桿、梁有限元模型的模態的振蕩性質

鄭子君，陳 璞，王大鈞

(湍流與復雜系統國家重點實驗室，北京大學 力學與空天技術系，北京 100871)

一維連續體是指一個維度比另外兩個維度的尺度大得多，位移限制在平面內，且除兩端外不受約束的變形體。常見的單跨平面桿、弦、Euler梁等模型都屬于一維連續體。描述一維連續體的形變狀態時，只需給出結點在一個方向上的(廣義)位移值。如果不計一維連續體的分布質量，只有n個集中質量，此時的系統為n自由度的離散系統。該系統在常見支座條件下的模態有如下規律:

(1)沒有重頻，即0＜f1＜f2＜f3＜f4＜…＜fn。

(2)第1階振型內部沒有結點(結點:曲線在此點取零值，且斜率異于零)。

(3)第i階振型內部有i－1個結點。

(4)相鄰兩階振型的結點相間。

(5)由第 i，i+1，…，j階模態疊加而成的運動，任意時刻撓曲線的結點數介于i－1和j－1之間。

上述規律通常稱為模態的振蕩性質(oscillation property)。振蕩性質是模態的重要定性性質，有著深刻的物理含義，可用于彈性結構振動反問題的研究[1－2]，也可作為數值離散方案以及計算結果是否合理的輔助判據。

利用振蕩理論以及切比舍夫函數族的性質，文獻[3](定理 3.6.2、定義 3.6.3、定理 3.10.7 和定理 3.10.8)給出了質量集中在有限個點上的一維連續體，模態滿足振蕩性質的一個充分條件。

引理1:若在一維連續體的內部或自由端受到單個集中力作用時，各處均有同受力方向的非零位移;且對任意的n＞1，當其內部和自由端受到n個任意的集中力作用時，撓曲線穿過x軸不超過n－1次，則此連續體的固有模態具有振蕩性質

利用上述引理，文獻[3]證明了:

引理2:常見支承條件(固支、簡支等)下的Euler梁、桿、弦均滿足引理1的條件，從而它們的模態具有振蕩性質。

一維連續體的近似模型，除了上述的分布剛度、集中質量模型，實際計算中還可用其它模型進行離散，如有限差分模型、有限元模型，它們的模態是否能反應振蕩性質是值得關注的。設xk為一維連續體的離散結點，uk為結點模態位移，定義u－線為x－u平面上連接相鄰(xk，uk)點的折線段，則一維連續體的位移離散模型適用的振蕩性質為:

(1)沒有重頻，即0＜f1＜f2＜f3＜f4＜… ＜fn。

(2)第1階振型的u－線沒有結點。

(3)第i階振型的u－線有i－1個結點。

(4)相鄰階的振型的u－線結點相間。

(5)第i，i+1，…，j階振型的任意線性組合得到的u－線的結點數介于i－1和j－1之間。

文獻[1，4－5]利用振蕩矩陣的性質，通過將有限差分離散的變截面參數的梁、桿、弦等的剛度矩陣化為一系列對角、三對角矩陣的連乘形式，用代數方法證明了采用有限差分離散的梁的模態總是滿足振蕩性質的。文獻[1]采用類似方法證明了桿有限元模型的振蕩性質。

在有限元分析中，Euler梁通常采用2結點三次Hermite插值單元離散，其對應的總體剛度矩陣為七對角矩陣，難以直接利用文獻[1，4－5]中分析有限差分模型的矩陣方法來分析其模態的振蕩性質，目前尚未見到相關論述。本文利用梁的集中質量模型與有限元模型的靜力學解的一致性，指出兩種常見的梁有限元模型的模態也具有振蕩性質。

1 關于位移離散模型模態振蕩性質的一個定理

為了證明本文的結論，先敘述如下兩個引理:

引理 3:(文獻[3]定理 2.5.6，定理 2.7.10):若矩陣F(Fij)為振蕩矩陣，即F滿足:① 行列式非零;②次對角元均為正;③ 對于1≤m≤n，任取0＜i1＜i2＜…＜im≤n行和0＜j1＜j2＜…＜jm≤n列，都有子式:

則以F為柔度矩陣的振動系統的模態具有離散振蕩性質。

引理4:(文獻[3]引理3.5.4):一組線性無關連續函數{φi(x)}(i=1，2，…，m)的任意組合在某閉區間上穿過x軸的次數都不超過m－1次，等價于對于閉區間內任意的m個點x1＜x2＜…＜xm，都有行列式:

異于零(從而在閉區間上具有相同的符號)。

在引理3與引理4的基礎上，對一維連續體的離散模型可以建立本文的主要定理。

定理1:設一維連續體的離散模型具有n個結點，若該離散系統的單個結點受到集中力作用時，各結點的位移均同向且非零;當該離散模型受到m(1＜m≤n)個任意的結點集中力作用時，u－線穿過x軸不超過m－1次，則此離散系統的模態滿足振蕩性質。

