高等數學中的數學建模思想淺談

劉志宏 周錦程

（黔南民族師范學院數學系 貴州 都勻 558000）

0 引言

隨著社會的飛速發展，教育也得到了空前的發展，提高人才培養質量和學科專業教學探討與實踐是當前國內外各類不同層次的高等院校教育都在關注的熱點問題，數學教育是培養應用型人才，提高國民素質的重要載體。數學教育在培養高素質人才中具有其獨特的，不可替代的作用，數學課程的教學模式應成為應用型人才培養模式中重要組成部分。數學建模是用數學的工具，是溝通數學理論與實際問題的中介和橋梁。我國的教育的發展決定著對人才培養的多元化，社會的發展需要培養更多的應用型人才，應用型人才的培養就需要培養他們有深厚的數學素養。高等數學教育更應該注重培養學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力。高等數學教學要注重掌握核心數學思想，培養數學的理解和應用能力，強調知識的應用的現代教育理念。把數學建模的思想與方法融入到高等數學基礎理論課已形成共識，收到數學界的廣泛重視，特別是數學建模的教學和競賽取得了良好的效果，積極地推動了學生的創新能力。數學建模的教學過程其實就是個把數學建模的思想融入到高等數學課堂教學的具體實施過程。

1 數學和數學建模的重要性

長期以來，在人們認識世界和改造世界的過程中，對數學的重要性及其作用逐漸形成了自己的認識和看法，而且這種認識和看法隨著時代的進步也在不斷發展。概括起來，大概有以下幾點：

1）數學是一種國際通用的科學語言；

2）數學是生活、學習、科研的一個有力的工具；

3）數學是各門科學的基礎；

4）數學是一門技術；

5）數學是一種文化。

數學建模作為數學知識與實際問題的橋梁，它的重要性就不言而喻了，數學本身就是一門抽象的學科，學習數學知識的目的就是為了更好的解決實際問題，數學建模就是應用數學知識解決實際問題的工具。數學知識固然很重要，如果空有抽象的知識，卻沒有掌握好數學建模的思想和方法，空有深厚的數學知識也難有所作為，更不算是新世紀的優秀人才。

2 為什么要把數學建模的思想和方法融入高等數學課堂教學

數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學轉化為科學技術轉化的主要途徑，數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界重視。應用數學建模的思想解決實際問題通常有三個要點:合理假設、數學模型和解釋驗證。數學模型是數學知識的載體，即通過把理論的抽象知識結構化，形象化，實用化而形成的數學模型，有利于學習者對知識的理解，從而實現理論知識的系統化。數學建模思想是數學建模的靈魂，是貫穿理論知識的主線，在高等數學的一些概念，性質，定理，公理和推論的教學中滲透數學建模的是思想，就能夠分清各知識的脈絡，以及他們的聯系。數學建模思想可以將知識向廣度和深度延伸，高等數學中有很多具體問題和定理還值得深入挖掘其中的知識點，與其他學科相結合方面的問題也有待進一步探討。數學建模思想是圍繞一個現實需要解決的問題展開，有利于知識的針對性，激發學生學習抽象知識的興趣。所以，把數學建模的思想融入到高等數學課堂教學中是非常有必要的。

數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程，它是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和思維方式，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。應用數學去解決各類實際問題時，首先要建立數學模型，這是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。這些其實就是數學建模的思想。

當前的國際形勢下，國際競爭其實就是科學技術的競爭，只有擁有了強大的科技力量，才能保證在激烈的國際競爭中立于不敗之地。先進的科學技術，掌握在優秀的人才手里，優秀的人才必須要有很高的數學素養，能夠用數學知識去解決所遇到的實際問題。這里的數學素養就是數學建模的思想。所以，優秀人才的培養必須得注重數學建模思想的教學。數學的教學大致可以分為基礎數學教學、初等數學教學和高等數學教學，在基礎數學和初等數學教學階段，由于學生的理解能力和所接觸的實際問題有限，數學建模的思想對于提高學生學習數學的興趣具有一定的局限性，所以，在高等數學課堂教學中，學生心智較為成熟，所接觸的新鮮的事物較多，把數學建模的思想融入到數學課堂教學中，教給學生運用數學的知識去解決所遇到的實際問題，很容易就提高了學生學習數學的興趣。常言道：興趣是入門的老師。當學生擁有了學習數學的興趣，便很容易的在課堂教學的過程中慢慢的掌握數學建模的方法以及數學建模的思想。

綜上所述：把數學建模的思想和方法融入到高等數學的課堂教學是當今高等數學教學的主流，是培養優秀人才的必經之路，是提高國際競爭力的強有力的方法。在當今形勢下，把數學建模的思想融入到高等數學的課堂教學中已經是培養21世紀人才的新思路。

