用哲學(xué)觀點駕馭空間幾何中數(shù)學(xué)思維的理性

●凌云志 (黃山區(qū)教育局教研室 安徽黃山 245700) ●洪新華 (黃山市教科所 安徽黃山 245000)

很多學(xué)生怕學(xué)空間幾何，是因為空間幾何抽象難以萌發(fā)數(shù)學(xué)的直覺.如果能靜心反思課堂教學(xué)和學(xué)生解題時的困惑，那么歸因就不那么簡單.誠然，與空間相關(guān)的基本概念、公理、定理和基本模型是學(xué)好此課的基石;典型問題的演練是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)與解題能力的重要途徑.筆者認(rèn)為，很多空間幾何課堂教學(xué)缺失了賦予學(xué)生體驗數(shù)學(xué)智慧的經(jīng)歷，這種智慧被我們定格于演繹推理形式邏輯所吞噬，空間思維需要“運動與相對靜止”、“相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化”等哲學(xué)觀來統(tǒng)領(lǐng)，讓學(xué)生學(xué)到理性駕馭思考問題的經(jīng)驗.

縱觀教材：點、線、面、體概念的建立，點動成線、線動成面、面動成體;面面相交成線、線面相交或線線相交成點;線線平行(垂直)與線面平行(垂直)或面面平行(垂直)互化等，足以說明：空間從本質(zhì)上是運動、變化、聯(lián)系的.基礎(chǔ)知識只是賦予了空間結(jié)構(gòu)與空間元素基本的數(shù)學(xué)聯(lián)系(本質(zhì))，它是相對靜態(tài)的和獨立的，即哲學(xué)意義上的相對靜止.有些基本的(概念、定義、公理和定理)知識放歸于多樣復(fù)雜的空間問題時，教師必須借助運動變化、聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點，展示認(rèn)識空間數(shù)學(xué)本質(zhì)有序性和方法性，讓學(xué)生真實體驗到基本知識的價值與意義(知識的活化).因而，巧妙、適宜地變化題境，展示空間元素運動、變化、聯(lián)系、生成的生動畫面，促使學(xué)生空間觀念有效形成與發(fā)展.在教學(xué)中，應(yīng)注意以下幾個方面：

1 運動生成

例1 給定異面直線a，b和點P，令直線a，b所成的角為θ，問過點P能作幾條直線滿足：與直線a所成的角為銳角α且與直線b垂直.

點撥 如圖1，過點P作 a'∥a，b∥b'，過點 P 與直線 a'所成的銳角α的直線，以及過點P與直線b'垂直的直線，它們形成的空間圖形各是什么?

意義 過點P與直線a'所成的角為銳角α的所有直線的集合，是以a'為軸，2個對頂?shù)腻F角為2α的“無底圓錐”側(cè)面，設(shè)其曲面為S;過點P與直線b'垂直直線的集合，是以b'為法線，過點P的平面β.符合條件的空間元素運動生成特定空間：曲面S是過點P繞a'軸旋轉(zhuǎn)而成，平面β是取一條過點P與直線b'垂直的直線繞點P旋轉(zhuǎn)而成.

圖1

空間元素從“無形”明晰出“有形”、局部拓展成全部、個體演繹為總體，這是空間觀念存在并能動地再現(xiàn)概念屬性的體現(xiàn)，是探究空間幾何問題能力的基礎(chǔ)，是教師首要追尋的教學(xué)目標(biāo).

覺悟 若90°-θ＜α，則S∩β是2條直線，滿足題設(shè)的直線可作2條;若90°-θ=α，則平面β與曲面S切于1條直線，滿足題設(shè)的直線僅可作1條;若90°-θ＞α，S∩β=φ，則滿足題設(shè)的直線不存在.

2 以靜制動

圖2

(1)三棱錐A-BEF的體積是否變化;

(2)異面直線AE與BF所成的角是否變化;

(3)二面角E-AB-F是否變化;

(4)二面角A-EF-B是否變化;

(5)二面角A-EB-F是否變化;

點撥 (1)從定點A，B觀察線段EF，結(jié)合面積、體積度量要素，能做出哪些判斷?

(3)如何延展△ABF和△ABE所代表的“局面”，顯現(xiàn)二面角E-AB-F;

(4)注意變化的△AEF，△BEF所在的面;

(5)注意二面角A-EB-F與二面角A-EB-D之間的關(guān)系.

意義 感悟“動中有靜”、“變中有定”，相對靜止是認(rèn)識事物的重要方法;學(xué)會以靜制動，用“定”思“變”.

發(fā)現(xiàn)具特殊意義的空間背景或?qū)ο螅瑥亩业浇鉀Q問題的方法與思路，誘發(fā)空間觀念以追尋數(shù)學(xué)意義或價值之目標(biāo)意識，這應(yīng)成為教師培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力的關(guān)鍵.

覺悟 (1)如圖2，點A到EF距離不變，S△AEF為定值，點B到平面AB1D1距離不變，于是動點E，F(xiàn)不引起VA-BEF變化.

