基于分數階傅里葉變換的鄰近階比分離研究

梅檢民，肖云魁，楊萬成，陳祥龍，喬 龍

(1.軍械工程學院 火炮工程系，石家莊 050003;2.軍事交通學院 汽車工程系，天津 300161;3.軍事交通學院 研究生管理大隊，天津 300161)

變速器的早期故障特征十分微弱，而變速器的變速過程使微弱故障信息反映更明顯［1］，采用變速過程分析機械設備早期故障已為許多研究者所關注。階比分析是處理機械設備變速過程非穩態信號的有效方法［2－4］，近年來被廣泛應用于機器變速過程振動分析［5－8］，但鄰近階比分量在階比譜中會產生譜峰膠合，使得根據某一階次的幅值能量判斷分析對象的技術狀態變得困難。而鄰近階比分量是不可避免的，如何準確、快速分離鄰近階比分量成為階比分析中的重點、難點問題。文獻［9－11］分析了復雜機械振動信號產生的鄰近階比和交叉階比分量，取得了一定效果。

變速器變速過程信號是與輸入軸轉頻密切相關的多分量線性調頻信號(LFM信號或稱chirp信號)，而且各個分量時頻混疊，單獨從時域或頻域都不能實現多分量的分離。分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，FRFT)可以理解為chirp基分解，特別適合于處理chirp類信號。利用chirp信號在不同階次的分數階傅里葉域呈現出不同的能量聚集性的特點，通過選擇合適的FRFT變換階次，能提取到感興趣的chirp分量［12－13］。因此，對于變速器變速過程振動信號，只要選擇最佳的FRFT變換階次，就能將鄰近的階比分量分離開。

本文提出了一種基于分數階傅里葉變換的鄰近階比分量分離方法，根據輸入軸轉速信號確定目標分量的FRFT變換最佳階次，在最佳階次分數階域分離鄰近階比分量，對分離出的各單分量信號進行單獨階比分析，有效解決了鄰近階比膠合問題，并且該方法計算速度快、精度高。

1 FRFT及其提取chirp分量的原理

1.1 FRFT 定義及性質［14］

信號x(t)的FRFT的定義式為:

式中，FRFT的變換核Kp(t，u)為:

由式(3)可以看出，信號x(t)由一組權系數為Xp(u)的正交基函數K－p(t，u)所表征，這些基函數是chirp的復指數函數。

1.2 FRFT提取chirp信號分量的原理

chirp信號由于其非平穩性，在時、頻域都具有較大的展寬，單獨的時域或頻域濾波都不能得到很好的效果。為了方便說明，畫出兩個分量的chirp信號的時頻分布如圖1所示，其中一個分量的時頻分布與時間軸的夾角為β。

分數階傅里葉變換可以解釋為信號在時頻平面內繞原點旋轉任意角度后所構成的分數階域上的表示，與Wigner-Ville分布、短時傅里葉變換之間只是存在一個坐標變換關系，并不影響信號的時頻分布特性。只要分數階傅里葉變換的旋轉角度α與β正交，則該chirp信號在分數階傅里葉域上的投影就應該聚集在u0一點上，以u0為中心做窄帶濾波，將chirp信號從強噪聲背景下濾出或從多分量chirp信號中分離，再做－α角度旋轉，就實現了chirp信號分量分離與提取。

FRFT提取chirp分量的關鍵在于能找到合適的旋轉角度，得到最佳的FRFT變換階次。從圖1可以看出，最佳角度α、FRFT變換階次p與調頻率fm有如下關系:

圖1 FRFT提取chirp信號Fig.1 Extraction of chirp signal by FRFT

1.3 基于轉速信號確定FRFT變換最佳階次

根據FRFT分離提取chirp信號分量的原理可知，當兩個chirp分量很鄰近時，能否將鄰近分量彼此分開，關鍵取決于FRFT變換的最佳階次是否精確。目前，常用的基于搜索思想的確定階次方法都是通過對振動信號進行峰值搜索確定階次［15－17］，但在多分量信號檢測中，分量之間的互相干擾和強分量信號對弱分量信號的淹沒會導致峰值眾多雜亂，從而難于根據峰值得到精確的FRFT階次，并且搜索越精細計算量越大;文獻［17］提出了一種抑制強信號分量的方法，但由于搜索法確定階次的基礎是復雜的振動信號，其他分量和噪聲對確定階次的影響不可避免，抑制效果也是相對的。

變速器以輸入軸的轉速為基準，各檔位嚙合齒輪按照不同的傳動比運轉。當變速器變速運行時，轉頻及各檔位的嚙合頻率分量按照不同的階比隨輸入軸轉速變化，構成不同的階比分量，測得的變速器振動信號是多分量的chirp信號。分析現有FRFT階次確定方法存在的不足，結合變速器傳動原理，本文提出了一種根據輸入軸轉速信號精確、快速、自適應確定FRFT變換最佳階次的方法，其具體步驟如下:

(1)根據輸入軸轉速信號計算出轉頻及各檔位的嚙合頻率分量fi，某型變速器5個分量的時頻曲線如圖2所示;

(2)對轉頻和各檔位的嚙合頻率分量fi進行最小二乘擬合，計算出各分量的調頻率fmi，圖2示意了對分量f3的最小二乘擬合;

圖2 根據輸入軸轉速信號確定FRFT變換最佳階次Fig.2 Calculate the best FRFT order according to the rotate signal of gearbox’s input shaft

由于轉速信號不受任何振源和噪聲干擾，變速器的傳動比又是固定的，因此根據轉頻得到各檔位齒輪嚙合頻率分量很準確，據此計算得到的各分量的調頻率和階次精度高、速度快、魯棒性好，而且根據不同的轉速信號，能自動得到對應的最佳階次，是一種自適應的FRFT最佳階次確定方法。

