探地雷達在隧道襯砌空洞檢測的正演模擬應用研究

趙 峰，周 斌，武永勝

(中鐵西南科學研究院有限公司，四川成都 611731)

2004年國務院審議通過《中長期鐵路網規劃》，標志著我國鐵路新一輪大規模建設的開始。鐵路隧道是鐵路線路重要的組成部分，隧道施工質量直接影響到將來鐵路運營的通暢和安全，隧道襯砌病害是困擾鐵路快速發展的一個關鍵因素。襯砌空洞是指襯砌混凝土厚度達到設計標準，但由于斷面超挖等原因，造成襯砌混凝土和圍巖以及初期支護，二襯混凝土之間存在空隙，襯砌空洞是襯砌主要病害之一，是隧道襯砌無損檢測的重要內容。

在地質雷達檢測隧道襯砌缺陷領域，國外的研究結合了工程實踐和實驗室模擬，并且不斷改進雷達軟硬件技術，取得了一定的成果［1］。美國有一個研究小組于2000年做了探地雷達用于檢測隧道病害的試驗模擬研究［2］，日本東京大學作了探地雷達用于鋼筋網定位以及空洞探測的室內模擬研究［3］，我國薄會申在鐵路隧道襯砌檢測的工程實踐中，總結出了襯砌病害主要的雷達檢測圖形特征［4］，長沙鐵道學院做了探地雷達用于隧道襯砌檢測的室內模擬，主要模擬了襯砌空洞以及研究了混凝土齡期和介電常數的關系［5-8］。

探地雷達用于隧道襯砌中，對雷達波形特征的判斷具有重要的作用，國內外多通過試驗模擬來總結波形特征［9］。本文通過數值模擬，正演了隧道空洞的探地雷達探測情況，總結出了襯砌空洞的雷達波形特征，并將其用于襯砌檢測工程實踐，取得了較好的效果。

1 正演原理

1.1 麥克斯韋方程

探地雷達工作中發射的是電磁波，雷達正演模擬的問題就是解特定條件下的麥克斯韋方程組的問題，通常情況下，麥克斯韋方程很難得到解析解。在1966年，美國學者K S Yee，通過引入Yee元胞，初步提出了解麥克斯韋偏微分方程的方法［10］，后來經過不同學者對該方法進行了完善，提出解的穩定條件以及改進邊界約束條件，發展成時域有限差分正演方法。

為了模擬雷達波形在隧道襯砌中的傳播情況，選擇雷達波TM模式在x，y平面上的傳播(TMz)。TM模式下，垂直于模擬橫截面方向上沒有磁場。二維TMz模式的解可由解麥克斯韋方程組得到。在這里，采用時域有限差分方法，通過Yee網格剖分，運用有限差分思想，來逐步得到二維TM模式下麥克斯韋方程組的數值解。

二維TM模式下時域有限差分經典麥克斯韋方程組的偏微分形式由以下公式組成

式(1)中，μ是磁導率，ε是介電常數，σ是電導率，

σ*是等效磁阻率，t是時間，E，E是x，z方向上的電

xz場強度，Hx，Hy是x，y方向上的磁場強度。假設材料是線性、各向同性和非色散的。

對于離散空間，有限差分方程涉及的是指定點的泰勒線性展開式的值，該方法提供了偏微分方程的近似解。那么式(1)中函數的空間偏導數可由式(2)計算

假設沒有點激發源，介質的磁導率μ和真空中的磁導率一致(μ=μ0，很多非鐵磁材料的磁導率都屬于這種情況)。假設空間步進在橫縱坐標是同一個值(Δx=Δy=0)，則式(1)可以消除梯變增量而得到進一步簡化。由于金屬等良導體的電導率無窮大，因此，在計算中，當介質中含有良導體時，良導體的電場強度為零，可得

式(3)即為二維時域有限差分TM模式對時間因子的麥克斯韋偏微分方程。

1.2 穩定條件

對于給定的初始條件，偏微分方程的解由于數值的不穩定而導致計算值沒有約束的增加。而在計算中，系統中的誤差一定不能累積。在有限差分公式中，通過柯朗公式［11］，運用空間步進 Δx，Δy來約束時間步進 Δt。

在二維情況下柯朗公式為

式(4)中，c為真空中電磁波傳播的速度。

1.3 邊界條件

Berenger于1994年提出了完全匹配層(Perfectly Matched Layer:PML)［12］的概念，它可以完全吸收真空中以任何頻率和角度入射的電磁波。

假設圍繞目標模擬區域有一層材料能夠完全吸收波形并且不產生反射。該材料的相對介電常數和磁導率分別是εp，μp，由于該材料能夠吸收入射波，因此是復數，其阻抗ηp可由下式得到

式(5)中，ω為電磁波的角頻率，j是其復數部分。

根據電磁波傳播原理，從真空入射進入完全匹配層的入射波的反射系數Γ

要使完全匹配層邊界不產生反射，則必須使Γ =0，即要求 η0= ηp，即為

計算可得

1.4 程序實現

按照時域有限差分解麥克斯韋偏微分方程的思路，采用Matlab語言，編制了隧道襯砌空洞的二維正演程序，以研究探地雷達在探測隧道襯砌空洞的有效性以及探地雷達的波形特征。程序的流程為:設定模擬區域幾何尺寸以及電磁參數，進行Yee網格剖分，輸入雷達天線發射器參數，設定天線收發位置、步進長度，進行正演計算，以及圖像輸出。

