基于自適應(yīng)擴展卡爾曼濾波器的永磁同步電機超低速控制*

丁信忠， 張承瑞，2， 李虎修， 于樂華， 胡天亮，2

(1.山東大學機械工程學院，山東濟南 250061;

2.山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，山東濟南 250061;

3.山東大學控制科學與工程學院，山東濟南 250061)

0 引言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)精確的速度及位置反饋是實現(xiàn)高性能低速控制的重要保證。通常，借助軸向編碼器的采樣計數(shù)估算出電機的平均速度。但是，受到編碼器分辨率的限制，在超低速范圍，速度反饋信息容易丟失，如果通過延長采樣周期以保證速度分辨率，將降低速度環(huán)的帶寬，且過長的反饋延時將使伺服系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。

目前，瞬時觀測器理論［1］和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［2］被深入研究，并應(yīng)用于伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計。基于瞬時觀測器理論的狀態(tài)估計方法能夠估計電機的瞬時狀態(tài)，具有較好的實時性，但抗干擾能力不佳，在噪聲環(huán)境中，位置和速度檢測可能失效［3］。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法擺脫了對電機模型的依賴，具有良好的魯棒性，但需要大量樣本對神經(jīng)元的權(quán)值和偏置進行訓練，學習時間過長，而且網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和收斂性的證明也比較困難［4］。擴展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter，EKF)是一種最優(yōu)隨機狀態(tài)估計器，可對非線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)進行在線估計，并具有較強的抗干擾和平滑噪聲能力，因而適用于非線性、強耦合且高噪聲的伺服驅(qū)動系統(tǒng)。隨著嵌入式計算技術(shù)的發(fā)展，EKF計算量大的問題已被良好解決。

本文提出了一種使用低精度編碼器條件下獲得PMSM良好低速性能的控制方法。其中，EKF用于對電機轉(zhuǎn)速、角位移和負載轉(zhuǎn)矩進行瞬時估計，并在估計過程中利用辨識出的敏感參數(shù)對估計器的狀態(tài)矩陣進行迭代修正，以保證估計器在多種工況下均可獲得滿意的估計結(jié)果。估計出的電機瞬時轉(zhuǎn)速和位置值替代編碼器檢測值進行伺服閉環(huán)控制，由此保證電機低速運行下的轉(zhuǎn)速和位置反饋精度。為驗證該方法的有效性，本文設(shè)計仿真和試驗與使用改進型M/T速度檢測方法［5］下的低速控制性能進行了對比。

1 EKF瞬時狀態(tài)估計器

1.1 估計器建模

在未飽和狀態(tài)下，PMSM的電壓方程為

式中:iα、iβ、uα和uβ——分別為定子電流、電壓在Clarke坐標系下α、β軸的分量;

Rs——定子相電阻;

Ls——等效同步電感;

ψf——永磁體基波磁鏈;

ωe——轉(zhuǎn)子電角速度;

θe——電角位移。

轉(zhuǎn)子和所帶負載組成機械子系統(tǒng)，根據(jù)牛頓定律，可得PMSM的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

式中:np——電機極對數(shù);

J——系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量，其中包括電機轉(zhuǎn)子及負載折算到電機軸上的轉(zhuǎn)動慣量;

B——黏滯摩擦系數(shù);

Te——電機輸出的電磁轉(zhuǎn)矩;

Tl——等效負載轉(zhuǎn)矩，其中包括負載轉(zhuǎn)矩以及由于黏滯摩擦系數(shù)非線性變化、電流給定偏差等因素造成的轉(zhuǎn)矩波動。

由于電流環(huán)的采樣頻率遠高于等效負載轉(zhuǎn)矩變化的頻率，故可認為負載轉(zhuǎn)矩在一個采樣周期內(nèi)保持不變，即

聯(lián)合式(1)～式(4)，得到狀態(tài)估計器的狀態(tài)方程和輸出方程，即

式中:x——狀態(tài)矢量，即預估計量;

u——輸入矢量;

y——輸出矢量。

狀態(tài)函數(shù)f(x)是狀態(tài)矢量和輸入矩陣的耦合項。

實際系統(tǒng)中，需要考慮由于估計模型不準確和外界干擾等不利因素造成的影響，因此在EKF的狀態(tài)方程和輸出方程中分別引入系統(tǒng)噪聲矩陣V和測量噪聲矩陣W，并將估計方程離散化以便用于數(shù)字控制系統(tǒng)，可得

