一道課本習題的探究性學習與思考

●張 覺 (嘉興市第五高級中學 浙江嘉興 314051)

探究性教學是新課標的顯著特征之一，新課程改革與實施的目的就是要改變學生被動接受知識的過程和缺乏創造性的學習.注重對知識的發生、發展過程的體驗，讓學生親自追尋知識生成的軌跡.這就注定了要從傳統的教學方式進行改革，需要教師在平常的教學中調控學生思維“流向”，給學生提供探究性學習的理想素材，搭建展示思維的平臺，為學生提供動手、動腦的機會，引導他們應用觀察、分析、綜合、歸納、抽象、類比、猜想、總結等方法去探究，去創新，培養學生正確的探究問題的步驟、思想及方法.

1 創設探究的情景，選擇好的探究性題目

就像希爾伯特曾深情地稱費馬大定理是一只會“下蛋的金母雞”，一道好的題目會給我們帶來引人入勝的探究之旅.例如人教版《數學》選修2-1第50頁B組第4題：

怎樣才能讓這只“母雞”下出“金蛋”來呢?

2 合理化的轉換思考，多方面創造性質疑

視角1 R，S，T不是線段OF的4等分點，R'，S'，T'不是線段CF的4等分點，結論是否成立.它們對應的分點是否需要一致?

視角2 對于任意的矩形，是否都有相應的橢圓與之對應(特殊轉化為一般).

同理可得直線ER的方程為

聯立方程(1)，(2)可得直線ER與GR'的交點坐標為

代入橢圓方程得

成立.

圖1 圖2

視角3 形似聯想，利用圖形的對稱性轉化位置，R，S，T，R'，S'，T'轉換位置后結論是否成立呢?

(證明略.)

視角4 轉換角度，若不對稱地進行轉換即R在OE上，R'在CG上，其他條件不變，交點是否仍在橢圓上呢?

視角5 類比聯想，從類比的思想角度出發，既然交點在橢圓上，是否有相應的交點在雙曲線上，什么時候在雙曲線上呢?

從而又得到下面一個新的命題.

(證明略.)

從這個視角得到了上面的命題并且解決了視角5所遇到的問題.正確的思維方式總能給我們帶來意外的驚喜.

圖3 圖4

視角6 在原有結論的基礎上步步深入，繼續轉換點的位置狀態，從而又得到了新命題.

(證明略.)

上面的問題思考過程中可能會失敗，但在失敗的同時也會噴發出新的研究點與探究的方向.問題是否就此結束了呢?

3 積極的進行反思，讓逆向思維產出新的火花

由上面的思考，自然想到它的逆定理是否成立，從而產生許多精彩的結論.

圖5 圖6

實際上當點P在第二、三、四象限時成立，當點P在坐標軸上時也成立，此時的比例為0或1.在命題5的基礎上繼續探討，可得到下面的性質.

性質3 如圖 6，|S△OER-S△OHN|=|S△GPN'-S△FPR'|.

4 乘勝追擊，深入探究，讓思維成為問題的主宰

視角1 拓展深入，既然橢圓上一個點能產生這樣美妙的性質，若2個點呢?

(證明略.)

視角2 類比反思，既然橢圓上成立，那么雙曲線呢?

圖7

圖8 圖9

對雙曲線也可以得到同樣的面積關系，筆者不再細述，僅做出圖像如圖8，9所示.

視角3 交錯思考，若橢圓與雙曲線相互搭配又會產生怎樣的思維碰撞呢?

圖10

5 探究性學習與教學的建議

從以上探究的方法與過程，我們知道要使探究性教學能有效地開展下去，需要教師能堅持教學能力的研究，要能深入到探究性教學問題的本質，讓學生的思維進入問題的核心，培養學生科學地探究問題的方法與思想.建構主義數學學習觀認為：“學習并非是對于教師所授予知識的被動接受，而是依據已有知識和經驗為基礎的主動建構的過程”解一道題，必然要進行多角度的嘗試，經歷了多種挫折，走過了多條彎路，從而獲得探究問題的方法與思想.要以思維為出發點，以學生為主，教師適度地研究與引導，讓學生從不知到知，從不懂到懂，從臨摹到思考探究，一步一步找到解決問題的途徑和獲取新問題的方法.只有讓學生學會思考，學會探究，學生的探究性能力才能得到有效的提高，教師的探究性教學才能更好、更有效地開展.我們的教育才能真正地轉化為能力教學，避免“為考而教，不考不教”的現象，使其真正步入到新課程改革所倡導的教育的主方向和學習思維發展的主方向上來.

［1］ 王神華.新課程理念下開展“問題驅動”教學思考［J］.數學通報，2007(12)：10-11.