隨機人行激勵模型改進及應用

丁 陽，米 倉

(天津大學 建筑工程學院 濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

隨著城市建設的快速發展以及輕質高強建筑材料的使用，建筑結構不斷向大跨、輕柔和低阻尼方向發展[1]，如果設計不合理，將引起人行激勵下結構較大的振動響應，導致結構正常使用功能下降甚至破壞。現有人致結構振動分析時，通常采用的單人傅里葉級數人行激勵模型存在頻率損失和失真的問題[2]，影響計算結果準確性;響應譜方法[3]便于計算結構振動響應和舒適性驗算，但是針對特定的結構形式，通用性有待進一步研究。另外，一些研究表明[1，4-5]，留駐人群會影響結構的阻尼、自振頻率等動力特性。因此，有必要建立一種更加準確的隨機人行激勵模型，并在人致結構振動分析中考慮人-結構耦合作用。

Zivanovic等[6]對95組實測人行時程進行頻譜分析，確定頻域內離散譜線的幅值和相位角，采用概率統計方法得到一種隨機人行激勵參數模型(以下簡稱Zivanovic模型)，該模型能有效模擬人行激勵的頻域特性，但由于采用1個動載因子參數考慮行人間人行激勵的差異性和單人激勵各相似周期的差異性，過大估計了單人激勵各相似周期的差異性，導致模擬時程在時域內各種特性與實測時程差異較大。Racic等[2]基于824組實測數據，提出一種隨機人行激勵模型(以下簡稱R＆B模型)，該模型時頻域內均與實測時程吻合，但模型過度依賴實測數據庫，每生成1條激勵時程均需提取相應參數，實用性較差，且模型提取樣板周期曲線時初相位均為零，未考慮初相位的隨機特性[7-8]。

針對上述問題，本文基于Zivanovic模型提取樣板周期曲線，通過非線性最小二乘擬合，考慮單人激勵時程各步行周期、幅值和沖量的隨機特性，提出一種改進的隨機人行激勵模型，以天津西站站房結構為例，將人體等效為雙自由度質量彈簧阻尼系統，建立基于改進模型的人-結構耦合動力平衡方程，采用逐步積分法得到更精確的結構振動響應。

1 改進的隨機人行激勵模型及驗證

1.1 改進的隨機人行激勵模型

描述行人間人行激勵差異性的主要因素有步頻、步長及步行力幅值[9]。試驗研究表明[6]，步行能量除主要集中在主諧對應頻率處，在亞諧處也存在局部峰值。考慮前五階主亞諧動載疊加:

式中，W為人體自重，一般取700 N;DLFi，DL分別為主亞諧動載因子為對應各階主亞諧處的頻率，設步頻 fs服從正態隨機分布 fs～ N(1.87，0.186)，則 fi為fs的 i倍的 i-1/2 倍;φi、分別為第i階主亞諧的初相位，服從均勻隨機分布，分布區間為[-π，π]。

行人的活動形式及方向不同，DLFi取值也不同[9]。引入主亞諧歸一化動載因子計算相應的DLFi，其中主諧歸一化動載因子表達式[4]為:

式中，ai，j，bi，j，ci，j(j=1，2，3)為概率統計得到的對應第 i階主諧的參數。

亞諧歸一化動載因子表達式[4]為:

階亞諧的參數。

將式(2)、式(3)代入式(1)，得:

大量實測數據表明[2]，單人激勵時程各步行周期內幅值和沖量與步行周期存在很強的線性關系。因此，相比于Zivanovic模型的頻域概率統計，從時域角度模擬單人激勵各相似周期差異性更加方便準確。

時域角度模擬單人激勵各相似周期差異性，首先需要提取樣板周期。R＆B模型中采用動態時間規整算法[10](DTW算法)對每條實測數據進行調整校正，從而得到對應每條實測數據的樣板周期。本質上，對實測數據提取樣板周期是單人激勵時程的標準化，相當于模擬單人激勵時程各相似周期差異性的逆過程。因此，通過對式(4)所得時程進行標準化同樣可以得到所需樣板周期，而且由于該方法基于前述行人間激勵差異性，是概率統計的結果，所得樣板周期不依賴于實測數據，具有統計意義上的代表性。此外，式(4)中的初相位信息得以保留，可以方便地整合到人行激勵模擬時程中。