3 怎樣在高等數學教學中融入數學建模的思想和方法

3.1 明確數學課程的目標與定位

數學不應僅停留在數學知識的傳授，還應加強學生用數學解決實際問題的能力的培養。數學教學既要為后繼課程提供語言表達，邏輯推理，科學計算等基本要求，更要注重思維方式和思辨能力，以及學生利用邏輯關系研究和領會抽象事物、認識和利用數形關系的能力的培養。通過數學課程的學習，是學生具有：科學的思維方式和思維習慣；從數據的定性和定量分析中尋求與發現數學規律的能力，從分析實際對象，建立數學模型到進行計算機數據處理的研究習慣；從實際出發不斷學習數學自學用數學解決實際問題的意識與能力。

3.2 優化教學內容，增加現代數學知識

長期以來，我們的課程設置和教學內容都具有強烈的理科特點：重基礎理論、輕實踐應用；重傳統的經典數學內容、輕離散的數學計算。然而，數學建模所用到的主要的數學方法和數學知識恰好正是被我們長期所忽略的那些內容。因此，我們調整課程體系和教學內容，增加一些應用型、實踐類教學內容：如“數學實驗”、“數學軟件介紹及應用”、“計算方法”等。在傳統的教學過程中，注重數學理論與應用相結合，增加實際應用方面的內容和案例。從而使教學內容更貼近生活貼近現代科技發展。

對具體教學內容的安排上注重學以致用，既考慮對學生思維能力培養方面的作用，又考慮培養學生運用數學知識分析、解決實際問題能力的培養。把數學建模的思想融入到數學教學課程中去，增加數學在其他領域應用的實例。在教學中，根據專業的不同，選出本專業典型數學概念的應用案例，然后按照數學建模過程規律修改加工之后作為課上的引例或者數學知識的實際應用例題。這樣使學生既能親切的感受到數學在專業中的廣泛應用，也能培養學生用數學解決問題的能力。

通過對教學內容的優化，使數學教學在培養學生素質和能力方面具有：通過分析、計算、邏輯推理求解數學問題的能力；用數學語言和方法去抽象概括客觀事物的內在規律構造出解決問題的數學模型的能力。

3.3 注重數學思想的滲透，加強數學方法的介紹

大量的實踐表明：人們一旦掌握了數學思想方法，在今后的生活和生產實踐中將會終身受益。在介紹數學概念、原理、公式時，注重數學思想的滲透及教學方法的介紹。這樣在傳授數學知識的同時，使學生學會數學的思想方法，領會數學的精神實質，在通過實例介紹數學家是如何處理實際問題，將新問題轉化為以前解決過的問題后引出定義時，突出轉化的思想，知道數學的來龍去脈，在數學文化的熏陶中茁壯成長。

3.4 改革教學方法和教學手段，激發學生的學習積極性

我認為要讓學生從知識的被動接受者轉變為主動參與者和積極探索者，在發揮教師主導作用的同時，充分發揮學生的主體作用，要為學生的積極參與創造條件，引導學生去思考、探索。去發現，要鼓勵學生大膽的提出問題，改變過去教師講學生聽的教學方法。在數學教學中貫徹“問題解決”的思想以問題為教學起點，把要傳授給學生的知識、結論、方法通過創設問題情境，提出具有一定趣味性、啟發性和挑戰性的問題，使學生通過觀察、分析、綜合、類比、猜想、嘗試和發現的探索過程，學會提出問題、分析問題和解決問題，通過問題的不斷提出和不斷解決，使學生掌握所學的知識，理解所學的知識與其他相關知識的內在聯系，最終實現學生既學到知識又培養了學生應用的意識和能力的教學目的。

在教學中把傳統的黑板、粉筆加教案的教學方法與多媒體的教學結合使用，將傳統的數學教學中不能直觀表示的抽象概念、定理通過圖表、圖畫、動畫等生動地表示出來，從而加深學生的印象，使學生易于理解和掌握，既激發學生學習的積極性，又解決了課堂信息量不大的問題，形成數學教學的良性循環。學習數學軟件的使用，可以使學生邊學邊用，著重培養學生的動手能力和利用數學理論解決實際問題的能力，把所學的知識直接用于解決實際問題。這樣的教學方法對于培養學生的綜合能力具有積極的推動作用。

大量的實踐表明：在高等數學的課程教學中融入數學建模的思想和方法，注重培養學生解決實際問題的能力，是教學教育改革的方向。“學數學”是為了“用數學”，教師應努力創造機會，把數學建模的思想和方法滲透到高等數學的教學環節中去，提高學生的數學應用意識和創新能力。

