液滴撞擊固體球面行為特性的數(shù)值研究

汪焰恩，周金華，2，秦琰磊，2，李鵬林，2，楊明明，2，韓 琴，2，王月波，2，魏生民，2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072;2.西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

液滴與固體表面的碰撞沉積涉及航空航天、材料科學(xué)、制造和化工等諸多方面，如噴墨打印、噴淋冷卻、噴涂設(shè)備、噴射沉積、農(nóng)藥噴灑等。國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)理論預(yù)測(cè)、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證以及數(shù)值模擬的方法對(duì)其進(jìn)行了廣泛的研究。

Roux等[1]實(shí)驗(yàn)研究了不同速度的水滴撞擊平面玻璃基板過(guò)程，分析了水滴變形過(guò)程中的動(dòng)態(tài)接觸角、最大鋪展半徑和毛細(xì)管數(shù)，并指出了只用能量守恒原理來(lái)描述其動(dòng)力過(guò)程的不足。Pan等[2]實(shí)驗(yàn)研究了雷諾數(shù)高達(dá)12 000的高速液滴與不同粗糙度平板表面的碰撞過(guò)程。Fujimoto等[3]利用VOF方法對(duì)水滴與平面基板正碰和斜碰的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行了三維數(shù)值仿真，并研究了撞擊角度對(duì)液滴變形的影響。Yarin[4]對(duì)前人的理論與實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)行了總結(jié)，并指出液滴與固體基板的碰撞行為決定于慣性力、粘性力、表面張力以及基板的表面性質(zhì)。

然而，現(xiàn)有研究多集中于液滴與平面基板的碰撞，很少涉及到液滴與曲面的碰撞。Bakshi等[5]對(duì)液滴撞擊曲面進(jìn)行了理論與實(shí)驗(yàn)研究，重點(diǎn)研究了液滴雷諾數(shù)以及液滴與曲面的直徑比對(duì)碰撞行為的影響。李彥鵬等[6]對(duì)低沖能量液滴正向撞擊球面的過(guò)程進(jìn)行了三維直接數(shù)值模擬，重點(diǎn)研究了液滴的沖擊速度與球面尺寸對(duì)液滴撞擊行為的影響。

本文建立了單個(gè)液滴與球面基板碰撞變形的模型，對(duì)其動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行了二維數(shù)值仿真，重點(diǎn)研究了低沖能量下(液滴沖擊速度較低)，液滴速度、粘度、表面張力以及球面尺寸對(duì)液滴沉積行為的影響，并對(duì)液滴鋪展過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行了分析。

1 液滴與球面基板的碰撞變形模型

1.1 控制方程

液滴與球面等溫撞擊屬于非穩(wěn)態(tài)過(guò)程，涉及液滴和空氣兩種流體，二者之間無(wú)傳質(zhì)傳熱。連續(xù)方程和動(dòng)量方程的微分形式分別為:

數(shù)值求解采用VOF方法，混合相的屬性φ通過(guò)下為定義[7]:

式中:αk為計(jì)算單元中第k相流體的體積分?jǐn)?shù)，ρk是第k相的密度。

在VOF模型中，通過(guò)求解一相或多相的體積分?jǐn)?shù)的連續(xù)方程來(lái)跟蹤相與相之間的界面。對(duì)第k相，此方程如下:

對(duì)于表面張力的處理，文中使用散度定理將表面張力表示為體積力添加給動(dòng)量方程的源項(xiàng)。

1.2 初始邊值條件

求解模型的定解條件設(shè)置為:由于液體與空氣的密度和粘度相差很大，故可忽略空氣影響，把液滴的表面當(dāng)作自由表面處理。如圖1，假設(shè)初始直徑為D0的液滴以速度v0正向撞擊直徑為Ds的固定球面，模型采用四邊形網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，壁面邊界采用無(wú)滑移邊界條件，其余各邊界條件如圖1所示。由于液滴在鋪展和回縮過(guò)程中，接觸角在較小范圍內(nèi)變化[8]，故假設(shè)接觸角為常量，取α=90°。

