例談《高等代數》與《解析幾何》的關聯

2012-09-06 04:53:02宋元鳳李武明

通化師范學院學報 2012年10期

宋元鳳，李武明

（通化師范學院數學學院，吉林通化 134002）

《解析幾何》與《高等代數》是不可分割的，《解析幾何》是以《高等代數》的知識為主要研究工具的一門學科，沒有《高等代數》這個主要工具，就沒有《解析幾何》這門學科;代數中討論的很多對象是以幾何為背景，又進一步推廣出來的，盡管《高等代數》比較抽象，但是可以利用鮮明的幾何背景使其更易于理解.

本文將從行列式與向量關系、線性方程組與面面關系、矩陣與二次曲線關系、矩陣與二次曲面關系四個方面闡述《高等代數》與《解析幾何》的密切關系.

1 行列式與向量關系

當n=3時，它的幾何解釋為:

把行列式的行看作向量在直角坐標系下的坐標，設

即3級行列式的值恰好是平行六面體的體積，其中平行六面體的邊為行列式的各行所形成的向量.

即因為 α2，α2，α3共面，所以 α2，α2，α3的混合積為0，這與上面3級行列式為0是一致的.

同理有 α3·（α2×α3）=0.

類似的，把行列式的列看作向量在直角坐標系下的坐標，也可得到類似的結論.

2 線性方程組與面面關系

2.1 齊次線性方程組與面面關系

設齊次線性方程組為

當n=3時，它就有了明顯的幾何意義，下面對此做具體說明.

當R（A）=3時方程組只有零解.從幾何角度看，在空間直角坐標系下，方程組的解表示s個通過原點的平面只交于原點.

事實上，齊次線性方程組的s個方程可看成空間直角坐標系下的s個平面方程.

設

平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0，

平面π2:a21x1+a22x2+a23x3=0，

……

平面πs:as1x1+as2x2+as3x3=0，則它們對應的法向量分別是

n2=（a21，a22，a23），…，ns=（as1，as2，as3），因為R（A）=3，所以其中三個法向量線性無關，不妨設n1，n2，n3線性無關，所以平面π1與平面π2相交于過原點的直線l，設l的方向向量為v，則n1⊥v，n2⊥v，所以v垂直于n1，n2所在的平面.因為n1，n2，n3線性無關，所以v不垂直于n3，即直線l不在平面π3上，所以平面 π1，π2，π3的交點只有原點，因為 π1，π2，…，πs都過原點，因此平面 π1，π2，…，πs的交點只有原點.

當R（A）=2＜3時，方程組的基礎解系中解向量個數為1，設為η，方程組的全部解為kη，k為任意常數.

當R（A）=1＜3時，方程組的基礎解系中解向量的個數為2，設為η1，η2方程組全部解為k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數.

從幾何上看，因為R（A）=1，所以原方程組的所有方程都表示同一個平面，因而方程組的解向量都在平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0上，這與方程組的全部解為k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數是一致的，即所有解在η1，η2所確定的過原點的平面上.

2.2 非齊次線性方程組與面面關系

設非齊次線性方程組為

當n=3時，它就有了明顯的幾何意義，下面對此做具體說明.在文獻［2］中作者已經闡述的很全面了，下面從另一個角度闡述.

事實上，非齊次線性方程組的s個方程可看成空間直角坐標系下的s個平面方程.

設

當R（A）=R（珔A）=3 時，從幾何上看，這s個平面只有一個交點γ0.

當R（A）=R（珔A）=2時，方程組的全部解為η0+kη，k為任意常數，其中η0為非齊次線性方程組的一個特解，η為它的導出組的一個基礎解系.從幾何上看，這s個平面相交于一條直線，我們知道它的導出組的解是一條過原點的直線，而這兩條直線是互相平行的.即平面π1，π2，…πs的交線是過原點的直線l，而直線l沿著 η0平移就得到平面 ψ1，ψ2，…，ψs的交線.

當R（A）=R（珔A）=1時，方程組的全部解為η0+k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數，其中 η0為非齊次線性方程組的一個特解，η1，η2為它的導出組的一個基礎解系.從幾何上看，這s個平面相交于一個平面，它的導出組的解是一個過原點的平面，而這兩個平面是平行的.即平面 π1，π2，…，πs相交于過原點的平面π，而平面π沿著η0平移就得到平面ψ1，ψ2，…，ψs的交點軌跡.

當R（A）≠R（珔A）時，方程組無解.從幾何上看，易知，至少有兩個平面是平行的，所以這s個平面無交點.