投影混沌同步試驗研究

楊慶超，朱石堅，劉樹勇，曾強洪

(海軍工程大學 船舶與動力學院，武漢 430033)

線譜混沌化控制技術利用非線性隔振系統處于混沌狀態時其響應功率譜呈現連續譜這一特征來消除或降低動力機械對船體的線譜激勵[1－4]，但在實際工程應用中面臨如何在變工況條件下實現持續的混沌運動這個問題。針對這一難題，俞翔等[5]提出了外加混沌信號實現廣義同步，從而使系統保持持續的運動，從而使隔振系統保持持續的混沌運動，但該方案對參數選擇相當嚴格，降低了系統的魯棒性。張振海等[6]將振動系統離散化，根據反饋混沌化理論，對系統施加離散反饋控制從而實現混沌，但該方法要求控制器輸出力為方波信號，現有作動器在工程上難以實現。文獻[7－8]從理論上深入研究了將混沌投影同步應用于隔振系統的可行性，但并沒有開展相關的試驗研究工作。本文根據在船舶的機械系統中，隔振元件的振幅比被隔振設備主尺度小3至4個數量級，其非線性特性體現不明顯的工程實際，設計了試驗臺架、線性隔振元件和混沌驅動系統，對混沌投影同步開展了試驗研究。

1 試驗臺架及混沌驅動系統設計

1.1 試驗原理

試驗系統由激振系統、臺架部分、數據采集、控制、輸出部分、控制力輸出部分四部分組成。本文所設計的試驗臺架如圖1和圖2所示。

圖1 投影混沌同步試驗原理圖Fig.1 The schematic diagram of projective synchronization test

圖2 試驗臺架Fig.2 The substance of test equipment

其中:M1為下層質量塊質量，M2為上層質量塊質量，C1為下層隔振器的阻尼系數，C2為上層隔振器的阻尼系數，K1為下層隔振器的剛度，K2為上層隔振器的剛度，Fc為作動器的輸出力，F為系統輸出外力。

將式(1)進行無量綱化處理得到:

將式(1)寫成一階矩陣形式:

式中:

若滿足 rank[B﹉AB﹉A2B﹉A3B]=4，則系統是狀態完全能控，可以認為該系統為線性定常單輸入系統，存在線性非奇異變換Xr=Tc1X，矩陣方程變換為:

式中:

兩自由度隔振系統參數為μ=0.2，k1=1，k2=2，ξ1=0.2，ξ2=0.2，f=10cos(Pi× t)[8]，代入上式可得:

選取y=x1作為輸出函數，系統變換后，

受控隔振系統為:

其中:u(t)為受控系統所加的控制量;

選取Duffing方程為目標混沌系統，

進行仿真，得到不同控制情況下系統的響應。

圖3 原系統x1－x2相圖Fig.3 The x1－ x2phase portrait of vibration isolation system

圖4 基座的位移頻譜圖Fig.4 The power spectrum of base displacement

由圖3知，施加控制后系統不再是周期振動，在受控情況下隔振系統的振動參數幅值明顯小于未受控制。由圖4(a)，4(b)知，當隔振系統實現投影同步時，不僅可以完全消除線譜，而且整個隔振系統的位移功率譜大大降低，整體隔振性能得到提高。

1.2 彈簧設計和靜、動態剛度測試

為了設計合適的試驗臺架，首先進行了彈簧加工。根據GB/T15168－94《振動與沖擊隔離器性能測試方法》要求，對彈簧的動、靜剛度進行測試。

其靜剛度Ks為:

式中:P0為隔振元件額定靜載荷，N;ΔP為靜載荷變量，N;ΔX 為靜變形增量，mm;X1.1為在 1.1 倍額定載荷時隔振元件的靜變形值，mm;X0.9為在0.9倍額定載荷時隔振元件的靜變形值，mm。

彈簧靜剛度分析結果如表1所列。

表1 彈簧靜剛度計算Tab.1 Analysis result of spring stiffness

動剛度測試設備選用美國MTS公司通用液壓伺服試驗系統，如圖5所示。

其動剛度kd為:

式中:X0為遲滯回線上最大位移與最小位移之差，mm;FT為最大位移點力值與最小位移點的力值之差，N。

1.3 隔振系統阻尼的計算

在試驗裝置中，滑塊和彈簧都存在阻尼，為此，試驗前對臺架阻尼進行了測試，本文采用的方法是半功率阻尼測試法，其計算公式為:

圖5 隔振元件剛度測試裝置Fig.5 The test equipment for isolation component stiffness

式中:ξ為阻尼比，ωn系統共振頻率，ω1和ω2為幅值為對應的兩點頻率點。

在試驗裝置上下層質量板布置加速度傳感器，用激振器對系統作掃頻激勵試驗，得出曲線，如圖6和圖7所示。

圖6 上層加速度同外界激勵力傳遞函數幅頻曲線Fig.6 Transfer curve of upper acceleration and out exciting force

圖7 下層加速度同外界激勵力傳遞函數幅頻曲線Fig.7 Transfer curve of lower acceleration and out exciting force

由圖6和圖7可知系統的固有頻率為5 Hz和11.4 Hz，由圖6知，固有頻率5 Hz處的半功率點為4.987 Hz和5.075 Hz，固有頻率11.4 Hz處的半功率點為11.214 Hz和11.585 Hz，可求出系統的粘滯阻尼因子分為0.008 87 和0.016 3。

由圖7可知，固有頻率5 Hz處的半功率點為4.982 Hz和5.048 Hz，固有頻率11.4 Hz處的半功率點為11.374 Hz和11.648 Hz，可求出系統的粘滯阻尼因子分別為 0.006 6 和 0.012。