圖1 計(jì)算區(qū)域Fig.1 Computational domain

2 結(jié)果與討論

文中鋪展直徑是指液滴與球面接觸的圓膜直徑，鋪展厚度指中軸線上的液膜厚度，鋪展直徑d和鋪展厚度h是評(píng)價(jià)液滴沉積效果的兩個(gè)重要指標(biāo)。利用初始直徑D0對(duì)兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化，得到鋪展系數(shù)ε和無(wú)量綱鋪展厚度h*，表達(dá)式分別如下:

圖2 液滴變形過(guò)程Fig.2 Droplet deformation process

2.1 變形過(guò)程分析

圖2 展示了液滴碰撞沉積到球面基板上的鋪展變形過(guò)程，這個(gè)過(guò)程十分復(fù)雜，受到慣性力、粘性力、表面張力的相互作用，這三種力在不同的階段表現(xiàn)出不同的控制能力。

(1)運(yùn)動(dòng)階段

這個(gè)階段，液滴仍能保持球面的性質(zhì)，如圖2，大約在10 μs以內(nèi)，液滴處于運(yùn)動(dòng)階段。在這個(gè)階段中，液滴內(nèi)部形成一道激波，將液滴分為上下兩部分，上半部分為低壓區(qū)，下半部分為高壓區(qū)[9]。液滴的后半部分的運(yùn)動(dòng)類似于剛體的運(yùn)動(dòng)，完全不受球面基板的影響，并以初始速度v0勻速向下運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)階段中，液滴的鋪展由慣性力絕對(duì)控制，表面張力和粘性力的影響可以忽略，無(wú)粘理論適用。

(2)射流階段

這個(gè)階段是指從液滴變形生成薄層開始，直至液膜鋪展到最大(如圖2在200 μs左右)。這個(gè)階段慣性力為液膜運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力，表面張力和粘性力為阻力[5]。前期，速度較大，為慣性力控制階段，鋪展厚度接近于線性變化(見表一);后期，慣性力減弱甚至消失，尤其當(dāng)接觸線速度接近于0的時(shí)候，表面張力和粘性力凸顯，表面張力和粘性力共同制約液膜的運(yùn)動(dòng)。

(3)弛豫階段

弛豫階段是指液滴從處于最大鋪展半徑開始，到液滴最大限度回縮到中間的階段。液膜依靠表面張力從最大鋪展位置回縮，表面張力為驅(qū)動(dòng)力，而粘性力仍然表現(xiàn)為阻力。

(4)平衡階段

平衡階段是液膜反復(fù)振蕩逐漸衰減直至靜止的過(guò)程。500 μs以后，液固交界面處受到固體表面的約束，液膜的鋪展直徑基本保持不變，但是液膜的自由表面仍然有微弱振蕩，液滴的動(dòng)能轉(zhuǎn)換成表面能和被粘性耗散掉，最終靜止于球面基板上。

2.2 撞擊速度對(duì)液滴沉積行為的影響

圖3 不同撞擊速度下液滴鋪展系數(shù)的變化Fig.3 Comparison of the spread factors of the droplet under different impact velocities

為了研究碰撞速度對(duì)液滴沉積行為的影響，本文對(duì)初始直徑 D0為200 μm 的液滴分別以 0.5、1.0、1.25和1.5 m/s的初速度撞擊直徑Ds為600 μm的球面的變形過(guò)程進(jìn)行了二維數(shù)值仿真。液、氣兩相的物性參數(shù)分別為:液相密度ρl為998.2 kg/m3、動(dòng)力粘度系數(shù)μl為0.001 Pa·s、表面張力系數(shù) σ 為0.073 N/m;氣相密度 ρg為1.225 kg/m3、動(dòng)力粘度系數(shù) μg為1.789 4 ×10－5Pa·s。對(duì)應(yīng)的韋伯?dāng)?shù)(We=ρlv20D0/σ)從小到大依次為:0.68、2.73、4.27、6.15;對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)(Re=ρlv0D0/μl)從小到大依次為:99.82、199.64、249.55、449.19。韋伯?dāng)?shù)和雷諾數(shù)共同表征液滴的沖擊能量，文中的韋伯?dāng)?shù)和雷諾數(shù)較低，表示液滴的沖擊能量較低。

