匯流傳動齒輪系統分岔與混沌研究

郜浩冬，張以都，王 鵬

(北京航空航天大學 虛擬現實技術與系統國家重點實驗室，北京 100191)

由于齒輪傳動平穩、承載能力大等優點，在船舶、煤炭等重型機械行業中廣泛應用。作為齒輪傳動的一種常見形式，匯流傳動把若干個動力機并聯起來，中間通過傳動裝置，同時向一個工作機提供動力，這種傳動形式常用于低速、重載、大功率的場合。國內外學者針對各種齒輪系統的非線性研究做了大量的工作[1－4]。Kahraman等[5]最早利用諧波平衡法研究了一對考慮齒側間隙和時變嚙合剛度直齒輪副的非線性動力學特性;Theodossiades等[6]建立的非線性時變模型考慮了非線性間隙和時變的嚙合剛度，把齒輪系統作為一個非線性的參數激勵振動系統加以研究;Giorgio等[7]針對含有齒輪制造缺陷，時變剛度和非線性齒側間隙的直齒輪副，研究了制造缺陷對齒輪系統動態特性的影響，申永軍等[8]利用數字仿真和解析求解得到了考慮間隙、時變剛度和靜態傳遞誤差的直齒輪副的動態響應;楊振等[9]建立了包含支承、齒側間隙、時變嚙合剛度、綜合傳動誤差、阻尼和外激勵等參數的系統彎一扭耦合動力學模型，研究了正交面齒輪傳動系統的非線性動力學特性;郜志英等[10]針對考慮間隙和時變剛度的強非線性齒輪系統動力學模型，討論了混亂帶中倍周期分岔現象及混沌的層次結果問題;楊先勇等[11]建立了含間隙的7自由度螺旋錐齒輪動力學方程，結合分岔圖和Lyapunov指數研究了系統的分岔和混沌行為;朱才朝等[12]建立大型重載船用齒輪箱系統非線性模型，考慮傳動子系統內外部激勵影響下系統的動態響應，王曉筍等[13]建立了包含齒側間隙的齒輪傳動系統非線性動力學模型，計算了系統隨外載荷和齒側間隙變化的分岔圖與對應的最大李雅譜諾夫指數圖，分析了系統動力學特性的變化情況。

本文的匯流傳動齒輪系統是由兩個齒輪輸入共同驅動一個齒輪輸出，由于特殊的傳動形式和結構布局等原因，存在著激勵不同步的問題，而針對這個問題之前研究關注的并不多。在前面學者研究的基礎上，從實際工程問題中提取匯流傳動齒輪模型，考慮齒側間隙、時變嚙合剛度、傳遞誤差和模型本身結構布局的影響，建立了系統的動力學模型，并從左右齒輪副時變嚙合剛度的相位差、激勵頻率和載荷比三個方面出發，研究了隨著各個參數的變化對齒輪系統動態特性的影響，為工程實踐中真實系統的振動特性分析提供了重要的依據。

1 匯流傳動齒輪系統非線性動力學模型

1.1 匯流傳動齒輪系統

匯流傳動齒輪系統包含三個齒輪和一個飛輪，如圖1所示，由兩個輸入軸上的齒輪1、齒輪2驅動一個輸出軸上的齒輪3和一個質量較大的飛輪組成，其中三個齒輪的尺寸、材料均相同。

圖1 匯流傳動示意圖Fig.1 Diagram of confluence transmission

1.2 動力學方程

圖2 齒輪系統動力學模型Fig.2 Dynamic model of gear system

根據實際系統建立如圖2所示的匯流傳動齒輪動力學模型。假設傳動軸和軸承均為剛性，不考慮運動中軸和軸承的影響，其中粘彈性阻尼系數為c1、c2，三個齒輪的基圓半徑為r1、r2、r3，左右齒輪副時變嚙合剛度分別為k1、k2，齒側間隙為2b，三個齒輪的轉動慣量為J1、J2、J3，作用在齒輪上的扭矩為T，則齒輪副的扭轉振動分析模型為:

式中，θ1，θ2，θ3為齒輪 1，2，3 的旋轉角位移為齒輪靜態傳動誤差，f為具有齒側間隙時輪齒嚙合力的非線性函數，形式為:

考慮齒輪副振動過程中嚙合線上的振動位移，將上述方程中的角位移變量轉化為線位移。設齒輪靜態誤差分別為齒輪1，3嚙合線和齒輪2，3嚙合線上的相對位移，由)可以將式(1)～式(3)化為關于兩條嚙合線振動位移的方程:

為研究方便，對簡化后的式(5)式(6)進行量綱一處理，令:

式中x為無量綱位移，ωn為固有頻率，ω為外激勵頻率，t為量綱一時間，q為量綱一嚙合剛度，Ω為量綱一頻率，ρ為載荷比，λ為剛度比，ε為阻尼比，m1，m2，m3是由三個轉動慣量得到的質量，pm和pa分別為量綱一平均激勵和交變激勵的幅值。則式(5)式(6)可以簡化為:

