挖掘錯誤解法 提升解題能力

●黃紅邊 (浦江縣第三中學 浙江金華 322200)

在中學數學教學過程中，經常會遇到這樣的現象：一些學生在學習過程中的典型錯誤，雖經過教師的多次糾正，但在以后的做題中仍會重復出現.我們稱這種現象為“錯誤重復現象”［1］.面對這種現象，教師需好好反思.因為在課堂上，教師可能往往只注意自己思維的正確性、嚴謹性，而忽視了解題時容易出現的錯誤思維以及怎樣糾正錯誤思維，這正是學生解題的困惑所在.“錯誤”是學生學習中的一種必然經歷，是非常好的可再生利用的教學素材.如何挖掘“錯誤”的價值，對學生解題能力的提升至關重要.因此在數學課堂教學中，教師若能恰到好處地挖掘學生的錯誤解法，并引導學生發現錯誤的原因與改進的方法，則不僅能激發學生思維，加深學生對概念、定理的理解和方法的掌握，而且也會提高學生的學習興趣.

1 挖掘概念不清的錯誤，提高解題辨別能力

對概念的理解錯誤導致解題錯誤，這是學生解題經常出錯的原因.數學概念具有高度的抽象性和概括性，必須理解它的系統性和完整性，搞清其內涵和外延.概念模糊導致判斷錯誤，是思維不深刻的體現，也是解題出錯的重要原因之一.對容易混淆的地方，教師可有意讓學生犯“錯誤”，再引導學生去發現錯誤，并糾正錯誤，從而加深學生對概念的理解，這有利于提高解題辨別能力.

學生學完正弦函數的圖像和性質后，教師常會布置學生做這樣一道題：

就得到所求結果.

2 挖掘“以偏概全”的錯誤，提高解題嚴謹能力

在進行斜率教學時，為讓學生理解斜率的概念和正確運用斜率公式，可布置下面的題目：

例2 點 A(a，b+c)，B(b，c+a)，C(c，a+b)是否在同一條直線上?

此題帶有3個字母，教師往往都會強調有字母的問題一般都要討論，但學生往往忽略一些討論或者討論不夠全面，發生以偏概全的以下錯誤解法.

A，B，C在同一條直線上.

錯解2 (1)當a，b，c互不相等時，仿上易得kAB=kBC=-1，3個點在同一條直線上;

(2)當 a=b=c時，kAB，kBC都不存在，故點 A，B，C在垂直于軸的一條直線上;

(3)當 a=b，b≠c時，由于 kAB不存在，kBC=-1，故點A，B，C不在一條直線上;

(4)當 a≠b，b=c時，由于 kAB=-1，kBC不存在，故點A，B，C不在同一條直線上.

教師引導 (1)用斜率來判斷3個點是否共線時，是否要討論a，b，c的取值范圍?

(2)3個點A，B，C是否一定相異嗎?

分析原因 錯解1忽視了a，b，c的取值范圍，錯解2表面上看起來比較全面，實際上后3種情況都忽視了a，b，c中2個數或3個數相等時，點 A，B，C中至少有2個點重合的隱含條件.

通過分析，教師再引導學生得出正解.

3 挖掘“生搬硬套”的錯誤，提高解題靈活能力

學生在完全掌握某解題方法前經歷了一個反復模仿的過程，即模仿教師所教的方法或參考書上所給的方法.在這個模仿還沒內化為自己的方法前，大部分學生做類似題目時往往會不加區分，生搬硬套老師的方法或參考書的方法，導致解題錯誤.這種錯誤說明了學生解題不夠靈活，在學習之初這很正常.因此教師不能獨霸課堂，一講到底，而要啟發、引導學生，充分調動學生的積極性與主動性，給學生留足充分的時間空間，讓學生充分參與到對自己錯誤的分析中去.教師應多用一些“似是而非”的題組讓學生練習，抓住學生解題中出現的“生搬硬套”，引導其尋找錯因并及時糾正，找到正確解法，從而提高學生解題靈活能力.

在高三的“函數與方程”專題復習中，為克服學生對一元二次方程“十分理解”的麻痹思想，可布置下面的題目：

例3 已知f(x)=-sin2x+sinx+a，若f(x)=0有實數解，求a的取值范圍.

這就是解題的生搬硬套，實際上方程f(x)=0有實數解與方程-t2+t+a=0在［-1，1］上有實數解等價，而不與方程g(t)=0有實數解等價，因此不能簡單地用判別式法求解.

教師在教學時可把此題分解為層層推進的形式，先求方程-x2+x+a=0有實數解，求a的取值范圍;再求方程-x2+x+a=0在［-1，1］上有實數解，求a的取值范圍;最后給出結果.這樣的設計使學生清楚地理解如何使用判別式法，也不會生搬硬套了.

4 挖掘“想當然”的錯誤，提高解題批判能力

只憑主觀臆想進行推斷，認為答案大概是或應該是這樣，這就是“想當然”.由于數學題具有一定的靈活性、技巧性，再加上數學概念的抽象性，學生往往缺乏正確的數學思維意識，不能很好地抓住問題的內在聯系和本質屬性，只憑“想當然”很容易導致解題錯誤.批判性是指能獨立思考，不輕信別人的解法，能通過比較、分析，檢驗自己的結果，及時改正錯誤.在教學時，教師可多提供一些能讓學生“想當然”的題目，并引導學生進行錯解.錯誤發生后，引發學生的激烈討論，促使其對已完成的解答過程進行周密且有批判性地再思考，以求得新的深入認識.這樣就讓學生自己明白了產生錯誤的原因，也知道了改進的方法，還可避免以后不再“想當然”，從而提高解題批判能力.

教師在進行“直線與圓的位置關系”教學時，為讓學生“想當然”可布置下面的題目：

例4 已知P(x0，y0)是圓x2+y2=r2內異于圓心的一點，試判斷直線x0x+y0y=r2與圓的位置關系.

5 結束語

在數學教學中，學生的“錯誤”是寶貴的，課堂教學正是因為有了“錯誤”才變得真實、鮮活.面對錯誤，教師如果避而棄之，甚至斥責、挖苦學生，那就直接打擊了學生學習數學的興趣，更談不上解題能力的提升;如果只靠正面示范和反復強調、反復練習的方法，那也只是補一時之漏，達不到糾正錯誤，解題能力也不會有多少提升.相反地，教師應善待學生的“錯誤”，抓住契機，以“錯”為媒，充分肯定學生的積極參與，同時要恰到好處地指出學生的不足之處，讓學生有一個“自我否定”的過程.在這個過程中，教師應給學生充分的時間和空間，不要操之過急，而是順應學生的思維，充分挖掘其“錯誤”中的價值，適時給予鼓勵，并通過引導，讓學生從錯解中感受到成功，即明確了錯誤產生的原因和改進的方法，加深了對知識的理解和方法的掌握，同時也提升了自己的解題能力.

［1］ 王富英.數學復習中試卷評講課的探究［J］.中國數學教育，2009(5)：22-24.