圖3給出了不同撞擊速度下液滴的鋪展系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系。可以看出，在200 μs左右，曲線達(dá)到最大值，表明此時(shí)液滴在球面上鋪展到最大，鋪展直徑可以達(dá)到初始直徑的1.43—2.20倍，并且最大鋪展直徑隨著撞擊速度的增加而增加。這是因?yàn)橐旱螐淖矒羟暗阶畲箐佌梗莿?dòng)能轉(zhuǎn)換成表面能和被粘性耗散的過(guò)程，撞擊速度越大，轉(zhuǎn)換成的表面能就越大，因而液膜表面積就越大，液膜直徑就越大。隨著撞擊速度從0.5 m/s增加到1.5 m/s，液滴到達(dá)最大鋪展所需要的時(shí)間變化不大，從230 μs減小至210 μs。500 μs以后，曲線趨于平緩，鋪展系數(shù)變化微小。隨著液滴的撞擊速度從 0.5 m/s增加到1.25 m/s，最終鋪展系數(shù)從 1.43 減小到1.23，然而當(dāng)撞擊速度為1.5 m/s時(shí)，最終鋪展系數(shù)反而增加到2.02，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因從圖2可以看出，當(dāng)液滴的撞擊速度達(dá)到1.5 m/s時(shí)，液膜出現(xiàn)了中心局部破裂，這使得液膜的表面張力隨之中斷，液膜散失依靠表面張力的回縮能力，所以最終鋪展直徑較大(當(dāng)出現(xiàn)局部破裂現(xiàn)象時(shí)，文中的鋪展直徑按液膜的外徑計(jì)算)。

圖4 不同撞擊速度下無(wú)量綱鋪展厚度的變化Fig.4 Comparison of the dimensionless spread thickness of the droplet under different impact velocities

圖4 展示了不同撞擊速度下液滴無(wú)量綱鋪展厚度隨時(shí)間的變化關(guān)系。在液滴撞擊球面最初幾十微秒內(nèi)，無(wú)量綱鋪展厚度幾乎隨時(shí)間成線性遞減，并且撞擊速度越大，遞減速率越大。在150－250 μs內(nèi)，曲線到達(dá)最低點(diǎn)，說(shuō)明此時(shí)鋪展厚度最小，并且碰撞速度越大，最小值越小，當(dāng)速度達(dá)到1.5 m/s時(shí)，鋪展厚度幾乎接近于0，出現(xiàn)前面所說(shuō)的液膜中心局部破裂現(xiàn)象。500 μs以后，鋪展厚度幾乎沒(méi)有變化。

為了進(jìn)一步說(shuō)明前50 μs內(nèi)鋪展厚度h的變化規(guī)律，本文繪制了圖5和表1。可以看出，鋪展厚度隨時(shí)間呈線性遞減，并且隨著速度的增加，直線斜率的絕對(duì)值越大，即鋪展厚度的遞減速率越大。對(duì)表1數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行線性擬合，設(shè)不同速度下鋪展厚度的變化曲線的斜率為kv0，則:

結(jié)合表1，可近似認(rèn)為kv0大小為v0，那么:

圖5 前50 μs內(nèi)鋪展厚度隨時(shí)間的變化Fig.5 Spread thickness of the droplet versus time during the first 50 microseconds

圖6 不同球面直徑下鋪展系數(shù)變化Fig.6 Spread factor of the droplet versus time during the impact onto different curvatures

