船筏減振雙線性系統的最優半主動阻尼控制

高新科

(1.上海交通大學 電子信息與電氣工程學院，上海 200240;2.洛陽師范學院 信息技術學院，洛陽 471022)

船筏是應用于船艦上的一種減振降噪裝置。其機理是利用船筏裝置中彈性元件的阻尼和中間質量的設計控制并衰減振動能量，使船艦表殼的振動減小。國內外許多學者在船艦的減振降噪方面進行了大量研究，并發表了相關論文[1-5]。因此，改善船艦上浮筏隔振系統的減振性能十分重要。

在半主動阻尼控制研究方面，Karnopp[6]首先提出了“連續天棚控制”(continued skyhook control)，Rakheja等[7-8]研究了“平衡控制”。Hrovat等[9-12]提出最優半主動解是時變性的，很難用一個完全的解析解來表示最優控制，所以僅能證明這種數值解十分逼近最優解，可以稱其為“次優解”。這種利用線性回歸方法近似獲得非線性反饋控制策略的方法很有借鑒意義。該文解決了線性建模問題最優解的搜索問題，但是，對于雙線性(bilinear)系統的模型并沒有進行最優解的搜索工作。所以本文將會對未解決的雙線性系統模型進行研究。

由于構成雙線性系統的各種元器件都要受到最大能力的限制，各種部件都會出現飽和現象，執行器的飽和非線性是半主動船筏隔振系統的一個典型特征[13-17]。因此雙線性系統的控制器也存在阻尼大小范圍的約束。本文利用極大值原理，通過受約束的梯度法數值求得船筏減振雙線性系統的最優半主動阻尼曲線。由于控制曲線的非線性特性很強，甚至存在不可導的問題，所以搜尋得到的解可能只是次優解，接近最優解，所以引入脈沖函數并進行理論推導，解決了不可導曲線無法求解的缺陷，從而適用于雙線性建模的系統。本文最后還比較了新方法與被動阻尼系統，半主動天棚阻尼系統在隨機和沖擊信號激勵下的減振效果。

1 減振系統模型

船筏減振系統的簡化物理模型如圖1所示。具體參數為上層質量m1，下層質量m2，上層彈簧剛度k1，下層彈簧剛度k2，智能阻尼器的阻尼系數為c(t)。

定義m1所受的力為fm1(t)，m1位移為x1，速度為，加速度為傳遞給k2的力為fm2(t)，m2的位移為x，速度為，加速度為。

圖1 船筏減振簡化模型Fig.1 Simplified model of the ship raft vibration reduction

根據牛頓第二定理，建立微分方程如下:

利用拉氏變換求出傳遞函數:

實驗仿真的程序中所用實驗數據為:m1=138 kg;

2 最優被動阻尼比

船筏減振系統的頻域特性G(jω)可以通過令式(5)中的s=jω得到。以ω為自變量的函數，其實部即傳遞率的幅值之比，將其定義為R(ω)。為了得到最優被動阻尼比，系統參數遵循以下定義:

將 R(ω)改寫為與 g，ζ，μ，f有關的函數 T(g，ζ，μ，f)，則傳遞率的幅值比可以寫作:

式中:μ =0.9，f=2.3，選擇不同的阻尼比來得到傳遞率的幅值比，如圖2所示。注意到不同阻尼比下的曲線交匯于三點(A，B，C)，定義 gA，gB，gC分別是三點的橫坐標，它們可以通過(7)式解出:

最優被動阻尼要求有較小的共振峰。且應在點A處產生共振峰，即A點為曲線的頂點。通過反復的試湊，最優被動阻尼比值應為ζopt=0.66。

3 半主動船筏減振系統非線性分析

本文研究的雙線性系統中的阻尼器是個非線性環節。執行器的飽和非線性是半主動船筏減振系統的典型特征，換句話說，任何形式的可調阻尼器都存在飽和非線性，對于深入研究半主動船筏減振系統的非線性控制具有非常重要的意義。飽和非線性是控制系統中最常見的一種非線性特性，幾乎所有的實際系統，當以足夠大的信號驅動時，由于構成系統的各種元器件都要受到最大能力的限制，會出現飽和現象。圖3所示為理想化的典型飽和非線性，c為阻尼器的可控屈服阻尼力，其數學表達式為:

圖2 位移傳遞率在不同阻尼比下關于頻率比的函數Fig.2 Displacement transfer ratio in different damping ratio about the function of frequency ratio

圖3 理想的飽和非線性Fig.3 Nonlinear characteristics of the idealized saturation

下面據已有的船筏減振系統模型以及式(1)、(2)建立系統的狀態方程，研究船筏減振系統在阻尼控制技術下的減振效果。

定義狀態變量 z1，z2，z3，z4，令:

得到狀態空間方程為:

