回歸教材做什么

●吳國建 (東陽中學 浙江東陽 322100)

到了高考復習的最后階段，也就是自主復習階段，教師們都會提醒學生復習要回歸教材，即通過對教材的重新閱讀與理解，為高考的有效增分作最后的努力.但是，如何回歸教材，回歸教材做什么，卻是一個需要思考的問題.筆者認為，數學高考復習最后階段的回歸教材必須做好以下4個方面.

1 理清知識網絡

圖1 立體幾何知識網絡圖

新課改的實施，首先變化的是教材的編寫體系.數學知識的呈現不是一步到位，而是充分體現出新課程“螺旋上升”的理念，這就要求教師在復習教學中幫助學生理清教材各獨立板塊內容的知識網絡，建立知識結構體系.尤其到了復習最后階段，知識的系統性、網絡化對于命題者所青睞的主干知識和知識交叉點的把握顯得更為重要.以立體幾何為例，空間幾何體中點、直線、平面之間的位置關系和空間直角坐標等知識分布在必修2的第1、第2、第4章和選修2-1的第3章，涉及的內容、定理、性質和結論眾多.如圖1所示，通過回歸教材構建一個清晰的立體幾何知識網絡，可以讓人一目了然.立體幾何知識網絡可以概括為：平行垂直角距離，柱錐臺球面體積，想象推理加計算，垂直關系是主題.第1句概述了立體幾何的主要內容;第2句突出了主要的空間幾何體;第3句說明了立體幾何學習的主要思想方法;第4句闡述了垂直關系在立體幾何學習中的重要性.

回歸教材，通過橫向聯系縱向深入，通過組合類比，溝通知識，構建網絡，實現教材知識由“厚”到“薄”、由“散亂”到“有序”的轉化，可以促進學生對數學知識“螺旋式上升”的理解，明確考查的知識內容，重點關注“知識交叉點”，從而提高復習效率.

2 重溫例題和習題

前蘇聯數學教育家奧加涅相說過“很多習題潛在著進一步擴展其教學功能、發展功能和教育功能的可能性……”.課本中的例題和習題不僅是教師施教、學生學習的主要材料，也是高考命題的重要依據.近幾年的浙江省數學高考命題充分體現了“試題源于教材，略高于教材”的特點.許多試題在設計時有意識地將教材中的例題、習題進行了移植與改編，如2011年浙江省數學高考文理科第4題：

例1 下列命題中錯誤的是：

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β.

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β.

C.如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β =l，那么 l⊥平面 γ.

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β.

此題直接移植于人教A版必修2第2章2.3.4節練習題.又如2011年浙江省數學高考理科第5題也從人教A版必修5教材中的線性規劃例題改編而成，給人以“題在書外，根在其中”的感覺.

也有一些試題，表面上看并不來源于課本，但稍加分析轉化或者將條件逐一分解，可以發現其核心內容全都來自于教材.如2010年浙江省數學高考理科第22題的第(2)小題：

例2 設x1，x2，x3是f(x)的3個極值點，問是否存在實數 b，可找到 x4∈R，使得 x1，x2，x3，x4的某種排列 xi1，xi2，xi3，xi4(其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4})依次成等差數列?若存在，求所有的b及相應的x4;若不存在，請說明理由.

問題經過分析后可轉化為：已知3個數，再插入1個數，使4個數成等差數列.進一步分析，這樣的情況有且只有以下4種：然后逐一進行討論就可以解決了.

值得一提的是，近2年一些省份出現了直接來自于教材的高考題，如2011年陜西省數學高考文理卷第18題：敘述并證明余弦定理;2010年四川省數學高考的第19題：

例3 (1)證明兩角和的余弦公式 C(α+β)：

(2)由 C(α+β)推導兩角和的正弦公式 S(α+β)：

在“高考資料滿天飛、教輔用書代教材”的今天，這些試題的出現，起到了很好的導向作用，在復習教學中應引起高度重視.回歸教材，重溫例題、習題，并不是去猜題、押題，而是通過發掘教材例題、習題潛在的教育教學功能，最大化地體現數學教材在高考復習中的重要地位，減輕學生學習負擔，真正體現高考對中學數學教學正確的導向作用.

3 領悟思想方法

數學考試是通過解題的方式展現學生的知識水平，反映學生對數學本質的理解程度，體現數學思想和方法的掌握與運用能力.《浙江省普通高考考試說明》指出：數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，注重對數學能力的考查.函數方程思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想等數學思想每年必考，?？汲Ｐ?配方法、換元法、遞推法、定義法、反證法、等積法、向量法、參數法等解題方法屢有出現，各有千秋，這些數學思想和解題方法都蘊含于教材中.以人教A版必修5第2章“數列”為例，主要的解題方法有：

(1)基本量法：在解等差數列(或等比數列)問題時，可以把求問題中的其他量轉化為求基本量a1和d(或q)，使求解的數列問題轉化為求關于a1和d(或q)的等式或不等式問題.

(2)知三求二法：在等差數列(或等比數列)的研究中，常常會涉及到的 5 個相關量 a1，an，n，Sn，d(或q)之間有一些運算公式，已知其中3個量就可以求出另外2個量.