圖7 不同球面直徑下無(wú)量綱鋪展厚度變化Fig.7 Dimensionless spread thickness of the droplet versus time during the impact onto different curvatures

由上式可知，在液滴的碰撞初期，鋪展厚度的變化幾乎不受目標(biāo)球面的影響，而只由碰撞速度決定。液滴的上半部分如剛體般向下運(yùn)動(dòng)，下半部分的液體在上半部分液體和球面的擠壓作用下向外鋪展。進(jìn)一步觀察表1發(fā)現(xiàn)，速度越大，上述公式的計(jì)算值與模擬值吻合得越好，說(shuō)明速度越大，慣性力越大，鋪展厚度的變化越不受撞擊速度之外的因素影響。隨著時(shí)間增加，解析解與模擬值的差距越大，這是因?yàn)橐旱芜\(yùn)動(dòng)受阻，速度逐漸減小，慣性力的控制能力減弱，其他因素對(duì)液滴運(yùn)動(dòng)的影響加強(qiáng)。Bakshi等[5]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了液滴撞擊初期的這一規(guī)律。

2.3 球面直徑對(duì)液滴沉積行為的影響

為了研究球面直徑對(duì)液滴鋪展行為的影響，本文對(duì)初始直徑為200 μm的液滴以1 m/s的速度撞擊不同球面直徑(Ds=400、600、800、1 000、105μm)的過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬。

從圖6可以看出，在碰撞的初期，球面直徑對(duì)鋪展系數(shù)沒(méi)有太大的影響。在200 μs左右，球面直徑從400 μm增加到105μm，最大鋪展系數(shù)也隨之從1.57增加到2.19。球面直徑對(duì)液膜到達(dá)最大鋪展所需的時(shí)間沒(méi)有明顯影響。液膜靜止后，隨著球面直徑的增加，鋪展系數(shù)有明顯的增加。

從圖7可以看出，初始階段，球面直徑對(duì)鋪展厚度的變化幾乎沒(méi)有影響，這印證了前面的結(jié)論:初始階段，鋪展厚度以v0為斜率線性遞減，而不受球面基板的影響。球面直徑對(duì)最小鋪展厚度的影響表現(xiàn)為，球面直徑越小，最小鋪展厚度越小。由此可以推論出，當(dāng)球面直徑足夠小時(shí)，液膜會(huì)出現(xiàn)中心局部破裂。當(dāng)液膜靜止于球面上時(shí)，鋪展厚度隨球面直徑增加而略微降低。

表1 前50 μs內(nèi)鋪展厚度隨時(shí)間的變化Tab.1 spread thickness of the droplet versus time during the first 50microseconds

當(dāng)液滴撞擊到直徑Ds為100 mm的球面上時(shí)，由于液滴和球面尺寸相差很大，故可以將這個(gè)過(guò)程看作為液滴撞擊到平面基板。文獻(xiàn)[10]給出了液滴撞擊平面基板最大鋪展系數(shù)的理論預(yù)測(cè)模型，并將理論值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了對(duì)比，誤差保持在15%以內(nèi)，最大鋪展系數(shù)的表達(dá)式如下

由上式計(jì)算出最大鋪展系數(shù)的理論值為1.98，與模擬值2.19相差9.59%，模擬值可信，也表明了本文的數(shù)值模擬是成功的。

2.4 粘度對(duì)液滴沉積行為的影響

本文在不同粘度系數(shù)下(μ =0.001、0.002、0.003、0.005、0.02 Pa·s)，對(duì)初始直徑為 200 μm 的液滴以1 m/s的速度撞擊直徑Ds為600 μm的球面進(jìn)行了數(shù)值模擬。

圖8 不同粘度下鋪展系數(shù)的變化Fig.8 Comparison of the spread factors of the droplet under different viscosity