式中:

1.3 布局參數與時變嚙合剛度

在齒輪副的連續運轉過程中，隨著齒數的不斷變化，輪齒的嚙合剛度也會隨著時間進行周期性變化，簡稱為時變嚙合剛度。嚙合剛度激勵是齒輪嚙合的重要內部激勵，由平均嚙合剛度k0和變剛度kj兩部分組成。設同時嚙合齒對數為m或m+1(m為整數)，齒輪副重合度為ζ(m≤ζ≤m+1)。當ζ不為整數時，可將其展開為傅里葉級數。將嚙合剛度km(t)展開為n次諧波為:

圖3 齒輪系統布局結構示意圖Fig.3 Layout structure of gear system

由于系統的布局參數與齒輪嚙合重合度相關，時變嚙合剛度會隨著布局參數的改變而改變。齒輪系統布局如圖3所示，A點、B點為輸入軸的兩個軸心，C點為輸出軸的軸心。齒輪系統在運轉過程中，輸出軸上的齒輪與兩個輸入軸上的齒輪同時嚙合，此時∠BAC之間的齒數可能不是整數，而反映在系統中則表現為左右齒輪副嚙合剛度的相位有差別。根據輸出軸與兩輸入軸之間的位置關系，得到在∠ACB之間輸出軸上齒輪的齒數。而此刻的齒數n有可能不是整數，假設∠ACD之間包含的為整數齒，∠DCB之間包含的為分數齒，記分數齒部分為α，則左右齒輪副的嚙合剛度之間的相位差即為2πα。由于相位差的存在，左右齒輪副的嚙合剛度激勵就變的不同步了。

該齒輪系統的三個齒輪齒數均為41，∠BAC的大小為91.3°，∠BAC之間的齒數為10.4。將齒輪副嚙合剛度用四階諧波的形式表示，據此可以得到左右齒輪副的嚙合剛度分別為k1，k2，將實際系統中參數代入，可得含有相位差的剛度激勵曲線如圖4所示。從圖4可以看出，由于相位差的存在，同一時刻左右齒輪副所受到的激勵大小有明顯不同。

式中，kp為單對齒嚙合剛度;k0為平均嚙合剛度，k0=(0.75ζ+0.25)kp

圖4 左右齒輪副嚙合剛度Fig.4 Mesh stiffness of left-right gear pairs

2 參數對系統動態響應影響及分析

利用無量綱化后的式(7)和式(8)研究匯流傳動齒輪系統的動態特性。該齒輪系統的主要參數為:η=0.13，λ =0.2，ε =0.03，Ω =1.2，α =0.4，pm=0.2，pa=0.2。

2.1 不同相位差α對系統影響

齒輪系統兩個齒輪副由于結構布局的原因，左右齒輪副產生的時變嚙合剛度存在的相位差導致左右齒輪副中由于嚙合剛度造成的內部激勵不同步。保持其他參數不變，改變相位差α從0變化至1時可以得到系統關于相位差的分岔圖如圖5(上圖為左齒輪副，下圖為右齒輪副，下同)。從圖5可以看出:隨著相位差的改變，系統的動態響應均表現為周期運動，但對于不同的相位差，左右齒輪副表現出的周期運動并不完全相同，并有不同周期運動同時存在的情況。

圖5 關于相位差的分岔圖Fig.5 Bifurcation characteristics of phase difference

當α=0.05時，左右齒輪副的位移曲線、相圖、龐加萊映射圖和頻譜曲線見圖6，從圖6可以看出此時左齒輪副的動態響應為周期二運動，右齒輪副的動態響應為周期四運動，此時兩者表現出了不同的周期運動，系統的響應則是兩個不同周期運動的耦合。

當α=0.4時，左右齒輪副的位移曲線、相圖、龐加萊映射圖和頻譜曲線分別見圖7，從圖7可以看出此時左右齒輪副的動態響應均為周期二運動，此時兩者運動相同。

當α=0.7時，左右齒輪副的位移曲線、相圖、龐加萊映射圖和頻譜曲線分別見圖8，從圖8可以看出此時左右齒輪副的動態響應均為周期四運動，此時兩者運動相同。

2.2 不同頻率對系統的影響

齒輪系統在工作過程中，由于工作狀態的改變，齒輪系統將獲得不同的嚙合頻率。保持其他參數不變的前提下，隨著頻率Ω從0.8至1.5變化可以得到系統關于頻率Ω的分岔圖如圖9。從圖9可以看出:隨著頻率的變化，系統表現出周期二、周期四、混沌等豐富的動力學特性。不同頻率下左右齒輪副的周期運動并不完全相同，出現同周期運動并存和不同周期運動并存現象。而對于混沌運動而言，隨著頻率的改變，表現出了同樣的混沌特性。

