“隨機事件的概率”一課的賞析與思考

●謝尚志 (溫州市第二十三中學 浙江溫州 325000)

2011年10月19日“浙江省高中數學課堂教學評比暨有效教學論壇活動”在麗水中學舉行，筆者作為名師工作室學員，有幸觀摩了本次活動，感受了不同風格的課堂，也領略了不同地區優秀教師的風采.特別是獲得本次評比活動第1名的溫州中學孫軍波老師的“隨機事件的概率”一課，其和諧的師生互動、活躍的數學思維、自然的思維過度、異彩紛呈的生態課堂，令筆者耳目一新、如沐春風.下面是筆者對該節課的幾點體會及對今后教學的啟示，望與廣大同仁交流學習.

1 課例賞析

1.1 名詩導入——掀起情感浪潮

導入環節雖是教學過程中短暫的一段，但由于是師生課堂交往的最初階段，因而師生之間的信息感應和接受都是強有力的.孫老師以自己去泰山游玩為題材，結合一句名詩“會當凌絕頂，一覽縱山小”設置問題導入.

問題：“會當凌絕頂，一覽縱山小”這種景象在登泰山時一定能看到嗎?

此問題情境的創設新穎、精致，不僅能快速集中學生的注意力，激發學生的興趣，將學生的思維“鎖”定本節課的重點內容之一——隨機事件的概率，又充分體現了數學教師的人文修養.對于一名優秀的教師來說，在組織建立課堂秩序及傳授知識的過程中，積極得體的語言表達以及通過語言表現出來的氣質、修養、情感等個性特征和人格魅力，以及對學生表現出的鼓勵、期望等種種良性暗示，都會構成一個強大的信息沖擊波，在學生腦海里留下深刻的印象，掀起積極情感的浪潮.

1.2 有效實驗——演繹數學本源

通過學生親自動手實驗，體會隨機事件發生的不確定性及其頻率的穩定性，由此給出概率的統計定義，這是本節課的主要任務.在此環節教學中，孫老師始終圍繞著“隨機事件的隨機性以及隨機性中表現出來的規律性”這一核心概念進行實驗設計和實驗結果分析.

實驗1 學生拋硬幣實驗，回顧頻數、頻率等概念.

要求 全班每2個人一組，每小組實驗10次，每小組安排一人拋擲，一人記錄硬幣“正面朝上”的次數，填入書上的表格.

分析Excel采集數據并做出折線圖.

問題1 與其他小組實驗結果比較，你和他們的結果一致嗎?為什么會出現這樣的情況?

問題2 大家做出來的，正面朝上的頻率并不都是0.5，跟我們的猜想有出入，那是什么原因?

問題3 書本上要大家將小組的結果加起來，再將全班的結果加起來，目的是什么?

問題4 如果同學們再重復一次上面的實驗，全班的匯總結果還會和這次的匯總結果一致嗎?如果不一致，你能說出原因嗎?

實驗2 計算機模擬拋硬幣實驗，摸擬5組拋1 000次實驗.

分析Excel采集數據并做出折線圖.

問題5 Excel左側是大家的實驗所得的頻率，右側是1 000次的摸擬實驗的頻率，通過對比，能發現什么現象?

再用計算機摸擬，在相同條件下，實驗1 000次的過程，記錄其中每拋一次，所對應的頻率變化.

問題6 通過摸擬實驗，你觀察到了什么現象?

實驗3 介紹歷史上一些拋硬幣的實驗結果.

分析將歷史上的實驗結果做成折線圖與實驗1、實驗2的統計圖進行比較，引導學生觀察、分析、歸納、總結出拋硬幣實驗正面朝上的規律性：隨著實驗次數的增加，正面朝上的頻率穩定在0.5附近.

問題7 概率用來度量可能性的大小，那正面朝上的概率是不是為確定的常數?

問題8 每次實驗“正面朝上的頻率”是不是都是相同的值?

問題9 能不能用某次實驗的頻率作為概率?例如將皮爾遜拋擲2 400次實驗獲得的頻率0.500 5作為正面朝上的概率?為什么?

