利用幾何畫板有效呈現(xiàn)和解決問題

●陳寒極 (慈溪中學(xué) 浙江慈溪 315300)

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，盡可能使用科學(xué)型計算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺，加強數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵學(xué)生運用計算機、計算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn).

而幾何畫板可以幫助我們解決一些問題.在日常教學(xué)中，結(jié)合幾何畫板的教學(xué)功能，在一些具體的教學(xué)環(huán)境下，教師可以很好地實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).以下筆者根據(jù)自己的經(jīng)驗，談?wù)剮缀萎嫲逶跀?shù)學(xué)教學(xué)中的使用.

1 利用幾何畫板準(zhǔn)確作出圖像

例1 如圖1，已知拋物線C：x2=4y.

(1)過焦點F且斜率為1的直線與拋物線相交于點C，D，求CD的長度.

(2)直線y=2與拋物線C相交于點M，N，點A，B在拋物線上.

①若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為定值;

圖1

高中學(xué)習(xí)的所有函數(shù)，基本上都可以通過幾何畫板解決，因此諸如此類的函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等問題，通過圖形都可以較為迅速地得到解決.

2 利用幾何畫板有效呈現(xiàn)問題

當(dāng)解題沒有思路，當(dāng)手工畫圖遇到困難時，幾何畫板可以指引我們正確的前進(jìn)方向.

例2 如圖2，已知曲線C：y=x2與直線 l：xy+2=0 交于點 A(xA，yA)和 B(xB，yB)，且 xA＜ xB.記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設(shè)點P(s，t)是L上的任一點，且點P與點A，B均不重合.

(1)若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程;

(2009年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖2 圖3

例3 已知曲線C1：y=x3-3x，向右平移u個單位，向下平移v個單位，得到曲線C2，如果對任意u＞0，C2，C1至多只有一個交點，那么v的取值范圍為_______.

分析從代數(shù)角度看：方程

至多只有一個解，整理得

下面求y=-u3+12u(u＞0)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)可得：當(dāng)u=2時，ymax=16，注意到u＞0的任意性，得 v≥4.

從圖形角度看：利用幾何畫板作圖，設(shè)置參數(shù)并觀察圖形的變化，可得到答案.

步驟1 畫出C1：y=x3-3x的圖像，點擊“圖表”、“新建函數(shù)”、“繪制函數(shù)”.

步驟2 設(shè)置參數(shù) u，v，畫出 y=(x-u)3-3(x-u)-v的圖像.

步驟3 生成參數(shù)的動畫，選擇“編輯——操作類按鈕”，分別設(shè)定參數(shù)u，v的變化范圍，在動畫中可得v的取值.

步驟4 這類問題的一般解法：找出2個極值點，求出它們差的絕對值，即v的最小值.

3 利用幾何畫板解決視覺易錯題

圖4

新活力滿足新需求。改革開放之初，我國社會處于閱讀嚴(yán)重匱乏的書荒年代。1977年我國出版圖書僅12886種，印數(shù)33.08億冊，發(fā)行網(wǎng)點6.4萬個。到2017年，圖書品種已達(dá)45萬種，總印數(shù)92億冊，圖書發(fā)行網(wǎng)點16萬個。[5]40年間新聞出版產(chǎn)品市場極大豐富，人民群眾的基本閱讀需求得了到較好滿足。

|AP|-|BP|≈|A1P|-|BP|=-4，即可得值域.

本題也可以通過導(dǎo)數(shù)求解，但解題的篇幅較大、過程繁瑣，有興趣的讀者不妨一試.

例5 平面上的點P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=16(θ∈R)}，則滿足條件的點 P 在平面上所組成的圖形面積為 .

本題極易做出錯誤答案是36π，其正確答案是32π.下面通過幾何畫板尋找答案：如圖5，首先確定圓心位置，在圓x2+y2=4上取一個點，畫一條線段(長度為4)作為半徑，點擊“構(gòu)造”、“以點和半徑繪圓”，然后點擊“追蹤圓”，選取小圓上的點，選擇“編輯——操作類按鈕”，逆時針方向繞圓 x2+y2=4以中速運動，然后“確定”，會出現(xiàn)一個動作按鈕，點擊這個動作按鈕就可以得到點的集合和它相對應(yīng)的圖形，可以得到答案為36π-4π=32π.

