從認知規律例談高中數學概念教學

●蔡勇剛 (溫嶺市澤國中學 浙江溫嶺 317523)

高中數學的概念是高度抽象的，因此要使學生能夠更好地掌握數學概念，教師應該遵循學生發展的認知規律，以學生已有知識為基礎，以啟發學生思維為核心，引導學生由已知發現未知，從而建立自己的認知體系.從學生獲得概念的過程和方法而言，筆者認為應遵循認知規律進行高中數學概念教學，可以從以下幾個方面進行突破：

1 提供合適背景，著力意義建構

數學概念的生成應通過學生的感性認識，繼而發展成理性認識，教學過程中應注重由學生的日常感悟經驗出發，通過學生熟知的具體實例抽象概括出概念的本質屬性.數學概念的引入時不得不面臨一個重要的問題：如何借助學生的已有生活背景，來幫助概念形成的實際背景?因此，教師要想方設法創設適合概念引入的問題情境，幫助學生完成由簡單感知到理性認識的過渡，并引導學生把概念背景材料與自己的認知結構建立起實質性聯系.

1.1 借助實際生活，引入數學新概念

從學生熟知的實際問題出發實施概念教學，使學生在數學學習中更好地接受概念探究的過程，讓學生對概念的學習有一個更加感性的認識，從而激發學生學習的欲望，積極參與到教學活動中來.筆者在隨機事件的概率教學中設計了如下的問題：

某商家廣告：不花1分錢就可中大獎而且每次都可中獎.在摸獎箱內有20個小球，其中10個10分，10個5分.摸獎者不必掏錢，只需隨意摸出10個小球，然后按照小球上的分數之和，分數相加為100分者獎筆記本電腦一臺，50分者獎手機一部.總分為95，90，85，70，65，55 等獎電池、口香糖等小獎品.但是如果摸獎者摸中小球的積分為75或者80，那須掏30元錢買一瓶洗發水，原價40元!心動不如行動，該出手就出手，電腦、手機跟你走!

思考：這樣的摸獎活動，你會參加嗎?

學生接觸到這樣的學習場景，表現出了極大的學習興趣，紛紛開始討論，課堂氣氛非常活躍.課堂上出現了2種不同的結論，學生都有自己的想法，但是提不出具體的理由，教師適時給出課題，引入課堂教學.

1.2 創設生動的問題情景，引入數學新概念

在進行“隨機事件及其概率”教學時，筆者進行過多次實踐，如何才能讓學生在一個生動的問題情景中開始隨機事件的學習?后來采用了毛主席《沁園春·雪》中的詩句，借助詩句的意境讓學生判斷“六月飛雪”是否會發生.學生對事件進行判斷后，借助多媒體進行事件展示(新聞播報)：近20年來，由于氣候異常，出現在6月份并被氣象部門記載的“六月飛雪”有3次.由此，教師適時地引入課題“隨機事件及其概率”.數學教學借助詩句的意境，可以集中學生的注意力，同時也讓學生在數學學習的過程中接受心靈的熏陶.而新聞播報的形式，讓學生感受到生活中的數學問題，將課本教材中的問題進行適當地改造，結合知識性和趣味性，激發起學生學習新概念的積極性，讓數學課堂成為學生探究的場所.

2 抓住知識本質，同化精致概念

數學概念的形成過程比單純掌握概念本身重要，僅僅讓學生簡單應用、機械記憶數學概念是遠遠不夠的.通過了解概念的本質，讓學生形成具體到一般的概念應用過程是概念教學中至關重要的一步.對于數學概念和定理，它們的產生過程往往蘊涵著許多數學思想方法和解題思路，利用合理的概念探究學習，同化精致概念.因此，在數學概念的教學過程中，應留給學生一定的時間和空間，引導學生動手去探索、發現，讓學生經歷一個從具體到一般、由表到里的過程，并在這個過程中，使學生的直接性經驗獲得抽象和提升，創立合理的概念體系.以下是筆者“線面垂直的判定定理”的課例，頗有回味，與讀者分享.

在日常生活中，對線面垂直的感性認識是很多的，如旗桿與地面、屋梁與墻面等，如何來判定呢?筆者拿出課前準備好的一張三角形紙片，過頂點A翻折該紙片得到折痕AD，將翻折后的紙片放置在水平桌面上(如圖1)，并請學生觀察：折痕AD與桌面垂直嗎?

圖1

如何翻折才能使AD與桌面垂直?在動手操作過程中，學生容易發現，當且僅當折痕是BC邊上的高時，翻折之后的折痕不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直(如圖2).這是為什么呢?教學自然而然地進入到對該實際問題的研究中：因為AD⊥BC，翻折后這一垂直關系是一個不變的關系，即在圖2中有AD⊥CD且AD⊥BD.似乎應有以下的結論：AD與平面α的2條相交直線垂直，則AD⊥α，這正是線面垂直的判定定理.如果折痕AD與桌面上的一條直線垂直，是否足以保證AD⊥α?讓學生自己動手試一試.盡管AD垂直于一邊，但紙張并不能穩穩地豎立在桌面上，讓學生在操作中體驗，一個抽象的數學定理直觀地展現在面前.