證明:記影響系數矩陣為F(Fij)對角集中質量矩陣為M，依引理3將定理的證明轉化為證明FM為振蕩矩陣。注意到FM的各階子式的正負性只與影響系數矩陣F有關，與質量矩陣M無關，因此只需證明影響系數矩陣F為振蕩矩陣。由F的正定性條件①成立。

由定理1題設中一維連續體的離散模型受單個正的結點力時各點位移都為正，即:

對任意的非約束結點i，j都成立，特別的，次對角元為正，即振蕩矩陣的條件②被滿足。

在引理4中取函數族{φi(x)}為該系統任意m個結點i1＜i2＜…＜im受單位作用力時的u－線，{ci}為作用在這m個結點上的集中力，那么按照定理1的條件假設，引理4的條件成立，取點集{xk}為任意m個結點i1＜i2＜…＜im的坐標，從而行列式:隨著結點j1＜j2＜…＜jm的變化在非零處保持同號。又取{ik}={jk}，即取式(4)為F的主子式，則由F的正定性可知式(4)非負，因此F的任意m階子式非負。遍取m為2到矩陣F的階次，可知條件③成立。

根據定義F為振蕩矩陣，定理證畢。

結合引理1、引理2和定理1，如果有限元模型在只受結點力作用的情況下，結點位移與解析解相等，再加上集中質量矩陣的條件，則有限元模型的模態具有振蕩性質;下面將證明，桿、弦的有限元模型模態具有振蕩性質，從最小余能原理構造的梁有限元模型模態具有振蕩性質;對于Hermite三次插值函數的Euler梁單元，若截面參數在單元內取常數，模態也具有此性質;但是，若截面參數在單元內不為常數，模態未必具有振蕩性質。

2 有限元桿模態的振蕩性質

文獻[1]中給出的有限元桿的振蕩性質證明是通過代數方法得到的，我們在這里直接利用定理1對有限元桿給一個簡單的說明。

首先，如果只有作用在結點的集中力，有限元桿的靜力學解在結點上與連續桿的解析解等同。因為對于等截面桿單元，我們有:

如果是變截面桿單元，由于單元伸長量總是正比于所受拉力，因此總可找到一個等效單元剛度系數從有限元理論可得到原桿的有限元解和以EAii為截面參數的桿的解析解在結點上相等。注意到u－線是折線，其變號數不會比經過其結點的任意曲線的變號數多，由引理2，桿的解析解能滿足引理1的條件，易知桿的有限元解也必然滿足定理1的條件。因此有限元桿的離散振動解都滿足振蕩性質。

3 有限元Euler梁模態的振蕩性質

3.1 單元剛度的余能原理構造

有限元分析中，梁的剛度矩陣可以通過余能原理或Heilinger-Reissener原理得到。如果只有作用在結點的集中力，梁的彎矩圖是一條折線，各單元內的彎矩可表示為兩端彎矩{mi，mj}T的線性插值M=NF(ξ)·，則按余能原理可以構造如下的單元內控制方程:

式中:{αi，αj}T是兩端的相對轉角，如圖1所示;矩陣Fe可以理解為簡支梁的柔度矩陣，其逆是對應簡支梁的剛度矩陣。相對轉角與撓度和轉角的關系為:

圖1 相對轉角α1，α2的定義Fig.1 The definitions of the relative angles α1，α2

如圖2所示，對只有結點作用力的情形，彎矩在單元內線性變化，因此有限元形函數插值能準確描繪單元內彎矩。按照有限元理論，此時內力和位移在結點上等同于解析解。由引理2，Euler梁的解析解能滿足引理1的條件，且有限元解u－線的變號數不多于解析解撓曲線的變號數，可知按余能原理構造的有限元Euler梁能滿足定理1的條件，因此具有振蕩性質。

圖2 梁單元內的彎矩、剪力分布Fig.2 A possible distribution of the bending stiffness and the shearing force inside a single element

3.2 單元剛度的位能原理構造

有限元Euler梁的單剛的位能原理構造的標準方案是2結點三次Hermite插值梁單元，其單剛為:

式中:Nd=[1 － 3ξ2+2ξ3，l(ξ－ 2ξ2+ ξ3)，3ξ2－ 2ξ3，l(ξ3－ξ2)]，單元內位移場 we(ξ)=Ndue，ue=[w1，θ1，w2，θ2]T為結點變量。

若單元內截面參數EI為常數，記第i個單元內的截面參數為EIi，則以EIi分段截面參數的連續梁解析解和有限元插值位移場同為三次函數，根據有限元理論，此時有限元梁的靜力學解等同于該連續梁的解析解，因而也滿足定理1的條件，具有振蕩性質。

若EI在單元內不為常數，則此時形函數不能精確插值位移場。當其受到n個集中力時，求得的u－線的變號數可能大于n－1，從而不滿足定理1的條件，使得有限元梁的振蕩性質不成立。

算例1:如圖所示左右對稱的簡支梁，離散為四個長度均為1的單元，三個內部結點上各有單位大小的集中質量:

圖3 受集中力的簡支梁Fig.3 A simple supported beam under the action of a concentrated force