式中:x(k)、u(k)、y(k)和f［x(k)］——分別為狀態(tài)矢量、輸入矢量、輸出矢量和狀態(tài)函數(shù)的離散形式;

V(k)和W(k)——分別為離散化的系統(tǒng)噪聲矢量和測量噪聲矢量。

通常，系統(tǒng)噪聲和測量噪聲為零均值高斯白噪聲，由此可得到EKF算法中需要的噪聲協(xié)方差對角矩陣Q和R，即

式中:Qi——定子電流系統(tǒng)噪聲協(xié)方差值;

Qω、Qθ和QT——分別為轉(zhuǎn)子電角速度、電角位移和負載轉(zhuǎn)矩的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差值;

Ri——定子電流測量噪聲協(xié)方差值;

Rθ——轉(zhuǎn)子電角位移測量噪聲協(xié)方差值。綜合以上各式，即得到用于EKF伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計的狀態(tài)模型。

1.2 EKF狀態(tài)估計與魯棒性分析

基于EKF的伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計是由第k次的估計結(jié)果(k)來獲得第k+1次的估計結(jié)果，即由當前的系統(tǒng)狀態(tài)來估計下一周期的狀態(tài)，從而解決了M/T速度檢測方法速度反饋滯后一個周期的問題，加之算法中綜合考慮了系統(tǒng)噪聲和測量噪聲的影響，因此可以為伺服閉環(huán)控制系統(tǒng)提供實時、準確的狀態(tài)反饋，有助于提高伺服系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能。

估計過程分為預測和校正兩大階段，通過以下遞推過程［6］逼近系統(tǒng)真實狀態(tài):

經(jīng)過以上6個步驟的遞推計算，即可得到本周期內(nèi)的狀態(tài)矢量中的預估計變量值，基于EKF的伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計過程如圖1所示。

式中:Ts——電流環(huán)采樣周期;

?

P?(k)和P^(k)——分別為預測協(xié)方差矩陣和估計協(xié)方差矩陣。

F(k)為梯度矩陣，定義如下:

圖1 離散擴展卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)圖

當電動機在零速附近運行時，繞組電壓將降到很低，此時電機定子電阻、等效電感及系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量J等因素將對系統(tǒng)動態(tài)模型產(chǎn)生主要影響，從而影響EKF的估計效果。但是，EKF的系統(tǒng)模型中綜合了定子電流采樣這一因素，在超低速區(qū)域，霍爾電流傳感器依舊可以提供準確的電流反饋，從而彌補了繞組電壓過低產(chǎn)生的影響。當負載轉(zhuǎn)動慣量變化時，EKF的動態(tài)性能將相對降低，文獻［7］中指出，無法將轉(zhuǎn)動慣量變化引起的轉(zhuǎn)矩脈動等價到等效負載轉(zhuǎn)矩Tl中，通過轉(zhuǎn)矩前饋加以改善，且無法通過調(diào)整系統(tǒng)噪聲矩陣中轉(zhuǎn)矩協(xié)方差值QT來減小轉(zhuǎn)動慣量變化對估計精度的影響。

為解決上述問題，在伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計中，需要對系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量進行在線辨識，并根據(jù)辨識結(jié)果對EKF的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣進行在線參數(shù)自整定。

2 轉(zhuǎn)動慣量在線辨識

對于表貼型永磁同步電機，將式(3)所示的轉(zhuǎn)矩平衡方程改寫為

式中:ωm——轉(zhuǎn)子機械角速度;