圖2

3 精選例題練習，加速概念內化

學生對新知識的獲得和掌握，需要及時地應用鞏固，一般在講完概念定義之后要及時進行課內訓練，如精心設計能鞏固概念的填空、判斷、選擇等難易結合的例題，提高學生對新概念的認識和理解，加速學生的概念內化.通常選擇一些容易讓學生出現概念“盲點”的題目，讓學生辨認，加深對所學概念的內涵及外延的認識.例如在“隨機事件的概率”的教學中，筆者結合課本習題設計了以下問題：

例1 一個袋子中裝有大小相同、質地均勻的3個紅球和6個白球，每次從袋中摸出一個球.

(1)一共摸出5個球，求事件Ai：“剛好有i個紅球”與事件B：“至少有1個紅球”的概率;

(2)一共摸出5個球，求紅球個數ζ的分布列，并回答摸出紅球個數的最大可能性是多少?

在課堂教學中，教師引入了相關概念后，應成為學生的引導者，看看學生在面臨問題時，如何展現概念的應用、反思和內化.

學生甲：第(1)小題先求P(B)再求P(Ai)，因為P(B)“至少1個紅球”等價于求對立事件“沒有紅球”的概率.雖然算法不同，但結果相同：

而求P(A1)時，結果卻出現了不同，不知哪個對哪個錯：

學生乙：第(2)小題，當 ζ取值為 0，1，2，3，4，5時，相應的概率即為第(1)小題中對應的P(Ai)值.因此，計算P(A1)時，用排列的方法計算是錯誤的.Ai的含義指的是一共5個球中紅球的個數，在“每次取1個”的過程中，所摸的5個球與“次序無關”，這就是錯誤的根源.

數學是思維的體操，數學學習既能鍛煉學生的形象思維能力，又能鍛煉學生的邏輯思維能力.在優化概念的教學中，例題習題的選擇能夠優化學生的思維品質，在解決問題的過程中加速概念的內化.

4 概念變式鞏固，強化概念順應

通過相關練習的安排，學生對相關概念有了初步的認識，但是這樣的認識是不全面的，甚至是有偏差的，這就需要教師及時引導學生對新概念進行再認知，明確概念的內涵與外延.在教師教學的過程中，應從學生的認知規律進行教學，恰當地安排變式練習，使學生從不同的角度去認識概念的本質，通過條件的變化讓學生在認知過程中進行“錯”與“對”的反復推敲，通過錯題來糾正學生的思維偏差.筆者在例1中設計以下問題，對學生進行新知識的強化：

(3)若有放回的摸球，共有5次摸球的機會，并規定：若有3次摸到紅球則游戲停止.記游戲停止時，已摸到紅球的次數為ζ，求ζ的概率分布列和數學期望.

學生丙：第(3)小題中 ζ取值為 0，1，2，3，其中事件“ζ=0”表示5次摸球中，0次摸到紅球，5次摸到白球，概率為可是按此方法算下來，分布列的“概率和≠1”，但不知錯在哪里，為什么會錯?

通過前面的概念教學，學生掌握了初步的概率計算，在計算變量分布列的取值時犯了遺漏的錯誤.

5 構建知識體系，優化認知結構

在數學概念教學中，教師要留給學生足夠的時間和空間，引導學生通過合理的自我評價與反思，找到問題所在，并在這個過程中構建起知識體系，優化認知結構，實現超越自我.從學習情感的角度出發，讓學生對課堂概念學習進行評價和反思.

對于例1的第(2)小題，學生可以排除“0紅5白、1紅4白、2紅3白、3紅2白”等抽取情況，其中概率的計算正是隨機事件概率模型中的“超幾何分布”模型.通過教師的分析以及學生的練習，學生已學會了用“超幾何分布”模型解決此類隨機事件的概率問題，即學生已構建了相關的知識體系.接著，可以通過“學生自我評價表”(見表1)對掌握程度進行自我評價，進而優化知識結構.

表1 學生自我評價：“超幾何分布”模型學習

概念的形成與應用是教學過程中必不可少的環節，重視概念教學，挖掘數學概念的內涵與外延，充分利用課堂教學中概念性質的形成規律是后續概念、性質生成之源.教師要引導學生進行一系列的有效反思，常常會起到事半而功倍的效果.反思是學生對于概念的再認識和再創造的過程，鼓勵學生用已學的概念去發現和解決實際生活中的問題，更好地鞏固對概念的認知.

概念學習不可能一蹴而就，它是一個循環反復的過程，需要教師從多維度、在多場合進行思考和創造.因此，數學課堂中的概念教學，應更加尊重學生的認知規律，在合適的教學點教給學生合適的概念知識，只有這樣，概念教學才是自然的、順應規律的.

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