從式(9)、(11)、(12)可看出本文研究的船筏減振系統模型為雙線性系統模型。

4 半主動阻尼控制策略的研究

半主動控制可以通過實時調節隔振系統的質量，剛度以及阻尼來實現隔振效果。實際應用中，由于改變阻尼系數比較容易實現，且有比較成熟的方法，如電流變、磁流變智能阻尼器等。

4.1 天棚阻尼控制策略

Karnopp等提出的天棚阻尼控制策略，基于單自由度的隔振模型。

在實際應用中，不可能將阻尼與一個不動的參考平面連接，此時提供的阻尼力正比于質量的絕對速度。這是一種理想中的情況，稱作“天棚阻尼”，阻尼大小為csky。設激勵輸入層速度為，隔振后的速度為。

實際的基于“天棚阻尼”的控制算法為:

在這種控制策略下，對該系統進行數值仿真。取系統阻尼比ζ=1.0，在單頻激勵為系統固有頻率5倍的情況下用matlab編程仿真，可控阻尼大小由式(13)決定。在高頻情況下(如圖4)，輸出力在零和天棚阻尼力之間切換。如圖4(e)、(f)所示，半主動控制對于速度v1和位移峰值x1的抑制明顯，高頻部分的控制效果提高顯著。

圖4 天棚阻尼半主動控制系統在正弦激勵下的穩態響應Fig.4 Steady-state response of skyhook damping semi-active control systems in the sine excitation

4.2 最優半主動阻尼控制策略

為了得到最優半主動阻尼控制曲線，首先需要有一個評價系統性能優劣的指標函數。如圖1所示，該船筏模型的工程背景是為了使輸出力fm2最小，提出該雙線性減振系統的性能指標泛函J:

式中:fm1=k2x2，k2是常數，x2為下層質量的位移，t1和t2分別是起始時刻和終止時刻。為了避免因絕對值引起的計算上的不便，取衡量力的大小，同時省略了常數k2。

由圖3中c為阻尼器的可控屈服阻尼力，具有理想化的典型飽和非線性特征。實際中雙線性模型中的控制變量，即阻尼c是受以下約束的。

根據極大值原理條件，建立哈密爾頓函數為:

根據哈密爾頓原理，系統取得極值的必要條件是:

根據極大值原理，要使求得的極值最小，與c有關的部分要取得最小，即:-z4)要最小。

由于哈密頓函數方程比較難解出，可用數值方法近似求解c(t)。

4.3 最優控制曲線的理論推導

(1)δ函數:定義在實數域R上滿足如下條件的函數δ(t)稱為δ函數:

其中t≠0時 δ(t)=0，f(t)是在 t=0處連續的任意函數。

由式(18)可以得到δ(t-t0)的定義為:

其中t≠t0時 δ(t-t0)=0，f(t)是在t=t0處連續的任意函數。

(2)變分導數的定義:對于內積空間(S，〈·，··〉，映射，就稱F是S上的一個泛函。如果φ∈S，對任意δφ∈S，λ∈K，如果存在Aφ∈S使得:

即:

則記Aφ為F在φ處的導數。

如果取S=R 或者 C，內積〈a，b〉 =ab，則上述定義的導數和普通函數的導數定義是一致的，推廣到R或，也是一致的。取S為廣義函數空間，則內積為，則按照該定義與式(20)，可得:

其中o(λ)為無窮小量，可變形為:

記 Aφ= δF(φ)/δφ，Aφ仍為廣義函數，其在 x處的值通常記為:

(3)泛函的定義:記Fy(f)=f(y)，則有:

根據式(19)，有:

據式(23)可知:

根據式(24)有:

將式(26)與式(25)、(27)、(28)比較可得:

已知目標函數式(14)，對其求變分梯度，其中最關鍵的一項是變分導數，即:

利用式(1)、式(2)，對c(t)求變分導數有:

其中，δ(t-τ)由式(29)給出，即δ(t-τ)=δc(τ)/δc(t)，式(31)中皆表示位移對時間t求一階導數和二階導數。δx2/δc可以利用該式解出其數值解。

在這里，比較容易混淆的是τ和t的關系。事實上，兩者都表示的是時間，但區別在于，τ是一個確定的時間點，而t則是一個時間遍歷。可以這樣理解，運動方程式(1)、(2)中各個變量在每一個確定的時間點τ上都具有確定的狀態，而式(31)中對c(t)求變分導數則相當于對每個時刻τ加上了一個“微小的擾動函數”，即δc(t)。這就是式(31)在物理上的含義。同時，由于脈沖函數δ(t-τ)的引入，在數學上也可以理解為，在最優控制曲線上，考慮了連續不可導的點的影響。下面將利用梯度下降法求取最優控制曲線:先取一個初始的c(t)，用最優被動阻尼c0=0.66cmax。然后固定c(t)，數值求解原問題得到x1和x2，再對式(31)進行數值求解，得到 δx2/δc，代入式(30)，得到 c(t)的梯度方向。然后更新c(t)，重復以上步驟，直到滿足最優化條件。