圖3

基于適用于水利建設(shè)的地理水紋記號系統(tǒng)化研究，本文提出了系統(tǒng)化的研究方法及流程，把視覺傳達(dá)設(shè)計運用于具體的水利水紋記號改良設(shè)計。我國現(xiàn)代水利中的地理水紋記號還有待于規(guī)范、完善，這對于我國水利現(xiàn)代化建設(shè)以及水文化發(fā)展具有重大現(xiàn)實意義。

3 化靜為動

(1)若DA⊥平面APB，試問：平面APC⊥平面ABCD成立嗎?

(2)若AP⊥平面ABCD，試問：你能探究出哪些結(jié)論?在什么位置作出二面角A-PB-C為宜?

(3)若PC⊥BC，試問：平面APC⊥平面ABCD是否成立?是否有AP⊥平面ABCD成立?

點撥 (1)在DA⊥平面APB條件下，在平面APB內(nèi)，過點B作P'B⊥AB，你能發(fā)現(xiàn)∠P'CB的特殊意義?

(2)在AP⊥平面ABCD的條件下，能否從線面垂直去發(fā)現(xiàn)更多有關(guān)面面垂直或線線垂直的結(jié)論?

(3)在PC⊥BC的條件下，為探究AP⊥平面ABCD成立與否，注意點P有無可變化余地.

意義 題設(shè)往往賦予空間的可變性，對驗證猜想是否合理至關(guān)重要;感覺到空間的可變性就是發(fā)揮空間觀念探究問題能動意識，教師誘發(fā)“可變”贏得學(xué)生主動“可為”.

圖4 圖5

覺悟 如圖4，由附加條件(1)和點撥(1)，易證：P'B⊥平面ABCD，AC⊥CB，從而∠P'BC為P'-AC-B的平面角，由△P'CB是直角三角形，∠P'BC是銳角，知平面APC⊥平面ABCD不一定成立.

(2)如圖5，由題設(shè)及AP⊥平面ABCD可得：①平面APC⊥平面ABCD，平面APD⊥平面ABCD，∠DAC為二面角D-PA-C的平面角.②BC⊥平面APC，∠ACP為P-BC-A的平面角;在平面APB內(nèi)作EH⊥PB，點H為垂足，聯(lián)結(jié)CH，∠CHE即為二面角A-PB-C的平面角.

(3)如圖5，聯(lián)結(jié)DE，易證DE∥CB，由題設(shè)及PC⊥BC得DE⊥平面APC，平面APC⊥平面ABCD都成立;由于當(dāng)點P在線段PC移動至某點P'時，不會改變題設(shè)條件，由AP位置的可變性，知AP⊥平面ABCD結(jié)論不一定成立.

4 關(guān)注特殊

圖6

點撥1 能否弄清平面BEF與平面PAB在點B處的交線情況?因E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，故考慮EF與平面PAB和平面PBC的位置關(guān)系.

意義 矛盾的特殊性決定事物的性質(zhì)，把握題設(shè)條件的特殊性是找準(zhǔn)解題突破口、使空間觀念具備鎖定解題關(guān)鍵的數(shù)學(xué)視角，它是體現(xiàn)空間幾何課堂有效教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一.

點撥2 EF∥平面PAB，對分析平面BEF與平面PAB在點B處交線位置有意義嗎?

意義 由特殊性入手，繼而引發(fā)對關(guān)聯(lián)性的思考，使學(xué)生空間觀念處于有序漸進(jìn)、層層深入的探究氛圍，這是教師孜孜以求的課堂教學(xué)藝術(shù).

覺悟2 交線應(yīng)與EF平行，過點B作BP'∥EF.

點撥3 根據(jù)EF⊥平面PBC，可知P'B⊥平面PBF，對明確平面BEF與平面PAB的夾角有幫助嗎?

覺悟3 是∠PBF(得到它為45°，并不難).5 教育價值

數(shù)學(xué)課不僅僅要傳授知識、教會方法、領(lǐng)悟思想和獲得能力，還有一個更沉重的價值：對人的世界觀形成與發(fā)展應(yīng)產(chǎn)生積極的影響.我們應(yīng)沉思為什么有那么多的學(xué)生厭惡數(shù)學(xué)，盡管成因復(fù)雜，但有一點，在高考的高壓下，我們的數(shù)學(xué)課太急功近利，呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題雜、難、快、多，很少有教師去思考：如何教會學(xué)生去品味、體驗數(shù)學(xué)中蘊含的讓人明智的哲理與從容的理性.把哲學(xué)的境界融入空間幾何的課程中，旨在挖掘其教育功能.究其因，空間幾何課程有太多的教育素材，如線線、線面、面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，空間問題化歸為平面問題，位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的互化，都印證了哲學(xué)上事物是普遍聯(lián)系又相互轉(zhuǎn)化，而且這種聯(lián)系與轉(zhuǎn)化又帶有某種規(guī)律.又如利用圖形的特殊性質(zhì)可以便捷地找出或求出二面角，這不正是靈驗了把握特殊性是認(rèn)識事物性質(zhì)和解決問題的重要方法.再如，認(rèn)真思考題設(shè)(諸如含45°、60°特殊角，有垂直或平行關(guān)系存在等)，巧抓偶然性，尋找解題的突破點，題設(shè)之偶然寓于問題結(jié)論求索的必然之中，等等.哲學(xué)給數(shù)學(xué)帶來境界，也給數(shù)學(xué)送來獲得智慧的經(jīng)驗與體驗，為統(tǒng)領(lǐng)空間幾何解題的觀點、思想與方法帶來了高度.