一維地下水非穩(wěn)定流計(jì)算的配點(diǎn)法

王佳慧，周德亮，李 靜

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

一維地下水非穩(wěn)定流計(jì)算的配點(diǎn)法

王佳慧，周德亮，李 靜

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

傳統(tǒng)的地下水?dāng)?shù)值計(jì)算方法(如有限元法和有限差分法)都需要網(wǎng)格或單元，網(wǎng)格生成需要占用大量的計(jì)算時(shí)間，求解所需數(shù)據(jù)量也較大。配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法擺脫了網(wǎng)格和單元的限制，只需節(jié)點(diǎn)信息，且節(jié)點(diǎn)布置靈活，易于實(shí)施。本文將配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法應(yīng)用于解決一維地下水非穩(wěn)定流計(jì)算問(wèn)題，用MATLAB編制相應(yīng)的程序，將結(jié)果與解析解和傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果相比較，計(jì)算得到的結(jié)果與解析解吻合很好，精度較高，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，穩(wěn)定性好。

徑向基函數(shù) 配點(diǎn)法 一維非穩(wěn)定流 地下水?dāng)?shù)值模擬

非穩(wěn)定水流現(xiàn)象在水利工程中廣泛存在，河道或河網(wǎng)的水流或洪水波運(yùn)動(dòng)，潰壩后向下游傳播的涌波，閘門啟閉后的水波運(yùn)動(dòng)等，這些都屬于非穩(wěn)定水流運(yùn)動(dòng)，是水利水電工程和海岸工程中經(jīng)常遇到且需要解決的問(wèn)題［1］。非穩(wěn)定水流數(shù)學(xué)模型在水利工程中有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，研究非穩(wěn)定流數(shù)值模型的目的在于建立穩(wěn)定、精度較高、計(jì)算儲(chǔ)存量和計(jì)算耗時(shí)較少的高效計(jì)算格式。

目前解決非穩(wěn)定流計(jì)算主要采用有限元法和有限差分法，但是這兩種方法有一個(gè)共同的特征是它們需要生成網(wǎng)格再進(jìn)行計(jì)算。由于網(wǎng)格的存在，生成網(wǎng)格的好壞，會(huì)直接影響到數(shù)值求解的成敗［2］。實(shí)際問(wèn)題中網(wǎng)格生成要耗費(fèi)大量的時(shí)間，應(yīng)用中會(huì)遇到很多困難。而配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法可以很好的解決傳統(tǒng)方法存在的缺陷。本文結(jié)合前人的無(wú)網(wǎng)格法研究成果，得到一維非穩(wěn)定流配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法的計(jì)算格式。

1 徑向基配點(diǎn)法求解一維非穩(wěn)定流計(jì)算

無(wú)網(wǎng)格法(Meshless methods)是在建立整個(gè)問(wèn)題域的系統(tǒng)代數(shù)方程時(shí)，不需利用預(yù)定義的網(wǎng)格信息域離散的方法。無(wú)網(wǎng)格法利用一組在問(wèn)題域中以及域邊界上的節(jié)點(diǎn)表示(而非離散)該問(wèn)題域和其邊界。這組散布的節(jié)點(diǎn)被稱為節(jié)點(diǎn)，它們并不構(gòu)成網(wǎng)格，通過(guò)這些節(jié)點(diǎn)上的值擬合出一個(gè)逼近函數(shù)［2］。該函數(shù)有較好的光滑性而且導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這樣不僅擺脫了網(wǎng)格的約束，避免了復(fù)雜的網(wǎng)格生成及重新劃分工作，而且提供了連續(xù)性好，形式靈活的基函數(shù)。這種方法在地下水?dāng)?shù)值計(jì)算中具有一定的靈活性，此外還有精度高，前后處理較有限元法和有限差分法簡(jiǎn)便等特征［3］。現(xiàn)有的無(wú)網(wǎng)格法基本上可分為Galerlin型和配點(diǎn)型兩大類。Galerlin法雖具有良好的穩(wěn)定性和精確性，但需要布置背景無(wú)網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值積分，計(jì)算量較大，配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法可以很好地解決這一問(wèn)題［4］。配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法離散系統(tǒng)代數(shù)方程的過(guò)程直接，且實(shí)現(xiàn)其離散方程的算法簡(jiǎn)潔，不需要數(shù)值積分。

1.1 一維非穩(wěn)定水流模型

考慮如下一維地下水非穩(wěn)定滲流問(wèn)題

其中，H(x，t)為水頭，T(x)=KM 為導(dǎo)水系數(shù)，k(x)為滲透系數(shù)，M為含水層厚度，S(x)=SsM為貯水系數(shù)，Ss為貯水率，w(x，t)為源匯項(xiàng)，h0(x)、g(x，t) 、q9x，t)為給定的函數(shù)，［a，b］為滲流區(qū)域，a，b，［a，b］為區(qū)域 的邊界。

