數學建模思想融入數學分析課堂的幾點思考

代麗麗，李博琦

（通化師范學院數學學院，吉林通化 134002）

1 數學分析課程的現狀分析

數學分析是高等院校數學與應用數學專業一門重要的專業基礎課程.在高等院校的培養方案中，數學分析課程課時較長，學分較多，并且是數學專業考研必考的課程之一.所以，一直受到教師及學生的普遍認可和高度重視，由于課程設置的連續性，數學分析課程在內容上對后繼課程（如常微分方程、復變函數、實變函數等）有著重要影響，同時，數學分析所蘊含的數學思想、邏輯思維能力、推演總結能力在整個數學教育中都起著奠基石的作用.鑒于數學分析課程的重要性，學好并對其做到融會貫通就顯得尤為重要.但是，目前在師范院校學生對數學分析的學習狀態不容樂觀，一方面是傳統理論課的原因，教學方法和手段較簡單，推演及證明過程較多，使得學生對這門學科缺乏興趣.另一方面是學生對數學分析課程學習的主觀能動性較差.針對此狀況，對數學分析課程進行改革是非常必要的，然而如何改，怎么改，改到什么程度，成了一個新的課題.

2 數學建模的思想方法

相對于傳統理論課程數學分析而言，數學建模是一門應用性和實踐性很強的學科，數學建模不僅是數學走向應用的必經之路，而且是啟迪數學心靈的必經之途.近數十年來，數學迅速向自然科學和社會科學的各個領域滲透，并起著舉足輕重的作用，要用數學方法解決一個實際問題，不論這個問題是來自工程、經濟、金融或是社會領域，都必須設法在實際問題和數學之間架設一個橋梁，而這個橋梁就是數學建模的過程.這使得數學建模日益顯示其關鍵作用，已成為現代應用數學的一個重要領域.因此，為了培養高質量、高層次的人才，就不能不重視數學建模這一必備的技能和素質.

那么什么是數學建模的思想方法呢?當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言，把它表述為數學式子，也就是數學模型，然后用通過計算得到的模型結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗.這個建立數學模型的全過程就稱為數學建模.數學建模是高等院校數學主干課程中重要的實踐課程，是目前高等院校教學改革的重要方向，是培養學生學以致用的重要手段.因此，將數學建模普及和推廣到傳統的理論課（如數學分析）課程中有著重要的現實意義.

3 將數學建模思想融入到數學分析教學中

數學建模近二十年來的蓬勃發展給沉睡的傳統理論課程帶來了生機，其思想方法已成為各大學教學改革的重要方向.早在2005年，教育部就已啟動了教學改革的專項項目“將數學建模的思想方法融入到數學類主干課程”，該項目對改變數學類主干課程原有的教學體系起著重要的推動作用.以下就如何將數學建模的思想方法融入到數學分析教學中提出一些觀點.

3.1 開設數學分析課程的同時，開設數學實驗課程

數學分析課程主要涵蓋了極限論、微分學、積分學、級數理論四大板塊，對于大學一年級的學生，入學后主要學習極限論和微積分學這部分內容，而這些內容對于學生來說抽象難懂，而若能同時開設數學實驗課程，則可以加深學生對概念和定理的理解，給學生創造動手實踐的機會.數學實驗課程主要應以數學軟件為主，內容可包括極限運算、求導運算、求極值運算、積分運算、數值運算、畫圖等微積分學中的基本運算.

3.2 在數學分析課程中增加案例教學

對于傳統的數學分析課程，學生最大的疑問是學了本門課程到底有什么用，除了考研以及后繼課程需要數學分析課程做鋪墊外，對實際生活有沒有貢獻，這就是教學改革的一個重要方向，以實際問題為導向，不僅能夠調動學生學習的積極性，還能培養學生勤于思考的良好習慣.同時，也能加深學生對許多重要的數學概念、方法的理解，提高學生學習數學分析的興趣、信心，并能了解和一定程度地掌握數學建模的思想和方法，對今后的學習和生活中用數學解決實際問題奠定了基礎.

下面給出2個將數學建模融入到數學分析課程中的具體實例.

例1 分針和時針的重合問題.

一天中零點和十二點時分針和時針是重合的，除此之外，分針和時針還有幾次重合?具體在什么時間呢?

這是一個非常實際的問題，學生對其也很感興趣，并且學生會想出很多種方法來解決這個問題.那么，就在學完數列極限運算法則后，將這個實例引入，和學生一起討論這個問題的解法，并引導學生用下面的方法來解決這個問題.

通過這個實例，學生會對數學建模很感興趣，并且深刻的認識到所學的理論知識有著重要應用.通過類比可以發現在生活中很多實際問題都可以利用極限的知識來解決.

例2 易拉罐問題.

可口可樂罐頭是由美國亞特蘭大的藥劑John Stith Pemberton博士作為裝加奎寧水的杜松子酒而發明的.第一個罐裝可口可樂是1955年為了運給駐在日本和太平洋地區的美軍人員而制作的.大約在二十世紀八十年代才逐漸演變成現在的形狀.那么，易拉罐為什么要設計成這種形狀呢?這同樣是一個非常實際的問題，學生也會對其很有興趣.那么，就在學完函數的最值后，將這個實例引入，和學生一起討論這個問題的解法，并引導學生用下面的方法來解決這個問題.

分析和假設:首先把飲料罐近似看成一個直圓柱體是有一定合理性的.要求飲料罐內體積一定時，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實際上，用幾何語言來表述就是:體積給定的直圓柱體，其表面積最小時半徑和高為多少?

表面積用S表示，體積用V表示，則有

于是我們可以建立以下的數學模型:

其中，S是目標函數，g（r，h）=V－πr2h=0是約束條件，V是已知的（即罐內體積一定），要在體積一定的條件下，求罐體積最小的r，h.最小面積為

S（r0）=6=6r20.有沒有直徑等于高的易拉罐呢?沒有.這樣的結論顯然不符合常理.所以，要對模型進行改進.用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬，假設除易拉罐的頂、底蓋外，罐的厚度相同，記作b，頂、底蓋的厚度相同為ab.想象一下，硬度體現在同樣材料的厚度上.因此，我們必須考慮所用材料的體積.另外，易拉罐可以簡化為圓臺加圓柱形罐，可以假設圓臺部分是個直圓臺，實際上，它也可能是某個曲線段（例如:雙曲線的一段）繞中軸線旋轉而得的圓臺.假設所用材料與罐內的表面積成正比，即各部分的材料體積與該部分的面積成正比來近似制罐材料的體積，這樣可以進一步得到更貼近實際的結果.

此外，可以在最值定理之后，以“森林救火問題”為實例，在講指數函數時，引入“人口增長模型”，學完定積分知識后，可以以“存貯問題”為實例等.

4 增加數學模型示范課

在每學期結束后，以講座的形式增加數學模型示范課，主要以教師對數學模型問題的分析為主，充分調動學生的學習積極性，引導學生思考和討論，共同參與和完成建模過程.

總之，在傳統的數學分析課程教學過程中，體現數學建模思想，注重培養學生解決實際問題的能力，是數學分析課程改革的發展方向.同時，教師應在教學過程中給學生創造機會，讓學生動手解決一些簡單的實際應用問題.

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［3］朱曉峰，姜玉英.應用數學軟件進行數學分析教學［J］.北京印刷學院學報，2005，13（3）:32－35.

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