1.4 混沌驅動系統設計

混沌驅動系統基于32位ARM Cortex M3內核的控制器STM32F103。進行投影混沌同步試驗時，把文獻[8]的驅動混沌系統寫入控制器，然后通過A/D模塊把混沌信號以模擬量的形式進行輸出，所設計的混沌驅動系統如圖8所示，混沌驅動系統產生的信號如圖9所示。

圖8 混沌驅動系統實物圖Fig.8 The substance diagram of chaos driving system

圖9 混沌驅動系統產生的信號Fig.9 The chaos signal produced by driving system

2 試驗研究

由于試驗臺架實際裝置下層高度較小，作動器尺寸較大，采用上層質量位移為系統輸出，作動器安裝在兩質量塊之間，選取不同的激勵頻率進行試驗，由于篇幅限制，只列舉三種情況。

(1)激勵頻率為5.807 Hz

(2)激勵頻率為7.055 Hz

(3)激勵頻率為9.459 Hz

表2 不同隔振系統隔振效果Tab.2 The isolation effect of different isolation system

(1)在以上不同的激勵頻率條件下，系統處于不同的運動狀態，由加速度功率譜可知，在單頻激勵下，激勵頻率處功率譜特征線譜非常明顯，如圖10、圖14、圖18所示，施加混沌投影同步控制后，上層質量塊加速度功率譜在激勵力頻率處呈現連續譜，線譜強度明顯降低，如圖11、圖15、圖19所示。

圖10 被動隔振時上層質量塊加速度功率譜圖Fig.10 The power spectrum density of upper acceleration without PS control

圖11 主動隔振時上層質量塊加速度功率譜圖Fig.11 The power spectrum density of upper acceleration with PS control

圖12 被動隔振時上層位移與速度相圖Fig.12 The phase portrait of upper mass displacement and velocity without PS control

圖13 投影同步控制時上層位移與速度相圖Fig.13 The phase portrait of upper mass displacement and velocity with PS control

圖14 被動隔振時上層質量塊加速度功率譜圖Fig.14 The power spectrum density of upper acceleration without PS control

圖15 投影同步控制時上層質量塊加速度功率譜圖Fig.15 The power spectrum density of upper acceleration with PS control

圖16 被動隔振位移與速度相圖Fig.16 The phase portrait of upper mass displacement and velocity without PS control

圖17 投影同步控制時上層質量塊位移與速度相圖Fig.17 The phase portrait of upper mass displacement and velocity with PS control

圖18 被動隔振時上層質量塊加速度功率譜圖Fig.18 The power spectrum density of upper acceleration without PS control

圖19 主動隔振時上層質量塊加速度功率譜圖Fig.19 The power spectrum density of upper acceleration with PS control

圖20 被動隔振位移與速度相圖Fig.20 The phase portrait of upper mass displacement and velocity without PS control

圖21 主動隔振位移與速度相圖Fig.21 The phase portrait of upper mass displacement and velocity with PS control

(2)由上層質量塊位移和速度相圖可得出，單頻激勵未加控制時，系統呈現簡單的周期運動，如圖12、圖16、圖20所示;投影同步控制后，系統位移和速度相圖非常復雜，呈現混沌特性，如圖13，圖17、圖21所示。

(3)由圖11、圖15、圖19可知，對隔振系統施加投影同步控制后出現線譜，該線譜的出現并不隨激勵頻率變化而變化，而是基本固定在69.5 Hz和其倍頻程139 Hz處，就其原因是對系統施加投影同步控制后，產生混沌運動的上層質量塊對下層質量塊的作用力為一個寬頻激勵，其必然會激勵出隔振系統固有模態(或固有頻率)，由于時滯等不確定因素的存在，對高頻信號不可能做到精確控制，從而在功率譜圖上高頻處出現線譜。

3 結論

在理論研究的基礎上，本文設計了基于投影同步的試驗臺架，驗證了投影同步方法使非線性隔振系統在不同工況下產生混沌的有效性，試驗研究表明，在混沌狀態下，線譜強度明顯降低，為有效解決線譜控制技術中遇到的使非線性系統在變工況下保持混沌這一難題提供了思路。

[1]樓京俊，朱石堅，何 琳.混沌隔振方法研究[J].船舶力學，2006，10(5):135－141.

[2]Lou J J，Zhu S J，He L，et al.Application of chaos method to line spectra reduction[J].Journal of Sound and Vibration，2005，286:3645 －3652.

[3]Liu S Y，Yu X，Zhu S J.Study on the chaos anti-control technology in nonlinear vibration isolation system[J].Journal of Sound and Vibration，2008，310(4):855 －864.

[4]Yu X，Zhu S J，Liu S Y.A new method for linear spectra reduction similar to generalized synchronization of chaos[J].Journal of Sound and Vibration，2007，306:835 －848.

[5]Yu X，Zhu S J，Liu S Y.A new method for line spectra reduction similar to generalized synchronization of chaos[J].Journal of Sound and Vibration，2007，306:835 －848.

[6]張振海，朱石堅，樓京俊.基于離散混沌化方法的線譜控制技術研究[J].振動與沖擊，2010，29(10):50 －53.

[7]Wen G L，Lu Y Z，Zhang Z Y，et al.Line spectra reduction and vibration isolation via modified projective synchronization for acoustic stealth of submarines[J].Journal of Sound and Vibration，2009，324:954 －961.

[8]曾強洪，朱石堅，樓京俊.基于滑模控制投影混沌同步在隔振系統中的應用研究[J].振動與沖擊，2010，29(12):114－118.