1.2 徑向基函數(shù)

徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，簡(jiǎn)記 RBF)是以動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn) 的歐幾里德距離為自變量的一元函數(shù)φj(x)=φ(‖x－xj‖)。對(duì)任意函數(shù)u(x)，可以用徑向基函數(shù)近似為

其中 N表示節(jié)點(diǎn)總數(shù)，xj為在 Ω上布置的節(jié)點(diǎn)，αj為待解系數(shù)。

1.3 用配點(diǎn)法數(shù)值計(jì)算

在區(qū)域［a，b］及其邊界上配置節(jié)點(diǎn) x1，x2，…，xN，其中x1，x2，…，xN0為區(qū)域［a，b］內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，xN0+1，xN0+2為邊界節(jié)點(diǎn)，N0和2分別為內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為 N=N02。

用徑向基函數(shù)逼近 H(x，t)n，即

首先由(12)和(13)確定的線性方程組中解出 α1n+1，，…，再由線性方程組(14)和(15)中逐層解出 ，代入(7)中即得到水頭函數(shù) 離散的近似解。

2 算例分析

算例1圖1是右河水位突變時(shí)河間地塊承壓水一維非穩(wěn)定流運(yùn)動(dòng)的例子。參數(shù)和定解條件都在圖1中，控制方程為:

圖1 河間地塊承壓水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的例子(根據(jù) H.F.王和.M.P.安德森)

本問(wèn)題的解析解已由根據(jù) H.F.王和.M.P.安德森給出，采用本文介紹的徑向基函數(shù)配點(diǎn)法和有限差分法對(duì)其求解。應(yīng)用MATLAB軟件，分別用有限差分法和徑向基函數(shù)配點(diǎn)法編制相應(yīng)的計(jì)算程序，計(jì)算時(shí)取空間步長(zhǎng) ，時(shí)間步長(zhǎng) ，將程序運(yùn)行后的解析解，RBF解和差分解制成表格，為避免占用大量的空間，本表制作時(shí)只選用部分時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)。見表1。

表1 解析解，RBF解和差分解表

3 結(jié)論

采用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法計(jì)算一維非穩(wěn)定流地下水問(wèn)題是有效的，能夠排除網(wǎng)格劃分對(duì)它的影響，既可以節(jié)省計(jì)算量又能保證精度。程序運(yùn)行后，配點(diǎn)法求出的解析解與精確解吻合良好，且計(jì)算精度高于有限差分解。采用MATLAB軟件編制程序時(shí)，用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法的編制過(guò)程較用有限差分法程序的編制過(guò)程簡(jiǎn)單。本文介紹的是徑向基函數(shù)配點(diǎn)法在一維非穩(wěn)定流中的應(yīng)用，有關(guān)這種方法在二維流和三維流的應(yīng)用限于篇幅將另文論述。

［1］薛禹群，謝春紅.地下水?dāng)?shù)值模擬［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［2］LIU G R，GU Y T.無(wú)網(wǎng)格法理論及程序設(shè)計(jì)［M］.王建明，周學(xué)軍，譯.濟(jì)南:山東大學(xué)出版社，2007.

［3］周德亮，王煥麗.徑向基函數(shù)法在地下水模擬中的應(yīng)用［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，31(4):390－392.

［4］張宏偉，李美香，李衛(wèi)國(guó).關(guān)于配點(diǎn)型無(wú)網(wǎng)格法邊界條件處理技術(shù)［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(7)，50(4):614－618.

The Collocation Meshless Method in Simulation of One－Dinensional Non－steady Flow

WANG Jia － hui，ZHOU De － liang，LI Jing
(School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，Liaoning)

Traditional groundwater numerical methods(such as finite element and finite difference method)require grid or unit，mesh generation would take a lot of calculation time，a large amount of data needed to solve. The collocation meshless method get rid of the grid and unit limitation and only need node information and node layout flexible and easy to implement.In the paper，with collocation meshless method will be applied to solve the one－dimensional non－steady groundwater flow calculation problem，the preparation of the corresponding program，the results with analytical solutions and traditional methods of calculation compared to the calculated results in good agreement with the analytical solution，more accurate than high，the calculation process is simple，good stability.

RBF;Collocation method;One－dimensional non－steady flow and Numerical simulation of groundwater

P641.2

A

1004－1184(2012)01－0042－03

2011－10－14

王佳慧(1986－)，女，吉林四平人，在讀碩士研究生，主攻方向:偏微分?jǐn)?shù)值解法。