問題10 根據實驗數據的圖表分析，用哪個量做為“正面朝上的概率”比較適合呢?且對于一般隨機事件來說，可以用什么樣的方法來獲得隨機事件概率呢?

孫老師通過“學生的實驗結果”、“計算機模擬擲硬幣的實驗結果”、“歷史上一些擲硬幣的實驗結果”，以及統計表和統計圖等手段，使學生感受到隨著實驗次數的增加，正面朝上的頻率在0.5附近擺動;再由特殊事件轉到一般事件總結方法;最后進一步解釋了這個常數(頻率的穩定值)代表的意義.在學生經歷上述過程后，教師再引導學生得出事件的概率的定義，很好地突破了本節課的教學難點.在整個過程中，教學步驟層次清晰，實驗設計緊扣核心，問題解決演繹數學本源，同時體現了實驗、觀察、歸納和總結的思想方法.

1.3 情感滲透——宣揚數學文化

從課堂導入到隨機事件的定義、研究隨機事件概率的必要性，孫老師始終在“數學源于生活”、“數學是有用的”理念下進行教學設計與實施.在學生完成擲硬幣實驗后，孫老師又生動地介紹了歷史上“棣莫弗”、“蒲豐”、“費勒”、“皮爾遜”等數學家的擲硬幣實驗，這不僅是實驗數據分析的需要，又豐富了學生的數學史知識，體驗了數學家們追求真理的嚴謹與執著，更是一次情感、態度與價值觀得到熏陶與垂范的良機.在得出概率的統計定義后，孫老師又向學生介紹了“大數定律”及概率論先驅——瑞士數學家伯努利.在課堂小結環節中，孫老師引用張景中院士的一句話“概率論這門數學，就是研究大量偶然事件發生的宏觀數量規律的學問”作為總結.在課后作業中，設計研究性作業——查閱“大數定律”、了解概率發展史.這樣的設計既圍繞著數學本質，又開拓了學生的數學視野，宣揚了數學文化，使學生在數學學習中經受了人類文明的洗禮.

1.4 自然過渡——保持思維流暢

學生思維活躍、流暢，課堂銜接自然、無痕，可以說是本節課的另一亮點.問題“向空中拋一支粉筆，一定會掉下來，屬于哪類事件?一定會掉下來嗎?”自然地突出了“事件發生的條件S”這一教學關鍵點.問題“杜麗射擊一次，擊中靶心是屬于哪類事件?那為什么選派她參加奧運會呢?”無痕跡地將學生思維從隨機事件分類的判斷過渡到研究隨機事件發生的可能性大小上來.游戲“拋擲2枚質地均勻硬幣，定義一變量為X：若結果為2個正面，則X=2;若結果為1正1反，則X=1;若結果為2個反面，則X=0.現在同時拋擲2枚硬幣一次，你猜X的值為多少，理由是什么?”看似擲硬幣實驗的一個簡單“變式”，其實不然，它是課本實驗的自然延續，保持了學生思維的連續性與課堂的流暢性，更是概念“精致”過程中不可缺少的環節.本節課中看似簡單的一句話語、一個問題、一個游戲，無不反映出孫老師對“教什么”的深刻認識，以及對“怎么教”的有效把握，使學生的思維始終保持積極活躍，使課堂保持自然流暢.

2 課例思考

2.1 為什么要選擇“拋硬幣實驗”

本次活動中執教“隨機事件的概率”的6位教師，均以數學實驗為本節課的教學核心，而且包括孫老師在內的4位教師選擇了拋硬幣實驗，有1位教師重新設計了拋硬幣實驗，另有1位教師采用摸球實驗，這也充分體現了教師“尊重教材，用教材教”的教學理念，但留給筆者一個思考：教材為何選擇拋硬幣實驗?

