圓錐曲線的一個統一性質的探究與引申

●王泳彩 (馬寅初中學 浙江嵊州 312400)

由于橢圓、雙曲線、拋物線是具有統一定義的圓錐曲線，因此它們具有許多統一的性質.筆者通過對2個問題的探究，得出幾個有趣的結論.本文對圓錐曲線的研究是在標準方程下進行的，因此給出的性質也只對圓錐曲線的標準方程適用，至于非標準方程下的圓錐曲線還有待進一步研究.

1 定理的發現

問題2 過拋物線y2=2px(p＞0)上一定點P(x0，y0)(y0＞0)作2條直線分別交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2).

(2004年北京市數學高考理科試題)

分析(1)略.

(2)設直線PA的方程為y-y0=k(x-x0)，則直線PB的方程為y-y0=-k(x-x0).由

即直線AB的斜率為非零常數.

由問題1和問題2引發了以下思考：

(2)問題1和問題2的結論是巧合嗎?對所有圓錐曲線這個性質是否都成立?

筆者借助幾何畫板研究發現，不管對橢圓、拋物線，還是雙曲線，不管它們的位置如何，只要直線PA，PB的傾斜角互補，直線AB的斜率始終為定值.

限于高中階段圓錐曲線的范疇，不妨設圓錐曲線統一的方程為Ax2+By2+Cx+Dy+F=0(A≠B且A，B不同時為0)，P(x0，y0)為曲線上任一定點，過點P作傾斜角互補的2條直線PA，PB，與曲線的交點分別為 A(x1，y1)，B(x2，y2).事實上，設直線PA方程為y-y0=k(x-x0)，則直線PB的方程為 y-y0=-k(x-x0).由

2 定理的引申

進一步思考，定值kAB與點P及圓錐曲線在幾何上有什么聯系呢?

如圖1，可以設想將問題1中的直線 PA，PB不斷繞點P旋轉，逐漸使點A，B愈來愈靠近，最后可以得到點 A，B重合的狀態.記點A，B重合的點為P0，用極限的觀點來判斷，此時直線AB應為曲線C的切線，點P0為切點.事實上，設線段AB的中點為M，則由PA，PB的傾斜角互補知PM⊥x軸或PM⊥y軸.當A，B重合于點P0時，點M與點P0也重合，故點P0為點P關于坐標軸的對稱點，即點P0的坐標為(x0，-y0)或(-x0，y0).下面證明曲線C在點 P0處的切線與直線 AB平行.不妨設P0(x0，-y0)，設切線方程為 y+y0=k(x-x0).由

圖1

故切線與直線AB平行.

同理可證曲線C在P0(-x0，y0)處的切線也與直線AB平行.對于雙曲線與拋物線，證明過程類似.由此得到圓錐曲線的3個重要性質：

性質1 過圓錐曲線上任一定點P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)作傾斜角互補的 2 條直線 PA，PB，與圓錐曲線的交點分別為 A(x1，y1)，B(x2，y2).若直線PA，PB的斜率都存在，則直線AB的斜率等于曲線在點P關于對稱軸的對稱點處的切線的斜率.

性質2 若直線y=kx+b(k≠0)與圓錐曲線C相交于點A，B(對于雙曲線要求相交于同一支)，則在曲線C上必存在定點P，使得直線PA與PB的傾斜角互補，且點P為將直線平移到與曲線相切時的切點關于曲線對稱軸的對稱點.

另外，設線段AB中點為M(x，y)，則

因為 A(x1，y1)，B(x2，y2)在曲線上，所以

即線段AB的中點軌跡與曲線C的交點為(x0，-y0)和(-x0，y0).

由此也引出了圓錐曲線的另一個性質：

性質3 若直線y=kx+b(k≠0)與圓錐曲線C相交于點A，B，則在曲線C上必存在定點P，使得直線PA與PB的傾斜角互補，且點P為線段AB的平行弦中點軌跡與曲線的交點關于曲線對稱軸的對稱點.

3 定理的應用

(2011年嵊州市數學教師綜合素質比武試題)

證法1 假設存在C上的一點M(m，n)，則

當m=0時，顯然不可能.因為直線交C于點A，B，所以Δ＞0，即

證法1計算量比較大，參加比武的數學教師也大都因為時間的限制與計算的繁雜，難以順利求解.如果應用本文所得定理性質則可迎刃而解.

證法2 假設存在C上的一點M(m，n)，則

當m=0時，顯然不可能.

本文從常見的問題出發，將問題的結論作一般化推廣和探究，再進一步地借助運動的觀點和幾何畫板的演示，最終得出幾個有趣的結論，揭示了定值kAB與點P的本質聯系.這一探究過程，體現了新課程倡導的“突出數學本質，適當淡化形式和重思維、重探究、重過程”的理念.