提取出的樣板周期如下:

式中，T為單人激勵時程的平均周期，取人行走2步所用時間的均值;n為單人激勵時程的周期數。

單人激勵時程各步行周期Tj的隨機變化特性可以采用無量綱化的周期差來描述:

對式(5)得到的樣板周期進行非線性最小二乘擬合，求解出樣板周期的函數表達式Z(t)，再將式(6)代入Z(t)，可以得到考慮Tj隨機變化特性的人行激勵模擬時程，其表達式為:

式中，j=1，…，M，M為模擬時程的總步行周期數，T0=0;tj，δj為第 j個高斯函數的參數，tjp=lΔt(l=1，…，m，Δt=2/fs，fs為采樣頻率)，δjp=2Δt;m 為一個步行周期采樣點數的1/2，m=Tfs/2。

各步行周期的標準化沖量Iw，j與Tj有很強的線性關系，表達式如下:

式中，ρ1、ρ0為參數，其值在1 ±5%范圍內。

模擬時程第j個步行周期沖量為:

結合式(8)結果，則時刻t由于引入沖量變化而增加的荷載值ΔZ(tj)可以用下式求解:

令式(4)中初相位為φ，有:

式中，t0為相位從0演化到φ所需時間。

將式(10)、式(11)代入式(7)，即可得到改進的隨機人行激勵模擬時程(以下簡稱改進模型):

式中，當 j=1 時，tj∈[0，T1-t0);當 j=2，…，M 時，tj∈[Tj-1-t0，Tj-1+Tj-t0)。

1.2 改進的隨機人行激勵模型驗證

圖1、圖2和圖3分別為實測、基于Zivanovic模型和改進模型所生成的人行激勵模擬時程曲線。對比3條曲線可以看出，Zivanovic模型過大估計了單人激勵各相似周期幅值的差異性;基于改進模型的模擬激勵時程與實測時程吻合較好。圖4為基于改進模型模擬激勵時程的頻譜曲線，與文獻[2]中實測時程的頻譜基本一致。

圖1 實測人行激勵時程Fig.1 Measured time series of walking excitation

圖2 Zivanovic模型人行激勵模擬時程Fig.2 Simulated time series of walking excitation by Zivanovic model

圖3 改進模型人行激勵模擬時程Fig.3 Simulated time series of walking excitation by the improved model

圖4 改進模型模擬時程頻譜曲線Fig.4 Spectrum curve of simulated time series by the improved model

建立質量1 000 kg，阻尼2%、自振頻率分別為fs、2fs、3fs的彈簧阻尼振子，分別施加基于改進模型和Zivanovic模型的隨機激勵模擬時程，彈簧阻尼振子的振動響應結果如圖5所示。與文獻[2]中相應結果對比表明，基于Zivanovic模型的模擬時程激勵下能量集中的前兩階主諧振動響應變異過大，與實測時程激勵下的響應結果差異明顯;基于改進模型的模擬時程激勵下各階主諧振動響應結果與實測時程激勵下響應結果的幅值和波形均吻合良好。

圖5 不同模型激勵下彈簧阻尼振子振動響應Fig.5 Vibration response of the oscillator under different excitation model

2 人－結構耦合動力平衡方程

Matsumoto等[11]研究表明，將人體等效為雙自由度質量彈簧阻尼系統的模擬結果與試驗結果最為擬合。應用該人體動力學模型(圖6)建立基于改進模型的人-結構耦合動力平衡方程。

圖6 人體動力學模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of human dynamical model

由達朗貝爾原理，列出人體動力學模型的運動方程，寫成矩陣形式為:

式中，對標準體重 70 kg 的人體，m1、m2、k1、k2、c1、c2分別為 40.18 kg，27.58 kg，307.30 kN/m，38.71 kN/m，2597 N/(m/s)，826 N/(m/s);z1、z2分別為質量塊 m1、m2的振動位移;y為結構上人體所在位置的振動位移。