圖9 不同粘度下無(wú)量綱鋪展厚度的變化Fig.9 Comparison of the dimensionless spread thickness of the droplet under different viscosity

圖8 給出了不同粘度系數(shù)下液滴的鋪展系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系。從圖中可以看出，最大鋪展系數(shù)隨著粘度增加而減小。到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間分別如下:當(dāng)粘度系數(shù)在0.003 Pa·s以內(nèi)時(shí)，為200 μs;當(dāng)粘度系數(shù)為 0.005 Pa·s時(shí)，為 180 μs;當(dāng)粘度系數(shù)為 0.02 Pa·s時(shí)，為150 μs。由此可見，隨著粘度系數(shù)的增加，到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間有所減小。出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因是:隨著粘度系數(shù)增加，液滴鋪展過(guò)程中受到的粘性阻力增大，從而使得液膜的最大直徑和到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間減小。

圖8同時(shí)表明，平衡階段，當(dāng)粘度系數(shù)在0.003 Pa·s以內(nèi)時(shí)，鋪展系數(shù)隨粘度系數(shù)增加而增加。當(dāng)粘度系數(shù)增加，液膜從最大鋪展位置回縮時(shí)受到的粘性阻力增大，所以回縮后的圓膜直徑就越大;然而，當(dāng)粘度系數(shù)超過(guò)0.003 Pa·s時(shí)，最終鋪展直徑隨粘度系數(shù)增加而減小，這是因?yàn)榇饲闆r下的最大鋪展直徑相對(duì)較小，回縮后的圓膜直徑也就較小，如圖，粘度系數(shù)為0.02 Pa·s時(shí)，液滴的最大鋪展系數(shù)甚至比其它粘度系數(shù)下液滴的最終鋪展系數(shù)都小。最大鋪展直徑與首次回縮后鋪展直徑的差值在一定程度上反映了液滴的回縮能力，粘度系數(shù)越大，粘性阻力越大，該差值就越小，液膜的回縮能力就越差。

如圖9所示，在150 μs前，不同粘度下鋪展厚度隨時(shí)間變化的曲線幾乎重合在一起，可見在鋪展初期粘性對(duì)鋪展厚度幾乎沒(méi)有影響。隨著粘度系數(shù)的增加，鋪展厚度的最小值也隨之增加。當(dāng)粘度系數(shù)超過(guò)0.003 Pa·s時(shí)，液滴的最終鋪展厚度隨粘度增加而增加。

圖10 液滴界面氣泡Fig.10 Air bubble inside of droplet

此外，當(dāng)粘度系數(shù)到達(dá)0.005 Pa·s以上時(shí)，液膜內(nèi)部的液固界面將會(huì)出現(xiàn)氣泡(如圖10)。當(dāng)粘度系數(shù)較大時(shí)，液體流動(dòng)性較差，在碰撞的瞬間，固液界面上的氣體來(lái)不及被液體排開就被卷入到液膜當(dāng)中，從而在液膜中產(chǎn)生氣泡。

從以上分析可知，粘度對(duì)液滴的鋪展行為有重要影響，粘度系數(shù)越大，粘性對(duì)液膜運(yùn)動(dòng)的阻滯作用越大。尤其當(dāng)液滴接近于其最大鋪展時(shí)，液膜厚度達(dá)到最小，粘性邊界層達(dá)到最大相對(duì)厚度，粘性力的影響達(dá)到最大，因此，在液膜達(dá)到最大鋪展直徑前后，粘性力影響最大。

2.5 表面張力對(duì)液滴沉積行為的影響

本文在不同表面張力系數(shù)下(σ =0.03、0.05、0.073 N/m)，對(duì)初始直徑為200 μm 的液滴以1 m/s的速度撞擊直徑Ds為600 μm的球面的過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬。

圖11 不同表面張力系數(shù)下鋪展系數(shù)的變化Fig.11 Comparison of the spread factors of the droplet under different surface tension

