先分后合 化難為易

●臧玲娜 (浦江中學 浙江浦江 322200)

(1)若a=1，試判斷并證明函數(shù)f(x)的單調性;

(2)當a∈(1，6)時，求函數(shù) f(x)的最大值的表達式M(a).

(2010年浙江省數(shù)學會考試題)分析 (1)略.

(2)由這一含有參數(shù)的絕對值函數(shù)，由于受到舊有的固定思考模式的限制，真正能夠把數(shù)形結合的思想方法用到這類題目當中的學生并不多，教師在分析問題時也沒有結合得很好.筆者認為，應該打破舊有的固定模式，用“先分后合”的“五步法”來解決高中數(shù)學中常見而學生又甚感困難的含參絕對值函數(shù)的作圖問題，以幫助學生加快作圖速度，培養(yǎng)作圖興趣，從而提高學生數(shù)形結合的能力.

當1≤a≤3時，函數(shù) f(x)在［1，a］上單調遞增(如圖1)，在(a，6］上也單調遞增(如圖 2)，從而f(x)在［1，6］上單調遞增(如圖3)，即將圖1中［1，a］的部分圖像和圖2中(a，6］的部分圖像合在一起便可，把這種作圖方法稱為“先分后合”的方法.由圖3可知，當1＜a≤3時，f(x)在［1，6］上的最大值為 f(6)=4.5.

圖1 圖2 圖3

用“先分后合”的方法也可以很方便地畫出當3＜a＜6時的圖像.

當3＜a＜6時，分段函數(shù)的2個表達式的各自圖像如圖4、圖5所示，將圖4中［1，a］的部分圖像和圖5中(a，6］的部分圖像合在一起便得到了整個絕對值函數(shù)的圖像.由圖6可知，當3＜a＜6時，f(x)在［1，6］最大值為

圖4 圖5 圖6

由此可以總結出“先分后合”的方法作圖的步驟：①分段寫表達式：寫出含參的絕對值函數(shù)的分段表達式;②分別作圖：在各自坐標系內分別畫出分段函數(shù)的幾個表達式的完整圖像;③確定分類：根據圖像特征(主要是單調性)和各段函數(shù)的范圍確定分類原則和方法;④截取圖像：根據分類的標準截取各分段區(qū)間內的圖像;⑤合成圖形：把截取的幾部分圖像合成到新坐標系中，利用圖像解題.

例2 設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

(2002年全國數(shù)學高考試題)

分析 (1)略.

(2)按照“先分后合五步法解題”.首先分段寫表達式

然后在各自坐標系內分別畫出分段函數(shù)的2個表達式的完整圖像.因為2段曲線的對稱軸分別為x=0.5 和 x=-0.5，所以要分成 a≤ -0.5，-0.5＜a＜0.5和 a≥0.5進行討論.

圖7 圖8 圖9

①當a≤-0.5時，圖7中(-∞，a］的部分圖像和圖8中(a，+∞)的部分圖像合在一起得到圖9，由圖 9 可知 f(x)最小值為 f(-0.5)=0.75-a.

②當 -0.5＜a＜0.5時，圖10中(-∞，a］的部分圖像和圖11中(a，+∞)的部分圖像合在一起得到圖12，由圖12可知最小值為f(a)=a2+1.

圖10 圖11 圖12

圖13 圖14 圖15

綜上所述，

例3 已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2|x-a|.

(1)當a=2時，求f(x)=x使成立的x的集合;

(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1，2］上的最小值.

(2005年江蘇省數(shù)學高考試題)

分析(1)略.

(2)由題意得

①當a≤1時，圖16中(-∞，a］的部分圖像和圖17中(a，+∞)的部分圖像合在一起得到圖18，由圖 18可知在［1，2］上 f(x)的最小值為f(x)=1-a.

圖16 圖17 圖18

②當 a∈(1，2］時，顯然有

③當a＞2時，由圖19～21可知

圖19 圖20 圖21

當然，在運用“先分后合”的方法作圖時要注意：分只是手段，合才是目的.分是為了合，如果能夠清楚地作出整個圖像就沒必要分.同時在分與合的作圖過程中，借助圖像可以更形象、直觀地理解為什么分類討論，如何分類討論.這是數(shù)形結合的新境界、新高度.