人行激勵下的結構可以離散成三維空間有限元模型，其各節點運動方程為:

將代表人體耦合質量的質量塊m1、m2與結構激勵點的水平平動自由度耦合，然后通過定向的彈簧阻尼單元分別連接各質量塊和結構激勵點，人體動力學模型和結構有限元模型通過人體與結構接觸處的位移協調條件，即可構成人-結構耦合動力平衡方程組。

采用文獻[12]中考慮初相位角隨機分布的人行激勵施加方法:站房中人群分布為稠密狀態(即取1人/m2)，將站房候車廳進行網格劃分，尺寸為1 m×1 m，每個網格對應1條隨機人行激勵時程，考慮初相位的隨機性，生成一系列時程曲線，施加于站房結構有限元模型。當結構自由度很多時，可以采用模態綜合法[13-14]首先求解結構自振頻率和振型，考慮對結構動力響應起控制作用的幾階振型進行模態綜合法求解;當自由度數在容許范圍內時，可以直接用逐步積分法得到結構的振動響應結果。

圖7 天津西站站房結構模型Fig.7 The structural model of Tianjin West Station

3 算例分析

天津西站站房結構由下到上分別為地下停車場和地鐵換乘廳層、軌道層、候車廳以及拱形屋蓋。站房主體總長度382 m，寬度282 m，基本柱網21.5 m×24 m、21.5 m × 21 m;屋蓋跨度 114 m，矢高 35.9 m，長度365.5 m，含懸挑長度398 m。候車廳和軌道層采用鋼管混凝土柱和鋼結構桁架組成的框架結構體系，屋蓋為編織拱殼。采用ANSYS有限元軟件建立站房結構有限元計算模型(圖7)，梁、柱采用beam4單元模擬，樓板采用shell63單元模擬;屋蓋桿件和支承屋蓋的斜柱為變截面箱型鋼梁，采用beam188單元模擬。

為對比傳統傅里葉級數人行激勵模型[15]和改進模型在人致結構振動中的差別，分別進行基于傳統模型和改進模型的模擬時程激勵下不考慮人-結構耦合作用的結構振動分析，并對站房候車廳乘客候車區域內一點A的振動響應進行頻譜分析，如圖8、圖9所示。

從圖8、圖9可以看出:基于傳統模型的模擬時程激勵下，結構振動能量集中在一階和二階主頻附近，且振動響應基本沒有6 Hz以上的頻率成分;基于改進模型的模擬時程激勵下結構振動響應在頻域內分布更寬，激勵的高頻成分對結構振動有一定貢獻;人致結構振動為低頻振動，對于一階主頻較低的大跨輕柔結構，人致振動控制問題[16]需要注意。

圖8 傳統模型激勵下A點功率譜密度Fig.8 PSD of point A under traditional excitation model

圖9 改進模型激勵下A點功率譜密度Fig.9 PSD of point A under improved excitation model

為比較人-結構耦合作用對人致結構振動的影響，進行基于改進模型模擬時程激勵下不考慮與考慮人-結構耦合作用的結構振動分析，并對響應結果進行均方根加速度(RMS)[17]評價。由于篇幅有限，僅列出站房候車廳乘客候車區域內任取A、B、C三點的RMS值(圖7)，如表1所示。

表1 結構上三點RMS值Tab.1 RMS values of the three points on structure

從表1可以看出:考慮人-結構耦合作用后所選結構各點的振動 RMS值均減小，但相對誤差小于10%，即人-結構耦合作用對站房人致結構振動的影響較小。

4 結論

(1)基于Zivanovic模型提取樣板周期曲線，考慮單人激勵各周期、幅值和沖量的隨機特性，提出一種改進的隨機人行激勵模型，可彌補Zivanovic模型和R＆B模型的不足;將基于改進模型的人行激勵模擬時程與實測時程進行對比，表明時頻域內所模擬時程更準確。

(2)基于改進模型的人行激勵模擬時程激勵下天津西站站房結構振動分析表明，結構振動響應的頻域分布更寬，且激勵中的高頻成分對結構振動有一定貢獻;考慮人-結構耦合作用，將減小結構振動響應，但影響較小。

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