2.2 有比拋硬幣更“好”的數學實驗嗎

從筆者與其他觀摩教師的交流與自身的教學實踐發現，在非公開課、評比課上學生對拋硬幣實驗均表示出興趣不濃，參與熱情不高，做實驗不按要求，甚至會出現玩耍、隨意亂報數據等情況.因此，能否設計一個更“好”的數學實驗替代拋硬幣實驗值得教師們去思考和嘗試，如：

實驗1 在畫有等距平行線的紙上，隨機地拋擲一枚牙簽，研究牙簽與平行線有交點的概率.

實驗2 在畫有“田”字格的紙上，豎直向上拋擲一枚硬幣，研究硬幣落在格內(即硬幣不與邊框相交)的概率.

實驗3 打一篇英文稿件要輸入很多字符(含26個英文字母、標點符號和空格等)，研究任意輸入文章中的一個字符，是空格字符(即研究任意輸入一篇英文稿件時鍵盤上空格鍵被敲擊)的概率.

實驗4 1個盒子里放著白棋與黑棋，一共30枚，要求一次只能摸出1枚棋子，記錄顏色后要放回盒子里，問：盒子中有多少枚白棋，多少枚黑棋?

筆者認為，實驗1、實驗2雖能在一起程度上引起學生的興趣，達到實驗目的，但研究問題的出現不太自然，學生始終在教師的意識驅動下進行實驗.實驗3、實驗4的設計源于學生的生活，研究問題的產生是自然的，問題的結果也是學生迫切想知道的，也就是說，實驗在學生自身求知欲的驅動下進行.學生先通過提出解決問題的猜想，并動手實踐，小組合作，全班討論，在此過程中，加深對隨機現象的認識，揭示描述概率的要素(頻率)，探究通過頻率的規律性來定義概率的過程與合理性，突破了教學難點.此外，學生對實驗1～3中的概率值為一個固定常數并不能有一個完整的認識，然而實驗4的設計更符合學生實際與教科書的設計意圖.

3 對今后教學的啟示

3.1 注重數學實驗的核心教學價值

數學實驗為自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式提供了可能，它的核心教學價值是使學生在實驗中形成直觀感知后總結出解決問題的方法和思想，培養學生觀察、猜想、分析與歸納的能力.在教學中，除了讓學生動手實踐之外，更應該通過優化問題的設計，激活學生的數學思維，引導學生觀察、分析實驗結果并進行歸納、總結，注重引導學生用語言表達自己對實驗過程和實驗結果的看法，體現數學實驗的核心教學價值.

3.2 體驗數學概念形成過程的感悟

本節課最大的亮點莫過于“概率的統計定義”的形成過程的教學.《普通高中數學課程標準》指出：“……由于數學高度抽象的特點，注意體現基本概念的來龍去脈.在教學中要引導學生經歷具體實例抽象數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質.”概念形成的教學通常圍繞著概念的核心展開，實際上是掌握同類事物的共同、關鍵屬性的過程，因此需要有一個從外到內、由表及里的過程.在學生經歷概念形成過程中，教師要讓學生體會數學思想方法，體驗數學文化，理解數學本質.

3.3 設計聚焦概念核心的例題、練習

這次活動的6節“隨機事件的概率”課中，有5位教師設計了類似如下例題作為概念鞏固與應用：

某批羽毛球產品質量檢查結果如表1所示.

表1 某批羽毛球產品質量檢查結果表

(1)計算各個產品質量檢查的頻率;

(2)從這批羽毛球中任意抽取一個，是優等品的概率約是多少?

該問題的解決，只需憑學生已有知識或者教師直接告知學生“隨著實驗次數的不斷增加，頻率會穩定在一個常數附近”這一結論性知識就能輕易解決.這和本節課的教學重心是不相吻合的，更起不到“精致”概念的作用.

而孫老師用游戲來代替例題，這樣的設計“實驗味”很濃，又能給學生帶來思維上的沖擊，學生再次經歷猜想、設計(實驗方案)、觀察、分析、歸納的過程，是概念中數學思想的重現，更有助于學生理解概念的本質.一個好的例題往往承載著概念的本質，蘊含著豐富的數學思想.在形成一個新的數學概念之后，設計聚焦概念核心的例題與練習是概念“精致”過程中不可替代的環節.