為了更好地理解題意，可以作如下變式：

變式1 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=4(θ∈R)}，則滿足條件的點P在平面上所組成的圖形面積為_______.

圖5

變式2 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=25(θ∈R)}，則滿足條件的點 P在平面上所組成的圖形面積為_______.

變式3 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1(θ∈R)，則滿足條件的點P在平面上所組成的圖形面積為_______.

4 利用迭代解決微積分近似求和問題

迭代是幾何畫板中一個很有趣的功能，它相當(dāng)于程序設(shè)計的遞歸算法，通俗地講就是用自身的結(jié)構(gòu)來描述自身.迭代：按一定的迭代規(guī)則，從原象到初象的反復(fù)映射過程.原象：產(chǎn)生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”.初象：原象經(jīng)過一系列變換操作而得到的象，與原象是相對概念.

例6 一個正方形的迭代，得到一個無窮遞縮等比數(shù)列.

步驟 (1)畫點 A，B，利用旋轉(zhuǎn)變換得到正方形ABCD.

(2)在線段AB上取一點E，依次選擇點 A，B，E，點擊“變換——標(biāo)記比例”;雙擊點B，以B為中心，選中點C，選擇“變換——縮放命令”，在BC線段上按照標(biāo)記比例得到F.

(3)點擊 A，B，選擇“迭代”，A→E，B→F，選擇迭代次數(shù)(如8次)，得到迭代圖形(如圖6所示).

例7 人教版《數(shù)學(xué)》必修5第57頁例3及選修2-2曲邊梯形面積，采用“分割、近似代替、求和、取極限”的方法來理解定積分的概念.下面介紹采用幾何畫板進(jìn)行迭代操作，進(jìn)行動態(tài)理解(如圖7所示).

圖6

圖7

(1)執(zhí)行“圖表”——“繪制新函數(shù)”命令，作出y=x2的圖像.

(2)在x軸上任意作2個點A，B.

(3)執(zhí)行“圖表”——“新建參數(shù)”命令;打開“新建參數(shù)”對話框，輸入名稱“n”，值為“4.0”，單擊“確定”，畫板上出現(xiàn)參數(shù)式“n=4.00”.在參數(shù)式上右擊選“屬性”命令，打開“參數(shù)的屬性”對話框，在值的選取卡中設(shè)置其精確度為“單位”，單擊“確定”，參數(shù)式變成“n=4”.

(4)計算“n-1”，把其精確度設(shè)置為“單位”，得到“n-1=3”，計算“”，并設(shè)置其精確度為“十萬分之一”.

(7)依次選擇“n=4”、“A”和“n-1=3”，按住“shift”鍵，執(zhí)行“變換——迭代”，打開“迭代”對話框，原象“n”的初象是“n-1”，原象 A的初象是B'，單擊“迭代”.這樣就可得到一系列矩形，用來逼近曲邊梯形的面積.選中表達(dá)式“n=4”，按數(shù)字鍵盤上“+”鍵，就能生成更多的矩形了.

通過位置A，B'的變化，及其迭代次數(shù)的變化，可以較好地理解微積分的基本思想：分割—近似代替—求和—取極限，隨著分割越來越細(xì)，所有矩形面積之和無限接近所求面積.

通過幾何畫板，我們可以準(zhǔn)確地作出圖形，幫助教師更好地展現(xiàn)問題，也幫助學(xué)生更好地理解問題.通過動態(tài)的圖形變化，形象地尋找答案，從而在學(xué)生腦海中留下深刻的印象，同時也幫助教師和學(xué)生更好地理解題目的隱含背景，從而對該題進(jìn)行有效的推廣，提高解題效率，以及更好地認(rèn)識數(shù)學(xué).

［1］ 徐章韜，梅全雄.超級畫板的程序vs幾何畫板的迭代［J］.數(shù)學(xué)通訊：教師版，2011(10)：41-46.