圖9 關于頻率的分岔圖Fig.9 Bifurcation characteristics of frequency

圖10 周期二運動并存Fig.10 Coexistence of periodic two

當Ω=0.9時，左右齒輪副的位移曲線、相圖、龐加萊映射圖和頻譜曲線見圖10，從圖10可以看出此時左右齒輪副的動態響應均為周期二運動。

當Ω=1.36時，左右齒輪副的位移曲線、相圖、龐加萊映射圖和頻譜曲線分別見圖11。要判斷系統是否混沌，單靠相圖和龐加萊截面有時是不準確的，還需考慮系統響應的頻譜曲線和基于混沌時間序列的Lyapunov指數。混沌運動的遍歷性決定了其頻譜曲線是連續的，其發散的特點決定了LE指數是大于0的。從圖11(b)可以看出此時相圖雜亂無章，從圖11(c)看到了系統此刻的混沌吸引子，圖11(d)的頻譜曲線是連續的。基于混沌時間序列的Lyapunov指數圖如圖11(e)，從圖中可以看出左右齒輪副的Lyapunov指數均為正數，其中左齒輪副的最大Lyapunov指數0.011 5，右齒輪副的最大Lyapunov指數0.015 5，此時可以判斷為混沌運動。

圖11 混沌運動并存Fig.11 Coexistence of chaos

圖12 周期四運動周期二運動并存Fig.12 Coexistence of periodic four and periodic two

圖13 載荷比的岔圖Fig.13 Bifurcation characteristics of load ratio

當Ω=1.28時，左右齒輪副的位移曲線、相圖、龐加萊映射圖和頻譜曲線分別見圖12，從圖12可以看出左齒輪副的動態響應為周期四運動，右齒輪副的動態響應為周期二運動，此時兩者表現出了不同的周期運動。

2.3 不同載荷比對系統的影響

載荷比為交變載荷與平均載荷之比，載荷的變化與系統的齒側間隙、傳動誤差和扭矩變化關系密切。保持其他參數不變的前提下，隨著載荷比ρ從0.4至1.3變化可以得到系統關于載荷比ρ的分岔圖如圖13。從圖13可以看出:隨著載荷比的改變，系統表現出周期一運動、周期二運動、周期四運動和混沌運動等動力學特性，從左齒輪副的分岔特性還可以看出經過倍周期分岔進入了混沌的道路。

當載荷比ρ=0.5時，左右齒輪副的相圖和龐加萊映射圖如圖14(a)，從圖14(a)可以看出此時左右齒輪副均為周期一運動;當載荷比ρ=0.8時，左右齒輪副的相圖和龐加萊映射圖如圖14(b)，從圖14(b)可以看出此時左右齒輪副均為周期二運動;當載荷比ρ=0.95時，左右齒輪副的相圖和龐加萊映射圖如圖14(c)，從圖14(c)可以看出此時左右齒輪副均為周期四運動;當載荷比ρ=1.08時，左右齒輪副的相圖和龐加萊映射圖如圖14(d)，從圖14(d)可以看出此時左齒輪副的動態響應為周期四運動，右齒輪副的動態響應為周期二運動，此時兩者表現出了不同的周期運動。

圖14 周期運動相圖Fig.14 Phase diagram of periodic movement

圖15 混沌運動并存Fig.15 Coexistence of chaos

當載荷比ρ=1.28時，左右齒輪副的相圖和龐加萊映射圖如圖15(a)、圖15(b)，為了進一步判別其是否為混沌運動，借助了頻譜曲線和Lyapunov指數圖如圖15(c)、圖15(d)。從圖15(b)可以看到混沌吸引子，圖15(c)的頻譜曲線是連續的，從圖15(d)可以看出此刻左右齒輪副的Lyapunov指數均為正數，其中左齒輪副的最大Lyapunov指數0.033，右齒輪副的最大Lyapunov指數0.031 7，此時可以判斷其為混沌運動。

3 結論

(1)隨著時變嚙合剛度的相位差的變化，左右齒輪副出現多種不同的穩態響應。在相位差變化過程中，左右齒輪副會產生相同周期的次諧運動和不同周期的次諧運動，而左右齒輪副共用了一個齒輪，這樣就在中間的齒輪上產生了耦合。由于匯流傳動系統的傳動特點，輸出軸上的齒輪表現出的是左右齒輪副傳動的耦合作用，由此系統的響應將變得更加復雜。

(2)隨著載荷比的變化和嚙合頻率的變化，齒輪系統通過倍周期分岔等不同路徑進入混沌，表現出了豐富的動力學特性。在不同參數的組合下，左右齒輪副仍會產生同周期的次諧運動和不同周期的次諧運動，但是左右齒輪副的混沌特性是相同的，它們的混沌區域是一致的。對于系統在實際運動過程中，應該盡量保持參數在穩態的周期運動區域內運行，盡量避免在混沌區域內運行。在對混沌運動判別時，綜合龐加萊映射，頻譜分析和Lyapunov指數是判斷混沌與否的有效手段。

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