參數(shù)

列車選用德國(guó)ICE3型動(dòng)力列車，一節(jié)列車由一個(gè)車體、兩個(gè)轉(zhuǎn)向架和四個(gè)輪對(duì)組成，本文列車編組采用(3動(dòng)車+1拖車)×4，共16節(jié)車。列車計(jì)算參數(shù)如表1所示。

2.1.3 阻尼器選取

(1)TMD參數(shù)選取

由式(7)和式(8)取μ=0.01。對(duì)第一階橋梁豎向振動(dòng)頻率TMD選取參數(shù)為:ms=3.889 8×104kg，ks=1.853 4 MN/m，cs=32 398.0 N·s/m;對(duì)第二階橋梁豎向振動(dòng)頻率TMD選取以下參數(shù)ms=2.495 0×104kg，ks=3.835 3 MN/m，cs=37 324.7 N·s/m。

(2)MR阻尼器的選取

MR 阻尼器的阻尼力 Fmr采用 Bingham 模型[10－11]，由阻尼器的本構(gòu)關(guān)系[12]可得:

其中，Ap為活塞的有效面積，Ap=[π(D2－d2)]/4;D 為缸體的內(nèi)徑;d為活塞桿直徑;L為活塞有效長(zhǎng)度;h為活塞與缸體間的間隙為活塞與缸體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度;η是磁流變液動(dòng)力粘性系數(shù)，η=0.93;τz為磁流變液的可控剪應(yīng)力，由外接電壓產(chǎn)生的磁場(chǎng)決定。本文采用最大可提供200 kN阻尼力磁流變阻尼器[12]，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

表2 200 kN大噸位MR阻尼器的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Main structural parameters for the large-scale

文獻(xiàn)[12]通過多項(xiàng)式擬合得出磁流變液剪應(yīng)力與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系。通過不同對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度下減振效果的試算，本例仿真分析磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.80 T，采用式(12)的半主動(dòng)控制算法模擬。

2.1.4 不平順選取

根據(jù)文獻(xiàn)[7]提供的德國(guó)高速軌道譜對(duì)車速的適用性，本文采用德國(guó)高干擾軌道不平順。圖4為數(shù)值模擬的288 m橋梁軌道豎向不平順曲線。

2.2 計(jì)算結(jié)果分析

2.2.1 不平順對(duì)橋梁振動(dòng)的影響

考慮與不考慮軌道不平順的條件下，列車以不同的車速通過橋梁時(shí)橋梁跨中節(jié)點(diǎn)最大位移和加速度曲線分別如圖5和圖6所示。結(jié)果表明，軌道不平順對(duì)橋梁跨中節(jié)點(diǎn)最大位移影響較小，這與文獻(xiàn)[13]結(jié)論一致。但橋梁跨中加速度峰值卻有很大差別，列車在存在軌道不平順的橋梁上運(yùn)行時(shí)，橋梁跨中加速度明顯比不存在軌道不平順時(shí)大，且列車速度越大，差異性越大。因此在分析車－橋耦合振動(dòng)問題時(shí)，軌道不平順不能忽略。

圖4 軌道豎向不平順Fig.4 A sample of vertical irregularity of track

圖5 不同車速下軌道不平順引起橋梁跨中節(jié)點(diǎn)最大位移值Fig.5 Influence of track irregularity on the peak value of vertical displacement at mid-span

圖6 不同車速下軌道不平順引起橋梁跨中節(jié)點(diǎn)最大加速度值Fig.6 Influence of track irregularity on the peak value of vertical acceleration at mid-span

圖7 99 km/h車速下橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向位移時(shí)程曲線Fig.7 Time histories of displacement at mid-span of bridge with train speed of 99km/h

圖8 99 km/h車速下橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向加速度時(shí)程曲線Fig.8 Time histories of acceleration at mid-span of bridge with train speed of 99 km/h

2.2.1 MR-TMD對(duì)橋梁減振的影響

列車以多節(jié)車輛編組而成，單節(jié)列車長(zhǎng)d。列車對(duì)橋梁的動(dòng)力作用可看作間距為d，基頻為v/d的周期荷載。橋梁第n階豎向自振頻率為fbn，則列車通過橋梁時(shí)引起橋梁共振的車速[13]滿足:vn=d·fbn/j(j=1，2，3...)。取 j=1，列車的前兩階共振車速 v1=99.0 km/h，v2=177.8 km/h。表3為共振車速下橋梁在不安裝阻尼器，安裝TMD，安裝MR－TMD阻尼器的情況下，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)。

表3 橋梁跨中節(jié)點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)Tab.3 Dynamic response at mid-span of bridge

橋梁在第一階共振車速下橋梁跨中節(jié)點(diǎn)位移時(shí)程曲線如圖7所示，列車在通過三跨連續(xù)箱梁橋時(shí)，橋梁以撓度變形為主，阻尼器對(duì)橋梁變形控制有限。在共振車速下，TMD，MR-TMD阻尼器對(duì)三跨連續(xù)箱梁橋位移抑制不超過1.7%，但對(duì)連續(xù)箱梁橋振動(dòng)加速度控制明顯。橋梁在第一階共振車速下橋梁跨中節(jié)點(diǎn)加速度時(shí)程曲線如圖8所示，列車在開始上橋的幾個(gè)周期里MR-TMD的減振效果并未優(yōu)于TMD，這是由于半主動(dòng)控制算法使MR阻尼器追蹤主動(dòng)控制，可以提供和耗散結(jié)構(gòu)能量，MR-TMD自身的動(dòng)力特性決定它只是耗散結(jié)構(gòu)能量[14]。此外通過數(shù)值模擬分析MR-TMD不僅對(duì)連續(xù)梁橋在共振區(qū)的加速度抑制優(yōu)于TMD，在非共振區(qū)也有一定的減振效果。

3 結(jié)論

本文在考慮軌道不平順的情況下，建立了列車－橋梁－阻尼器耦合動(dòng)力方程。通過實(shí)例研究軌道不平順對(duì)連續(xù)箱梁橋振動(dòng)的影響，比較分析了TMD、MRTMD對(duì)橋梁減振效果，研究結(jié)果表明:

(1)軌道不平順對(duì)橋梁位移影響較小，但對(duì)橋梁振動(dòng)加速度影響較明顯。列車速度越快，軌道不平順對(duì)橋梁振動(dòng)加速度影響越大。

(2)安裝TMD、MR-TMD阻尼器后，橋梁在阻尼力的作用下加速度峰值減小明顯，且MR-TMD阻尼器的減振效果優(yōu)于TMD阻尼器。

(3)MR-TMD阻尼器對(duì)抑制非共振區(qū)的橋梁振動(dòng)有效。

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