Kt——轉(zhuǎn)矩常數(shù);

iq——交軸電流。

令J'=1/J，T'=Ktiq－Tl，式(24)可簡化為

式(25)中包含待辨識參數(shù)J的信息，且與PMSM具有相同的外部激勵輸入iq以及相同的機械轉(zhuǎn)速ωm輸出。將ωm和J'分別以其估計值^ωm和J^'表示，可得模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)(Model Reference Adaptive System，MRAS)可調(diào)模型的微分方程:

選擇PMSM本身作為參考模型，式(25)為表征參考模型動態(tài)特征的差分方程，當方程(26)中的估計值與實際值相等時，差分方程(26)就轉(zhuǎn)變?yōu)楸硎綪MSM本身的真實方程，兩個模型將等價。待辨識參數(shù)J^'為MRAS狀態(tài)變量，將參考模型的差分方程(25)減去可調(diào)模型(26)，可得

式中，e為廣義誤差，定義如下:

對于數(shù)字控制系統(tǒng)，伺服電機的電氣時間常數(shù)遠小于其機械時間常數(shù)，故在一個速度環(huán)控制周期內(nèi)，假定轉(zhuǎn)子機械轉(zhuǎn)速ωm和系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量J不變。根據(jù)式(27)，MRAS辨識系統(tǒng)可等價為一個標準反饋系統(tǒng)，其中包含一個線性時不變前饋子系統(tǒng)和一個非線性時變反饋子系統(tǒng)。

MRAS的關(guān)鍵問題之一是自適應(yīng)機構(gòu)中所執(zhí)行的自適應(yīng)規(guī)律的確定。自適應(yīng)規(guī)律保證廣義誤差漸近穩(wěn)定且待辨識參數(shù)收斂到真實值［8］。根據(jù)Popov超穩(wěn)定理論，若保證自適應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定，其中的非線性時變反饋環(huán)節(jié)需要滿足

其中，F(xiàn)=()();是當t1＞0時不隨時間變化的有限正數(shù)。

為了避免廣義誤差趨近于零時算法失效，自適應(yīng)規(guī)律通常設(shè)計為比例積分(PI)結(jié)構(gòu)。因此，將預估計量J^'的自適應(yīng)規(guī)律取為PI形式，即

式中，(0)為初始值。將F和式(30)代入式(29)，經(jīng)推導可得自適應(yīng)規(guī)律:

結(jié)合式(27)，MRAS轉(zhuǎn)動慣量辨識系統(tǒng)的等效非線性結(jié)構(gòu)如圖2所示。依據(jù)自適應(yīng)規(guī)律，狀態(tài)變量驅(qū)動可調(diào)模型趨向于參考模型。因此，在廣義誤差趨近于零的過程中待辨識的轉(zhuǎn)動慣量將逐漸趨近于真實值。

圖2 MRAS參數(shù)辨識等效非線性反饋系統(tǒng)

MRAS辨識出的轉(zhuǎn)動慣量用于在線更新EKF狀態(tài)估計器的系統(tǒng)矩陣，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)動慣量的魯棒控制。EKF估計出的狀態(tài)變量中，角速度^ωm和角位移θ^m分別用于速度環(huán)和位置環(huán)的反饋值，等效負載轉(zhuǎn)矩T^l用于前饋控制以消除電機轉(zhuǎn)矩脈動。將轉(zhuǎn)動慣量自適應(yīng)EKF狀態(tài)估計用于PMSM伺服驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)成帶有速度估計和轉(zhuǎn)矩前饋的速度伺服系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3 EKF狀態(tài)估計速度伺服系統(tǒng)

3 仿真及試驗分析

仿真和試驗中所用PMSM及所帶負載的參數(shù)如表1所示。圖4顯示了不同轉(zhuǎn)動慣量初始值下的轉(zhuǎn)動慣量辨識結(jié)果，其間速度指令和轉(zhuǎn)矩指令分別在0.15 s和0.3 s時刻階躍變化。可以看出，慣量辨識值快速收斂于真實值，且在轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩突變時沒有發(fā)生振蕩。