4 具體實施方法及實例

4.1 將抽象思維形象化

高等數學的中心內容不是直接為建立數學模型服務的，然而，數學模型的形象思維可以使相應的知識具有應用價值，增強對知識的理解和記憶。在高等數學，尤其是線性代數部分，幾何的形象性被廣泛應用，從幾何的角度去理解抽象的高等數學的概念、定理、性質等。從而取得比較好的教學結果。下面用行列式與幾何知識的聯系來解釋高等數學中抽象思維的形象化。如對于任意一個三階行列式：

我們看一下三維立體空間，以（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3）為坐標的三個向量，那么以這三個向量為棱的平行六面體的體積為：

因此可以看出，實數域上的三階矩陣行列式其實就是以 a,b,c這三個向量為棱的平行六面體的體積，對于抽象的行列式的問題，這里結合幾何知識，就把三階行列式的問題轉化為了形象的求六面體的體積的問題。對于一個問題，從不同的角度去理解就會有不同的解釋，這正體現了數學建模的本質。這樣做不僅拓寬了知識面，也加深了對知識的理解，避免了對知識的僵硬的認識。幫助了學生從多方面的去認識所遇到的問題。

4.2 將理論知識實用化

高等數學的內容都是抽象的理論，繁瑣的計算往往難以讓人體會到高等數學的現實意義，也就很難激發學生學習的興趣，考慮到這些因素，在高等數學的教學過程中盡可能的研究一些典型的應用實例比如行列式概念的引入，我們可以借助于一個著名的數學模型來提出，這樣可以使得難以理解的抽象知識被學生接受。

貨物交換的經濟模型：在一個原始部落，根據分工，人們分別從事3種勞動：農田耕種（簡單的記為F）、農具與生產工具的生產（簡單的記為M）、織物的編織（簡單的記為C），人們之間的貿易是實物交易。農夫把每年收獲的一般留給自己并拿出1/4給工匠和織布者；工匠們平均分配他們制作的工具給每個組；織布者留下1/4衣物給自己，并拿出1/4給工匠、1/2給農夫。因此，三組人之間的交易情況可以表示為表1。

表1 三種人物之間交易情況表

隨著社會的發展，實物交易形式變得十分的不方便，于是部落決定用貨幣進行交易。假設沒有資本和負債，那么如何給每類產品定價，使其公正地體現舊有的實物交易系統呢？

令x1為農作物的價值，x2為農具和工具的價值，那么由上表的第一行，農夫們生產的價值應該等于他們交換到的產品（包括留給自己的）的價值，即有：x1=（1/2）x1+（1/3）x2+（1/2）x3；同理可得：工匠的生產與交換價值方程為織布者的生產與交換價值的方程為整理得方程組：

因此，解決該問題可以歸結為一個三元一次方程組的求解問題。用這個問題引出行列式，可以使學生了解行列式與線性方程組的密切聯系。從現實的、易于理解的部落中的抽象問題入手，讓學生先了解問題的數學應用背景，提起學生學習的興趣，這樣就大大的提高學生學習的積極性。

4.3 將難以解答的實際問題轉化為相應的數學模型，再求解

向量空間是學習高等數學遇到的第一個代數結構，向量空理論充分展現了高等數學“公理化方法和結構化方法”的課程點，應把向量空間的教學置于整個課程教學的重要地位。下面嘗試突出數學建模思想方法來探討向量空間的教學。向量空間是學習高等數學遇到的第一個代數結構，向量空間理論充分展現了高等數學“公理化方法和結構化方法”的課程特點，應把向量空間的教學置于整個課程教學的重要地位。下面嘗試以突出數學建模思想方法來探討向量空間的教學。

向量空間理論在信息編碼中的應用：

①問題的提出：用向量空間的理論，對通信系統中要發送信息建立編碼規則。在信息傳輸過程中，經常受到很多因素的干擾，信息接受方可能收到出錯的信息，希望給出一種辦法，使得收方有能力檢查是否有錯，并且對錯誤的信息能進行修正(考慮只能糾錯一位的情形)。

②文體分析與模型建立通信系統的最簡單模型可表示成。

圖1 通訊系統模型

通常的數字通信問題，對發送的信息可用數字0，1所表示的字符串來表示，因而對于數字0，1構成的序列，考慮建立合適的代數系統討論。下面考慮在代數系統——二元域Z2上建立上述問題的數學模型。

模型一：用二元域 Z2上的 15元向量（a1，a2，…，a15）來表示信息，以H作為系數作Z2上的齊次線性方程組：HX=0

其中 H=[0000…111 0001…111 0110…011 1010…101]T，實際上H是由十進制數1，2，……，15轉換成四位的二進制數后，依次作為它的列而得到的，對應信息編碼理論，稱方程組（1）的解集合是碼集合，其中每一個碼向量稱為一個碼字。