圖12 不同表面張力系數(shù)下無(wú)量綱鋪展厚度的變化Fig.12 comparison of the dimensionless spread thickness of the droplet under different surface tension

圖11 給出了不同表面張力系數(shù)下鋪展系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系。初始階段，表面張力對(duì)鋪展系數(shù)基本沒(méi)有影響，說(shuō)明此時(shí)表面張力相對(duì)慣性力而言可以忽略。值得注意的是，液體表面張力對(duì)最大鋪展系數(shù)和到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間有明顯的影響，當(dāng)表面張力系數(shù)從0.03 N/m增加到0.073 N/m時(shí)，到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間從350 μs左右減小至250 μs左右，最大鋪展系數(shù)也從2.23減小到1.82。表面張力系數(shù)增加，液滴鋪展過(guò)程中受到由表面張力產(chǎn)生的阻力增加，動(dòng)能換成表面能的速度加快，所以液滴的最大鋪展直徑減小，這個(gè)過(guò)程所需的時(shí)間減小。平衡階段，鋪展系數(shù)隨表面張力系數(shù)增加而減小，然而，當(dāng)表面張力系數(shù)從0.03 N/m增加到0.05 N/m時(shí)，鋪展系數(shù)有相對(duì)較大的衰減，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是，表面張力系數(shù)過(guò)小，液膜出現(xiàn)中心局部破裂，液膜回縮失去驅(qū)動(dòng)力。表面張力增大，使得最大鋪展直徑減小、液膜回縮能力增強(qiáng)，促使回縮后的液膜直徑減小。

同樣，從圖12可以看出，初始階段，表面張力對(duì)無(wú)量綱鋪展厚度也幾乎沒(méi)有影響，然而隨著表面張力的增加，無(wú)量綱鋪展厚度的最小值呈增加趨勢(shì)。平衡階段的無(wú)量綱鋪展厚度也隨表面張力的增加而增加。

從以上分析可知，表面張力對(duì)液滴的鋪展行為影響相對(duì)較大，尤其是表面張力對(duì)到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間有明顯影響。表面張力系數(shù)增加，最大鋪展系數(shù)減小，到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間也減小，說(shuō)明當(dāng)液膜沿球面向外鋪展時(shí)，表面張力的方向與慣性力相反，起阻礙液膜向外鋪展的作用，但到達(dá)最大直徑以后，液膜的回縮，卻由表面張力驅(qū)動(dòng)。

3 結(jié)論

(1)在液膜不出現(xiàn)中心局部破裂的前提下，撞擊速度增加，最大鋪展直徑增加，最小鋪展厚度減小，最終鋪展直徑減小，最終鋪展厚度增加;球面直徑增加，最大鋪展直徑增加，最小鋪展厚度增加，最終鋪展直徑增加，最終鋪展厚度減小;超過(guò)一定粘度后，粘度系數(shù)增加，最大鋪展直徑減小，最小鋪展厚度增加，最終鋪展直徑減小，最終鋪展厚度增加;表面張力系數(shù)增加，最大鋪展直徑減小，最小鋪展厚度增加，最終鋪展直徑減小，最終鋪展厚度增加。

(2)碰撞速度、球面直徑和粘度系數(shù)對(duì)到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間沒(méi)有明顯影響，表面張力對(duì)最大鋪展時(shí)間有顯著影響，表面張力系數(shù)增加，到達(dá)最大鋪展所需時(shí)間減小。

(3)初始階段，鋪展厚度隨時(shí)間線性遞減，遞減的速率不受球面直徑、粘度系數(shù)和表面張力的影響，由碰撞速度決定。

(4)低沖能量下，當(dāng)速度過(guò)大、球面直徑過(guò)小或表面張力過(guò)小時(shí)，會(huì)出現(xiàn)液膜中心局部破裂現(xiàn)象。粘度過(guò)大時(shí)，液膜會(huì)出現(xiàn)空氣卷入現(xiàn)象。

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