隨機事件的概率課堂實錄及反思

●孫軍波 (溫州中學 浙江溫州 325014)

有效課堂教學的探究正在如火如荼地開展，“如何讓學生在課堂中‘動’起來，如何讓課堂真正地有效”成為大家關注的話題.筆者有幸參加了2011年浙江省高中數學課堂教學評比，以下為筆者在備課、上課過程中的一些想法，敬請大家批評指正.

1 備課困惑

隨機事件的概率在初三的書本中就已出現，剛開始備課時感覺內容較單薄.但是幾次討論下來后，發現其實有幾個問題沒那么簡單.

(1)為什么會想到用頻率的穩定值來作為概率?

(2)為什么頻率會越來越“穩定”?

(3)為什么拋硬幣的頻率穩定在0.5，而不是穩定在 0.500 1，或者 0.498?

(4)如何體現多次重復試驗?

針對以上的困惑，通過多次討論后，筆者認為，這4個問題恰恰是這節課的重點和難點，搞清楚它們也就弄清頻率與概率的區別和聯系.在多次磨課后，筆者做了這樣的處理.

2 課堂實錄

師：奧運冠軍射擊命中靶心也是隨機事件，為什么還讓杜麗去參加奧運會，而不是別人?

(微笑地指向一位女生.)

師：如果讓這位女生去參加，有可能獲得金牌嗎?

(有，大家發出善意的笑聲!)

師：那為什么不派她去呢?

生1：她獲獎的可能性比較小，杜麗獲得金牌的可能性比較大.

師：哦.隨機事件發生的可能性有大小之分!初中就曾引進概率來度量隨機事件發生的可能性大小.那如何獲得隨機事件的概率?杜麗的射擊水平大家并不太了解，那我們就來研究熟悉的硬幣.

(教師展示足球畫面，并請出一位男生.)

師：假設你成為球隊隊長，你會選硬幣的哪一面?

生2：正面.選反面也可以，兩面出現的可能性一樣.

師：大家都是這么認為的嗎?

(眾人點頭.)

師：那能否想個辦法說明硬幣正面向上和反面向上的可能性是一樣的?

生3：拋拋看，看一下正面和反面出現的次數是否一樣?

師：好，就按同學說的，大家拋拋看.

(教師強調試驗的各項條件，試驗后匯總數據.)

師：為什么大家所得的試驗結果，即頻率并不完全一致?

(眾人思索，有學生說次數不夠多.)

師：次數如果夠多，大家的結果會完全一致嗎.

生4：在每一次試驗中，試驗結果就是不確定的.

(學生紛紛點頭.)

師：書上要求每個小組將試驗結果加起來，再全班加起來，這樣做的用意是什么?

生5：想增加次數，體現多次.

師：那這樣能不能嚴格代替多次重復試驗?

生5：不能，畢竟硬幣不一樣，也不是同一個人，條件不一樣.

至此大家明白，加起來只能是近似地看作增加試驗次數，并且次數也不多，因此考慮借助計算機模擬.筆者模擬幾組拋1 000次的情況，將其輸入Excel，并制成圖像，如圖1所示.

圖1

師：通過對比，我們能發現什么現象?

生6：隨著試驗次數的增加，頻率接近于0.5.

師：這位同學的意思是對的，但是“接近”這詞似乎不妥，拋10次時就有頻率是0.5.仔細觀察一下，在10次試驗中頻率的波動范圍是多大?小組加起來后，頻率波動范圍多大?1 000次試驗呢?該用哪個詞表述更為準確?

生7：“穩定”.隨著試驗次數的增加，頻率穩定在0.5附近.

肯定學生的回答后，接著教師用計算機模擬拋擲1 000次過程中，每拋一次后所對應的頻率變化，并展示了歷史上數學家的試驗，讓學生再次強有力地感受到“隨著試驗次數的增加，頻率的值越來越穩定在0.5的附近”.

師：今天，我們站在偉人的肩膀上一起來討論幾個問題，其實大家早知道，正面向上這個事件發生的可能性大小是確定的.概率用來度量可能性的大小，那硬幣正面向上的概率是不是某個確定的常數?

(學生們點頭.)

師：每次試驗正面向上的頻率是不是都是相同的值?

學生們齊聲回答：不是，頻率具有隨機性.

師：能否用某次試驗的頻率作為概率?例如，皮爾遜試驗獲得的頻率是0.500 5，能否將0.500 5作為皮爾遜試驗的概率呢?

生8：這次做出來是0.500 5，再做一次24 000次試驗的頻率不一定是0.500 5;我們再多拋幾次可能就是另外的數了，概率應當是確定的數.

師：用哪個量作硬幣正面向上的概率好呢?