編碼規則：發送和收到的信息編碼只是一個碼字，且這樣的編碼具有糾出一個錯誤的能力。

模型分析：（檢錯與糾錯）設發送信息為x，即x滿足HxT=0，若x在傳輸中受到干擾，有一位碼元發生了改變，假設收到的信息y錯在第 i位，則 y=x+ei，其中 ei=（0，…，0，1，0，…，0），1 為第 i個分量，由HyT＝Hxt+=H的第i列，這說明若收到的信息y是H的第i列，表明y錯在第i位，若HyT=0，表明收到的信息y是正確的。

進一步討論：把H的第j列換成第i列，記為H1，得到方程組H1X=0，設 x 為 H1X=0 的解，y錯在第 j位，即 y=x+ej，H1y=H1ej=H1的第 j列=H1的第i列，這時不能由H1來判定y是錯在第i列還是第j列，而H的任何兩列都不相同，這就說明HX=0的系數矩陣H沒有兩列相同，則這種編碼方法能糾出一個錯誤。

糾錯方法：設發送的信息為x，則收到的信息為y=x+e，計算a=HyT，若a=0，即y=x為所發送的信息，若a≠0，則a必是H的某列（設為第i列），取 e=ei，因此 x=y-ei，即得到所發的信息 x。

模型二：為提高傳送的可靠性，對發送的信息x用二元域Z2上的n元向量表示的基礎上，再增加分量（校驗位）。為討論方便，取n=4，設x=（a1，a2，a3，a4），令 c1＝a1＋a2＋a3，c2＝a1＋a2＋a4，c3＝a1＋a3＋a4，即可建立Z2上的向量空間到的映射 σ：→；（a1，a2，a3，a4）（a1，a2，a3，a4，c1，c2，c3），稱 σ 為編碼規則，Im σ 稱為碼集合，碼集合中的向量稱為碼字，Z72中的向量稱為字，因此可得：x=（a1，a2，a3，a4，c1，c2，c3）∈Im σ， 即 x 為碼字， 當且僅當：當且僅當xT屬于其次線性方程組HX=0的解空間W，其中為校驗矩陣。

為提高信息傳輸的可靠性，對信道的要求須滿足：出錯少的可能性要大，即要求模型中y與x對應的分量的不同的個數要少，這就等價于y-x的非零分量的個數少，也就是說e的重量（非零分量的個數）小的可能性大。

對于上述模型，它是在二元域的概念的基礎上建立的，對于域的概念，學生大多都能接受，數域上的行列式理論、多項式理論、線性方程組理論、矩陣運算及理論、線性空間和線性變化理論在域的概念上都成立，把域的概念掌握好。

5 在高等數學教學中融入數學建模思想的思考和建議

從近幾年的數學建模教學實踐來看，數學建模思想已經把各學科的知識緊密的聯系起來。在高等數學教學中，模型教學案例的選擇應遵循兩個原則，一是，“少而精”，數學建模思想的側重點應該是方法的訓練，而不是只是得灌輸，應選擇簡單、直觀又能反映課本知識內容且在知識的應用上有深度、有特色的典型例子。二是，“貼近原則”，數學建模中的案例應該與高等數學內容有緊密聯系，它應盡可能地貼近實際問題，盡管在高等數學中融入數學建模思想有很多作用，但也有以模型作為知識切入點不易把握的局限性，因此，在教學過程中也不應過分追求模型的介入來處理教材的內容，反之會有喧賓奪主的嫌疑。如果在教學中引用過于復雜的模型例子來分析課本內容知識，就會導致問題復雜化，課時安排也不允許，收不到好的教學效果。

因此，要把兩者較好的結合起來，本人建議：

1）平時注意建立問題題庫。

2）不斷創新，改進教學模式。高等數學中的基本概念如多項式、矩陣行列式、線性變換、行列式等都不是孤立存在的，而是有機地聯系在一起的。涉及到其中某個章節的概念，通常可以利用它們的互相關系轉化為另一概念來表述的形式并加以理解。例如，行列式與線性方程組的聯系。

3）引導學生收集高等數學和數學建模方面的資料。

4）滲透數學建模工具軟件的應用。例如在講到行列式和矩陣的運算時可以使用MATLAB等數學工具軟件演示求解過程，使學生有針對性的感受知識的即時應用，學會用數學的思想和方法思考和解決問題。領悟數學的應用價值。

隨著大學數學的改革的推進，數學建模思想逐漸滲透到各個學科，特別是使大學數學的主干課程練習更加緊密。研究實踐表明，在高等數學中融入數學建模的思想有利于高等數學知識結構的整合，對教師的教學理念和學生的學習方式的轉變都起到至關重要的作用，對提高教學質量以及學生的數學素質方面都起到重要的作用。

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