2 基于FRFT分離鄰近階比分量

2.1 變速器升速過程信號采集

試驗對象為BJ2020S四檔變速器，其傳動示意圖如圖3所示。采樣頻率為20 kHz，采樣點數為40 k，調節負載勵磁電壓為200 V來模擬負載工況，升速過程變速器從0開始加速至1 500 r/min，以輸入軸為基準，各檔位齒輪嚙合頻率對應階次如表1。

圖3 BJ2020S變速器傳動示意圖Fig.3 Drive sketch map of BJ2020S gear box

表1 BJ2020S變速器各檔位齒輪嚙合頻率對應階次Tab.1 Mesh order of different ranges of BJ2020S gearbox

2.2 鄰近階比膠合問題

變速器置某檔時，常嚙合齒輪和該檔齒輪都參與傳動，振動能量比其他齒輪突出，檢測變速器該檔技術狀態時，應聯合考慮常嚙合階次和該檔階次的幅值能量變化。變速器置三檔時的原始信號時頻圖如圖4，對該信號進行階比分析，階比譜如圖5所示。階比譜只能分辨出三檔階比分量的階次17(16.47)，而對于同時參與傳動的常嚙合齒輪階比分量的階次19基本沒有反應出來，這是因為三檔和常嚙合齒輪結構位置鄰近，又同時參與傳動，兩個階比分量互相耦合，產生了階比膠合，從而使得根據三檔或常嚙合階比分量的階次對應的幅值判斷變速器技術狀態變得困難。

圖4 3檔信號的時頻分布(低頻段)Fig.4 Time-Frequency distribution of 3 range’s signal(low frequency part)

圖5 3檔信號的階比譜Fig.5 Order spectrum of 3 range’s signal

2.3 FRFT分離鄰近階比分量

(1)根據轉速信號確定FRFT變換最佳階次

根據轉速信號計算得到轉頻及各檔位嚙合頻率分量，并按照上述最佳階次確定方法求得各分量的FRFT變換最佳階次，如圖2中左上角所示，3檔分量最佳FRFT階次p3=1.005 5，常嚙合分量最佳 FRFT階次p4=1.006 4。對比圖2，圖4發現，圖2中根據轉頻計算得到的各分量的時頻分布起止位置清晰，各分量明顯分開;由于分量之間的耦合及噪聲的干擾，圖4中振動信號的時頻分布與圖2中各分量分布大致對應，沒能精確顯示各分量的具體時頻分布信息。

(2)提取3檔階比分量

3檔階比分量的FRFT最佳階次為p3=1.005 5，做p3階FRFT變換，如圖6所示。從圖6(a)可以清楚看出信號在p3階分數階域u0=12 043點位置出現明顯峰值，進行帶寬為12 020－12 090的帶通遮隔，如圖6(b)，再做p3階逆FRFT變換提取出3檔階比分量，時域信號如圖6(d)，對提取到的3檔階比分量進行時頻分析，如圖7所示。

(3)提取常嚙合齒輪階比分量

圖6 FRFT提取3檔階比分量Fig.6 Order component extraction of 3 range by FRFT

圖7 FRFT提取的3檔階比分量時頻圖Fig.7 The time-frequency distribution of 3 range’s order component extracted by FRFT

由于3檔階比分量和常嚙合齒輪階比分量鄰近，為了避免3檔階比分量對常嚙合齒輪階比分量的影響，對3檔階比分量在其最佳FRFT階域進行濾除，然后再提取常嚙合齒輪階比分量。常嚙合齒輪階比分量的FRFT最佳階次為p4=1.006 4，做p4階FRFT變換，如圖8所示。從圖8(a)可以清楚看出信號在p4階分數階域u0=12 010點位置出現明顯峰值，進行帶寬為11 970－12 040的帶通遮隔，如圖8(b)，再做p4階逆FRFT變換，得到提取后的常嚙合齒輪階比分量時域信號，如圖8(d)，對提取到的常嚙合齒輪階比分量做時頻分析，如圖9所示。

圖8 FRFT提取常嚙合齒輪階比分量Fig.8 Order component extraction of always mesh range by FRFT

圖9 FRFT提取的常嚙合齒輪階比分量時頻圖Fig.9 The time-frequency distribution of always mesh range’s order component extracted of by FRFT

比較圖4，圖7，圖9可以看出，圖4中不容易看出3檔和常嚙合齒輪階比分量的時頻分布位置及趨勢，而圖7、圖9更細致、全面地反應了3檔階比分量、常嚙合齒輪階比分量的具體時頻分布信息，說明原始信號中各階比分量之間存在相互耦合和干擾，而對FRFT分離提取的單分量信號進行單獨分析，能有效抑制其他分量的影響，突出了目標階比分量的細致信息，對深入分析目標階比分量很有意義。

(4)鄰近階比分量的單分量階比分析

對FRFT分離后的3檔階比分量、常嚙合齒輪階比分量信號分別進行階比分析，將階比分析結果合并如圖10所示。

圖10 FRFT分離鄰近階比后的階比譜Fig.10 The order spectrum of adjacent order component separated by FRFT

從圖10可以清楚看出，通過FRFT分離鄰近階比分量，并對分離出的單分量信號進行單獨階比分析，階比譜能清晰反應3檔階比分量階次17(16.47)和常嚙合齒輪階比分量階次19，很好的解決了鄰近階比膠合問題。

3 結論

(1)基于轉速信號確定FRFT變換最佳階次精度高、速度快、魯棒性好，能根據不同的轉速信號自動得到對應的最佳階次;

(2)最佳階次FRFT能準確、快速分離鄰近階比分量，能有效解決鄰近階比膠合問題。

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