(學生陷入沉思.)

生9：剛才通過試驗，發現拋硬幣正面向上和朝下的頻率是隨機的，但它會越來越穩定在0.5附近，可以考慮用頻率的穩定值來作為硬幣正面向上的概率.

(其他學生紛紛點頭.)

師：顯然不能用某次試驗的頻率作為概率.通過剛才的試驗，發現硬幣正面向上的頻率穩定在常數0.5附近，因此大家都覺得頻率的穩定值0.5作為硬幣正面向上的概率比較合適.0.5即50%的可能性是硬幣正面向上，也比較符合我們的客觀認知.

至此，師生共同實現重點、難點突破，對頻率和概率有了深刻的認識，學生已能自己總結頻率與概率的區別和聯系.

3 專家點評

本課例是筆者參加2011年浙江省優質課比賽的課堂實錄，在比賽時得到了省內兄弟學校的同仁和與會的高中數學特級教師、專家的點評.他們提出了許多寶貴的意見和建議，引發了筆者更多、更深的思考，整理如下：

3.1 學會提問

教師在課堂上的主要任務是什么?任務之一是提問題，提好問題.模棱兩可的問題往往會誤導學生.數學問題不能隨口而出，應該是畫龍點睛，一語中的，直指本質.當然并非所有的環節都要提問，為得到某個結論，刨根問底沒有必要.問題是自然而然產生的，上課要盡量展示學生原生態思維的發生過程，教師的問題一定要問得明白，要帶有目的性、指向性.備課不僅要備教材，還要備問題.如本課中，根據學生不同的回答，加以適當地追問，自然地引出“穩定”.

3.2 適當留白

在課堂教學中教師如果一味地講，不一定是好事.上課有時無聲勝有聲，讓學生講，讓學生悟，比教師講的效果可能更好.如為什么會選用頻率的穩定值作為概率，講出來很容易，但是把這個問題留給學生“選哪個量合適呢?”留下的空白，就是學生自己探索知識的空間.數學課堂應有語言的交流、思維的碰撞，并且應由師生共同構建、共同完成，一旦離開了這些，課堂就失去了生命力.

3.3 關注課本

數學教學要圍繞數學的本質，關注課本.所有的教學環節，所有情景設計的目的只有一個就是揭示數學本質.什么是隨機事件?為什么要研究隨機事件的概率?怎么樣去研究?我們講的不是實例本身，而是圍繞著數學本質，把這個問題講清楚.課本中以拋硬幣為載體，是否可以改變呢?如拋骰子、摸球，是否更有新意?這個問題不得不讓我們再次關注課本，為什么在初中學習概率后再學習?為什么要選用硬幣?為什么一定要試驗?這么多的為什么不得不引起我們更深層次的思考.數學教學是把復雜的問題變得簡單，把簡單的問題講清楚，讓模糊的東西變得清晰.

4 幾點反思

筆者前后磨了十幾節課，節節都有新的感觸，有2點特別深刻：

(1)為什么會想到用頻率的穩定值?為什么會想到這個“穩定”?為什么拋硬幣的概率是0.5?美國心理學家布魯納說過：探索是數學的生命線，知識不是灌輸給學生，而是他們自然建構而成的.從剛開始教師一個人在講臺上“自言自語”，慢慢地過渡到學生自己發現隨著試驗次數增加，頻率越來越穩定在0.5附近，到最后大家都能認識到用頻率的穩定值比較合適，期間經歷了十幾節課.由教師告訴學生和讓學生自己體驗知識的產生過程，對問題的認識是完全不一樣的，正所謂“自己動手，豐衣足食”!

(2)思維從問題開始，好的問題能使思維得到真正地提高，從開始的“對不對、好不好”，變成追問“為什么、如果我們這樣做將……、書上這樣設計的用意是什么、能嚴格代替嗎”，到最后繼續追問“用哪個好呢、怎么辦”——學生的學習興趣和思維深度反而被激發了出來，真正地“動”起來.本節課借助幾個關鍵性問題突破難點.

筆者剛開始在備這節課時，感覺內容簡單無聊，到最后覺得這節課挺有意思，甚至很想再上一次.但是平時的課能這么磨嗎?平時上課，不可能如此磨課，那該怎么辦?很多教師問：“能做到有效教學當然最好，但不教我具體方法又怎么做到這一點?”如果教師僅僅停留在這樣程度的思考，那么高目標很難實現.課堂必須“動”起來，如果教師有這樣強烈的愿望，就會千方百計地去尋找具體的方法.不去想，不認真思考，就什么都實現不了.有效教學我們可以做得更好!

［1］ 張景中，任宏碩.漫話數學［M］.北京：中國少年兒童出版社，2003.