5 最優阻尼控制效果仿真及分析

下面將本文提出的半主動最優控制策略與天棚半主動阻尼控制策略、被動阻尼策略的控制效果進行比較。

實驗中，阻尼器的最大阻尼系數取 cmax=3 838 N·m-1·s。最小阻尼系數取 cmin=383 N·m-1·s。最優阻尼比 ζopt=0.66，copt=2 553N·m-1·s。理想天棚阻尼比 ζsky=0.3，csky=1 151N·m-1·s。實際工程中，輸入力包含的頻率成分比較復雜，下面分別模擬較為常見的輸入力為隨機信號、沖擊信號的情況。

5.1 隨機信號激勵下的響應

給定輸入力是一個均勻分布的白噪聲隨機信號，最大幅值為10，通過低通濾波器得到的頻帶為0～100 Hz，5種控制方法的控制效果如圖5所示。可以看出，最大、最小、最優被動阻尼三種控制策略下的輸出力，在2.5 s附近均有一個瞬時尖峰超過了輸入力最大振幅，阻尼控制不太理想。天棚阻尼控制雖然也有瞬時尖峰，但是未超過輸入力最大振幅。半主動最優控制阻尼得到的輸出力時域曲線相比其它幾種控制方法要更“光滑”，瞬時峰值較前四種小很多，離輸入力最大幅值較遠。即在隨機輸入下，最優控制阻尼能得到更好的控制效果，減振效果最優。

圖5 隨機信號激勵下五種阻尼控制輸出力Fig.5 Output force of five damping control methods in random signal input

為準確量化評價隔振性能，可以通過輸出力的均方根值(如表1所示)，經減振的輸出力由大到小排列為:最小被動阻尼、最大被動阻尼、最優被動阻尼、天棚阻尼半主動控制、半主動最優阻尼控制。最優被動減振是被動減振技術中減振效果最好的，好于最大阻尼減振和最小阻尼減振。最小被動阻尼控制輸出力均方根值為4.868 8 N，小于輸入力最大幅值10 N。經過半主動最優阻尼控制的輸出力的均方根值為2.256 5 N，是最小的。所以，在對隨機振動的減振控制方面，最優半主動控制性能最佳。

5.2 沖擊信號激勵下的響應

給定的輸入力是一個沖擊信號，在零時刻的力為10 N，其余時刻都為0。從圖6可以看出，半主動最優控制阻尼得到的輸出力時域曲線相比其它幾種控制方法更“平滑”，即在沖擊信號輸入下，最優控制阻尼能得到更好的控制效果，所以減振效果最優。從圖6亦可以看出來，最小阻尼隔振效果的穩定時間比較長，超過3 s，而半主動最優阻尼隔振技術的穩定時間僅需0.5 s。而且初始1 s內的振幅也比其他四種小，即半主動最優阻尼隔振的“過沖”比較小，綜合性能指標最好。

圖6 沖擊信號輸入下五種阻尼控制下輸出力Fig.6 Output force of five damping control methods in Impact signal incentive

如表1所示，輸出力均方根值由大到小排列為:最小被動阻尼、最大被動阻尼、天棚阻尼半主動控制、最優被動阻尼、半主動最優阻尼控制。五種阻尼控制策略減振效果都很好。經過半主動最優控制的輸出力的均方根值等于0.041 7 N，為五種輸出力中最小。所以，在對沖擊振動的減振控制方面，最優控制的性能最佳。由表1可見，本文所述五種阻尼控制策略在對沖擊信號和隨機信號減振方面，對沖擊信號的減振效果遠遠優于對隨機信號減振。故船筏雙線性系統在沖擊信號減振方面優勢明顯。

表1 5種阻尼控制下輸出力振幅的均方根值Tab.1 Output force amplitude RMS values of five damping control

6 結論

為了研究船筏隔振系統的減振性能，建立了船筏減振雙線性系統模型。雖然理論上無法得到最優阻尼曲線的解析解，但是系統的最優阻尼可以利用極大值原理進行數值逼近。由于控制曲線非線性很強，甚至存在不可導的問題，所以搜尋得到的解可能并不是最優解，而是次優解，嘗試引入脈沖函數，并進行數學理論推導。因為搜索最優控制阻尼的成功與否，與選取的初始值是否合適有著很大的關聯。本文對極大值原理的條件做進一步推廣，方便最終的數值求解，使用變分導數求解泛函的下降方向來求解泛函的極值，數值求解最優阻尼曲線。最后，仿真分析了最大被動阻尼、最小被動阻尼、最優被動阻尼、半主動天棚阻尼、半主動最優阻尼隔振的隔振效果。結果表明:在隨機和沖擊信號激勵下，新方法比被動阻尼系統、半主動天棚阻尼系統的減振效果顯著，綜合性能指標最好。綜上所述，船筏雙線性系統最優半主動阻尼控制策略是本文所述五種控制策略中減振效果最好的，并且對沖擊信號的減振效果明顯好于對隨機信號減振。

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