第1、4個單元的截面參數為常數:E(ξ)I(ξ)=4易知其單剛為:

第2、3個單元的截面參數關于梁中點對稱，且在第2單元內為分段函數:

顯然截面參數在單元內變化相當大，在實際應用中不會出現這樣的單元，這里采用這種單元僅僅是探討在單元截面參數變動的情況下，有限元梁是否始終滿足定理1的條件。它的單剛為:

利用對稱性可得第3單元的單剛。

設梁中點受到單位集中力的作用，用有限元法可解得其位移場如圖4所示:

可見此時結點2、4的方向與結點3以及受力方向相反，不能滿足定理1的條件。這個結果顯然在物理上是不合理的。

圖4 算例1位能原理有限元解的位移場Fig.4 The displacement field of Example 1 by potential energy principle FEM

可以用余能原理計算的結果作為對比。本例中第1、4單元的余能原理構造的單剛與位能原理構造的單剛相同。第2單元的余能原理單剛為:

第3單元的單剛可由上式和對稱性得到。組裝后求得結點位移與解析解的位移場比較如圖5所示:

圖5 算例1余能原理有限元解與解析解的位移場Fig.5 The displacement field of Example 1 by Heilinger-Reissener principle FEM

由圖5可見，如前所述，余能原理構造的有限元的解在結點上等同于解析解。

對比圖4圖5，可以看出本例使用位能原理方法時，若采用這種剖分方案，不僅剛度被大大高估，還得出了彎曲反向，結點位移反號的不合理結果，而力法有限元能適應這種剖分。進一步檢驗兩種算法模態的振蕩性質:

取僅有單位結點平動質量的集中質量矩陣，采用位移有限元法計算，振型的u－線如下圖:

圖6 算例1位移有限元法模型的模態Fig.6 The modes of Example 1 by potential energy principle FEM

結點上的各振型位移如表1。

表1 算例1位移有限元法求解模態的結點振型Tab.1 The modal values of modes for example 1 by potential energy principle FEM

顯然，若采用本例所述的剖分方式，位移有限元模型解得的模態不符合力學規律，也不滿足離散振蕩性質:從表1中可以看出，本例中一階振型有一個結點，二階振型有兩個結點，三階振型沒有結點，不符合第n階振型的u－線只有n－1個結點的要求;由于三階振型沒有結點，相鄰階結點相互交錯的性質自然也不能滿足。這與其靜力學解的結果不滿足定理1的條件是對應的。

采用余能原理構造的有限元模型計算模態得:

圖7 算例1余能原理有限元法模型的模態Fig.7 The modes of Example 1 by Heilinger-Reissener principle FEM

易驗證此時模態滿足離散振蕩性質，與前述的結論相吻合。

理論上，Euler梁的模態應該滿足振蕩性質。用位移有限元計算的算例1不滿足振蕩性質，是這種剖分方案的離散誤差過大引起的。實際劃分單元時不可能允許截面參數在一個單元內有太大的變化，本例的意義僅在于說明了在Euler梁的位移法有限元計算中，隨著系統誤差的增加，看似顯然的力學性質(模態的振蕩性質和定理1的充分條件)也有可能不復成立。

4 結論

本文證明了一維連續體離散模型的模態振蕩性質的一個充分條件，并利用此條件證明了用兩結點桿單元，用余能原理構造的兩結點Euler梁單元，以及用等截面兩結點三次Hermite插值Euler梁單元離散的連續體，均具有振蕩性質。

本文給出的反例顯示，當單元為變截面時，采用位移法有限單元離散的Euler梁未必滿足振蕩性質。這主要是由單元內截面參數變化過大時，離散誤差過大引起的。這從側面說明了在劃分單元時應當注意使得單元內截面參數比較均勻這一有限元的基本結論。至于截面參數達到何種均勻程度時，能使得有限元梁的模態具有振蕩性質，將在后續工作中予以說明。

[1][加]Gradwell G.M.L.振動中的反問題[M].王大鈞，何北昌譯.北京:北京大學出版社，1991.

[2]王大鈞，結構動力學中的特征值反問題[J].振動與沖擊，1988，7(2):31 －43.

[3][蘇]Gantmakher F.R.，[蘇]Krein M.G 著.振蕩矩陣，振蕩核和力學系統的微振動[M].王其申譯，合肥:中國科學技術大學出版社，2008.

[4]王其申，何北昌，王大鈞.Euler梁的模態和頻譜的一些定性性質[J].振動工程學報，1990，3(4):58 －66.

[5]王其申，何北昌，王大鈞.二階連續系統的離散模型頻率和振型的定性性質[J].振動與沖擊，1992，11(3):7－12.

[6]王其申，王大鈞，吳 磊，等.外伸梁差分離散系統剛度矩陣的符號振蕩性及其定性性質[J].振動與沖擊，2009，28(6):113－117.

[7]王其申，汪 楊，何 敏，等.非均勻圓膜軸對稱振動的離散模型的振動反問題[J].振動與沖擊，2011，30(8):258－263.