圖4 階躍指令下不同初始值的慣量辨識效果

圖5所示的仿真試驗中，設(shè)定速度指令為±100 r/min，負載轉(zhuǎn)矩恒定在8 N·m。在0.5 s時刻將EKF輸入矩陣中定子電阻修改為準確值的2倍，而同步電感為準確值的1/2，并在1 s和2 s時刻分別將轉(zhuǎn)動慣量設(shè)定為真實值的2倍和1/3。從仿真結(jié)果可以看出，當定子電阻和等效電感取值不準確時，估計器并未受到影響。相比之下，從仿真結(jié)果可以看出，當EKF系數(shù)矩陣中轉(zhuǎn)動慣量的取值偏離準確值時，電機轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩的瞬態(tài)估計結(jié)果將出現(xiàn)較大的超調(diào)和波動。由此可見，EKF估計器對轉(zhuǎn)動慣量較為敏感，而對電阻和電感具有較好的魯棒性。在實際系統(tǒng)中，需要利用轉(zhuǎn)動慣量辨識結(jié)果對EKF的系數(shù)矩陣進行在線整定。

圖5 被控對象電氣參數(shù)對估計結(jié)果的影響

本文所用試驗系統(tǒng)如圖6所示。電機同軸安裝一個SICK公司生產(chǎn)的32 768線高精度光電編碼器，并連接至專用控制器捕捉倍頻后的編碼器脈沖，測量電機的實時轉(zhuǎn)速，作為比對參考。其中，速度環(huán)和電流環(huán)的控制周期分別設(shè)定為400 μs和 80 μs，得益于 STM32F4 處理器的強勁性能，轉(zhuǎn)動慣量辨識、EKF狀態(tài)估計以及PI電流控制器的總計算時間約為30 μs，加上約20 μs FOC算法執(zhí)行時間，所有的電機控制算法可在一個電流環(huán)周期內(nèi)執(zhí)行完畢。

表1 仿真和試驗中所用電機參數(shù)

圖6 試驗平臺配置

圖7所示試驗結(jié)果對比了超低速下使用轉(zhuǎn)動慣量自適應(yīng)狀態(tài)估計器ωest和M/T速度檢測ωenc方法時的電機速度響應(yīng)。試驗結(jié)果表明，在超低速度下，由于編碼器反饋信息的缺失，使用M/T方法時的速度響應(yīng)趨于不穩(wěn)定。相比之下，本文提出的方法仍舊能夠提供準確的速度反饋，獲得良好的低速控制性能。

圖8所示為動態(tài)轉(zhuǎn)速響應(yīng)的對比波形。試驗中，速度給定ωref為頻率70 Hz，幅值20 r/min的正弦指令。使用編碼器檢測轉(zhuǎn)速作為速度反饋時，速度響應(yīng)ωenc存在約30°的相位滯后，而使用自適應(yīng)EKF速度估計作為速度反饋值時，速度響應(yīng)ωest沒有明顯的相位滯后，動態(tài)跟隨特性良好。

4 結(jié)語

本文提出了一種使用常規(guī)編碼器條件下獲得PMSM良好速度特性的控制方法。仿真和試驗結(jié)果表明，當PMSM運行于低速或超低速區(qū)域時，本文提出的EKF狀態(tài)估計策略依舊可以提供準確、實時的速度反饋，從而在寬調(diào)速范圍內(nèi)實現(xiàn)良好速度控制性能，有效改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能并增大了調(diào)速范圍。此外，通過MRAS在線辨識出的轉(zhuǎn)動慣量對EKF系數(shù)矩陣實施自整定后，自適應(yīng)EKF估計算法對系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量、定子電阻、等效電感的變化以及環(huán)境噪聲均有很好的魯棒性，與使用M/T速度檢測方法相比具有調(diào)速范圍寬、實時性好及抗干擾能力強等優(yōu)勢。

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