(4)歸納猜想證明法：教材中根據數列前幾項寫出通項公式的例子和習題體現了遞推和歸納的方法，這樣得到的通項公式可以用數學歸納法加以證明.

(5)倒序相加法：對于一個有限項數列，若具備“凡與首末2項等距離的任意2項之和總等于同一個常數”的特點，則此數列的求和可用倒序相加法，這種方法運用了“對稱性”的解題思路，展現了“求齊”的思想，可以避免因項數奇偶問題引起的討論，教材中等差數列的求和公式就是這樣推導的.

(6)錯位相減法：教材中等比數列前n項和的運算是通過錯位相減法實現的，這種方法普遍適用于“由等差數列和等比數列對應項相乘而生成的新數列”，即如果數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列，則數列{anbn}的前n項和可以通過“乘公比錯位相減”求得.

(7)函數法：由于數列可以看作以正整數集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})為定義域的函數an=f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一系列函數值，因此許多數列問題可以用函數的方法來處理.通過函數圖像與性質的研究來解決數列問題，這就是函數法.教材“等差數列前n項的和”一節中的探究與課本例題都體現了這種方法.

(8)裂項相消法：教材通過一個研究性問題展現了裂項相消的求和技巧：研究一下，能否找到求Sn的一個公式.你能對這個問題作一些推廣嗎(習題2.3)?

因此，回歸數學教材，不是僅從認知的角度熟悉教材，不能僅停留在表面重復“昨天的故事”，而是要從理解數學本質的角度審視教材，從知識綜合運用的角度拓寬教材，從升華思想方法的角度用活教材，只有這樣，才能使數學高考復習事半功倍.

4 關注細節規范

高考是一場全方位的競爭，比拼的不僅是知識的掌握程度和運用能力，還有心理、習慣等綜合素質.高三復習教學和考試訓練中經常發現許多學生會產生“會而不對、對而不全”的現象，這主要是與平時的思維習慣、解題規范甚至與心理品質有關.其實教材中有許多細節，對培養學生的思維習慣、提升心理品質很有幫助，這就要求回歸教材時重點關注這些細節，充分發揮這些細節的教學功能，努力達到有效增分的復習目的.以下是教材中解析幾何部分一些值得關注的細節，其中有些內容是教材直接呈現的，有些內容蘊含在例題、習題中，有些內容相對集中，有些內容比較分散，回顧教材時需要歸納整理.

(1)傾斜角的范圍，特別要注意傾斜角為90°時，直線的斜率不存在;直線的5種方程形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式)各自有自己的適用范圍以及特殊直線的方程;截距可正可負也可以為0;2個坐標軸上截距相等當且僅當直線的斜率為-1或過原點;到2個點A(x1，y1)，B(x2，y2)等距離的直線可以平行于直線AB，也可以過AB中點;2條直線的位置關系判別應當注意斜率不存在的特殊直線方程.

(2)解析幾何中的對稱問題(中心對稱和軸對稱)，通?？捎么敕ń鉀Q.當對稱軸方程形如y=±x+b時可直接代入，當斜率不為±1時需要通過中垂線的性質進行代入.

(3)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件;已知圓的一條直徑的 2個端點 A(x1，y1)，B(x2，y2)的圓的方程為

當點P(x0，y0)位置不同時，方程

有不同含義;過圓外一點作圓的切線一定有2條，注意其中一條斜率可能不存在;2個圓相交時相交弦(根軸)所在直線的方程.

(4)平面上到2個定點的距離之和(或差的絕對值)等于定長的點的軌跡的不一定是橢圓(或雙曲線);離心率在圖形中的表示;如何根據雙曲線方程求漸近線和如何根據漸近線假設雙曲線，漸近線的夾角范圍，等軸雙曲線;形如y=ax2的拋物線的焦點確定.

(5)與圓錐曲線只有一個交點的直線與切線的區別與聯系;已知過x軸上一點A(x0，0)，假設直線y=k(x-x0)還是x=my+x0要視不同情況而定.

另外，回歸教材也是學習解題過程、培養解題規范的一個有效手段.筆者在高考閱卷中發現，很多學生因答題不規范而造成的丟分現象屢見不鮮.如概念符號的書寫不正確、結論表達不準確、證明推理不嚴密、分類討論不完全、條件轉化不等價、幾何作圖不合理、解題過程不流暢、卷面表達不清楚等，這樣的丟分是十分可惜的.回歸教材，就是要充分發揮教材的示范作用，引導學生掌握3種數學語言(文字語言、符號語言、圖形語言)的準確表述，學習推理計算過程的嚴謹科學，追求答題書面表達的清楚規范，從而達成“關注細節多得分、注意規范少丟分”的目標.

［1］ 浙江省高考命題咨詢委員會.2010年浙江省高考命題解析(數學)［M］.杭州：浙江攝影出版社，2010.

［2］ 浙江省高考命題咨詢委員會.2011年浙江省高考命題解析(數學)［M］.杭州：浙江攝影出版社，2011.

［3］ 虞濤.高中數學課本中的基本解題方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2007.