2 模型模擬

根據電磁波正演的穩定條件以及采樣定理，用于Yee網格剖分的區域是長×寬=2.4 m×0.8 m的矩形區域，設定Yee的空間步進Δ=Δx=Δy=0.002 5m，時間步進 Δt=5.896 7 ps，時間窗口 T=12 ns。隧道襯砌的尺寸為長×寬=2.4 m×0.1 m，位于模擬區域的下方，其中，襯砌和圍巖的界面，有一層寬度為0.05 cm的接觸面，其由空氣填充;空洞的位置位于襯砌與圍巖之間，其規模為長×寬=1.0m×0.2 m。圖1是襯砌超挖形成空洞的模型圖，該圖清晰地顯示了模型的幾何尺寸以及模擬介質的電磁參數;圖2是襯砌超挖2D FDTD雷達正演色階圖，該圖整體上反映了襯砌與圍巖的分界面以及空洞反射區域;圖3是襯砌超挖2D FDTD雷達正演波形圖，可以從波形圖中看到，在空洞處，反射波同相軸錯亂，出現了多次反射圖像，這是雷達波在空洞中來回反射造成的，未超挖部分，襯砌和圍巖反射界面同相軸清晰明確。根據反射波單道波形特征，可以很容易地確定空洞反射波的起跳點。另外從波形圖上還可以看到，在空洞與圍巖介質突變點上，還出現單點繞射特征，這是由狹義繞射導致的。

圖3 隧道襯砌超挖空洞的2D FDTD正演模擬波形

考慮到正演模擬的截斷誤差和逼近誤差，這個誤差也是在正常范圍內的。可知，雷達在探測隧道超挖空洞，并計算空洞寬度上，是可行的。對于空洞的埋深，也可以通過讀取雷達波形起跳時間計算出，但是對于空洞的規模，不能做到精確判斷，主要是以下兩點導致的:①電磁波在空洞中會產生多次反射，多次反射波和空洞與圍巖反射波往往難以區分，有時甚至疊加在一起，這就導致了“凸鏡”效應，從雷達反射波形上看出的空洞規模往往大于實際空洞尺寸;②雷達波在空洞中傳播的速度大于其在襯砌中傳播的速度，那么這樣會減小兩個反射波峰之間的時間距離，而在雷達剖面時深轉換時，都是用雷達波在襯砌中的波速計算的，這樣又會減小對空洞尺寸的判斷。因此，在判斷空洞的規模時，應該小心謹慎，綜合考慮各種情況。

圖4是抽取第18道和第42道單道反射波的圖像，其中第42道反射波對應的位置正處于模型空洞處，從第42道反射波波形上看，在空洞處有明顯的多次反射波，而第18道波形的反射只發生在襯砌與圍巖界面處。

圖4 襯砌空洞第18道和第42道反射波

3 工程實例

通過對隧道襯砌空洞進行探地雷達正演模擬，得到了探地雷達的空洞檢測波形，分析這些波形，可以得到如下特征:襯砌界面雷達反射信號強，且呈現多次反射特征，通常呈現雙曲線特征，振幅強，頻率低，在空洞下部仍有強反射界面信號，上下界面兩組信號時程差較大;按照正演模擬總結的特征，指導探地雷達用于襯砌檢測的工程實踐。圖5是襯砌中存在空洞的雷達探測偽彩色圖和波形圖。從圖5中可以看到，圍巖與襯砌的分界面在27 ns處，其中第12～27 ns為襯砌，圖中用曲線圈定的地方為襯砌中空洞的反射波形，可以明顯地看到此處呈現多次反射，且反射波振幅大，能量強，頻率低，由該空洞所處的位置及規模，推斷為襯砌內部注漿不充分形成的空洞。

圖6是與襯砌接觸處的圍巖存在空洞的雷達探測偽彩色圖和波形圖。此圖中，圍巖與襯砌的分界面在27 ns處，環狀曲線所圈定處即為空洞，該空洞在圍巖與襯砌的分界面處，整體呈現較明顯的雙曲線特征，有多次反射特征，由其所處道號起始位置，首次強反射起跳時間還可以判斷出該空洞的埋深和規模，由該空洞所處的位置及規模，推斷為隧道超挖未回填形成的空洞。以上兩處空洞，都經過鉆孔得到驗證。

4 結論與建議

1)采用時域有限差分方法模擬探地雷達波形在襯砌空洞傳播，在空洞處呈現強反射，且有多次反射特征，同相軸明顯錯亂，波形振幅大，能量強。

2)正演模擬對隧道襯砌檢測的雷達圖像識別具有重要的指導作用，根據襯砌缺陷的電磁參數，建立精細準確的模型，是總結正演雷達波形的前提。

3)和物理模型試驗相比，正演模擬的波形特征更具體，更能體現多次反射，單點繞射，雙曲線弧線形成等經典波形傳播規律。

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