深埋爆炸波傳播規律及邊界條件轉換分析

李 杰 胡 嘯 范偉東

(1.解放軍理工大學工程兵工程學院，江蘇 南京 210007; 2.空軍后勤部機場營房部，北京 100720;3.沈陽軍區空軍后勤部機場營房處，遼寧 沈陽 110015)

0 引言

隨著較淺部能源的大量開采，越來越多的礦井正在向深部轉移，另外隨著鉆地武器的發展，各國的重要地下戰略工程也在逐漸向深部轉移。這些都要求對深部巖石中爆炸引起的應力、變形及其他運動參數給出比較準確的評估。

由于巖石中爆炸的瞬時性和復雜性使其研究十分困難，大多數研究表明[1－3]，炸藥在地下爆炸時，根據周圍介質破壞的特點，由里及外依次可以分為爆炸腔、破碎區、徑向裂縫區和彈性區。根據爆炸的等效荷載理論，把淺埋爆炸的整個非彈性破壞區看成震動源，利用當前較為成熟的彈性波理論，可以大大地降低難度，對于爆炸遠區的研究具有重要的意義。

爆炸等效荷載的表示形式通常有兩種[4]:第一種由空腔表面的徑向粒子速度來描述;第二種由空腔表面徑向正應力來描述。在巖石介質的地下爆炸試驗研究過程中，因為準確應力場數據的測量較為困難，大部分的測量數據為速度場數據，而在進行有限元等數值分析時，將球腔內速度加載轉換為壓力加載可降低研究難度，因而建立一個相對準確的應力與速度之間的轉換關系是十分必要的。經典的彈性波理論中，應力場和速度場存在簡單的線性轉換關系σ=ρCv[5]。但這種關系的成立只是建立在一維平面波的假設上，將其應用于球面波，無疑會產生很大的誤差。

本文在爆炸的等效荷載理論以及彈性波理論的基礎上，詳細探討了深埋爆炸波的傳播規律，并通過計算建立了通用的應力與速度轉換關系。

1 震源簡化模型

深埋地下爆炸由于炸藥埋置深度很大，可以不考慮地表面對地下自由場中波傳播的影響，把問題看成無限介質中的球對稱問題進行研究。根據爆炸等效荷載理論可以將整個非彈性區看成爆炸的震動源，簡化后的爆炸地震波傳播如圖1所示。

震源為以O為球心，R0為半徑的球形空腔。邊界上的等效荷載可以用空腔表面的徑向粒子速度vR=vR(t)或者空腔表面徑向正應力σR=σR(t)來描述。設彈性半空間介質的材料特性用密度ρ、泊松比v、拉梅常數λ和μ表示，縱波速度用Cp，橫波速度用Cs表示。

在t=0時刻球形空腔表面產生彈性壓縮波，震源周圍介質質點的一維徑向運動線性微分方程，可用球坐標r，θ，φ表示為[6]:

2 邊界條件轉換

在t=0初始時刻球形彈性壓縮波就開始激活周圍的介質，這就引起下列邊界條件。

2.1 速度邊界條件

對于第一種邊界等效荷載，設其具體如下式:

對式(4)求時間t的導數，可以得到速度的表達式:

當r=R0時，有ζ=t，再將式(5)代入邊界條件式(3)有:

初始條件為φ″(0)=0，φ′(0)=0時，勢函數可以用卷積積分表示成:

2.2 應力邊界條件

對于第二類擾動形式，類似于式(3)，在半徑r=R0的球面上給出了正應力型邊界條件:

在這種情況下，利用式(4)代入式(1)中 σr，σθ，σφ的表達式可以得到:

然后可以得到:

2.3 邊界條件的相互轉換

因為不同邊界條件對應的是相同的運動場，所以令式(7)和式(11)的右邊相等，有:

等式兩邊分別對其進行Laplace變換有:

把式(14)代入式(13)，化簡后有:

運用留數定理進行計算有[7]:

再設:

根據卷積定理有:

由式(18)和式(19)即可完成應力邊界條件到速度邊界條件的轉換。

同理也可以得到由速度邊界條件到應力邊界條件的轉換:

設:

再設:

根據卷積定理有:

由式(22)和式(23)即可完成應力邊界條件到速度邊界條件的轉換。

2.4 計算實例

以正弦指數衰減速度邊界條件和雙指數應力邊界條件為例進行計算，計算參數如表1所示。

表1 計算參數

1)正弦指數衰減速度邊界條件。

正弦指數衰減速度邊界條件的表達式為[8]:

其中，υ0為速度量綱常數;α為衰減系數;ω為振動頻率。取υ0=10 m/s，α =1 600，ω =5 000，則邊界條件圖形如圖2 所示。

圖1 深埋爆炸震源簡化模型

圖2 正弦指數衰減速度邊界條件

把式(24)代入式(23)可以得到其所對應的應力邊界條件如圖3所示。

由上面的計算可以看出，對應于正弦指數衰減的速度邊界條件，其應力的波動周期與速度波動周期相等。隨著時間的發展，應力趨于一極限值，考慮到爆炸近區的特點，可以理解為殘余應力[9]。與平面波陣面上的關系式σ=ρCpυ比較，轉換后邊界最大應力要比σ=ρCpυ計算得出的大30%左右。

2)雙指數應力邊界條件。取應力邊界條件為雙指數函數和形式，雙指數函數[8]的數學表達式如下:

其中，k為峰值修正系數;p0為脈沖峰值;a和b的值影響脈沖峰值、前沿、半寬等參數。

取a=1 279，b=12 792，k=1.435時可以得到一個升壓時間為0.000 2 s、峰值壓力為p0=100 MPa的脈沖荷載。其圖形如圖4所示。

圖3 應力邊界條件

圖4 雙指數壓力荷載

將式(25)代入式(19)得到雙指數應力邊界條件對應的速度邊界條件波形如圖5所示。

圖5 速度邊界條件

由圖5可以看出，速度條件的升壓時間小于應力條件，與平面波陣面上的關系式σ=ρCpυ比較，轉換后邊界最大速度要小20%左右。

由此可以得出，與平面波中應力和速度的線性關系相比較，相同應力邊界條件下球面波上的質點的速度要小，分析式(19)，式(23)可以看出影響這種差異大小的主要因素是波的傳播距離和介質中波的傳播速度。

3 深埋爆炸波的傳播規律

式(9)用來描述應力隨距離的變化，這種變化比流體中的應力變化要復雜，公式中的第二項以及第三項用來表述介質的抗剪能力(μ≠0)。如果μ=0，即Cs=0，可得到對應于流體的解:

式(9)的第一項描述在r→∞時應力的漸進行為，如果引進非平穩波的波長概念，即λ=CpT(T為脈沖的特征時間)，那么式(9)的第一項以很好的精度描述在r?λ時應力隨時間的變化。

如果g(t)=σ0H(t)，H(t)為階躍函數，則式(11)最終表達式為:

從式(27)中可以看到，在固定位置存在著阻尼振蕩，顯示了球面波與平面波的截然不同，球面波的情形場變量服從至少是r－1量級的幾何衰減。

此時，對于r?λ條件，速度的近似表達式為:

分析這最后的關系式表明:介質的空間(徑向)運動具有使振動衰減的特點。振幅的衰減參數為振動的有條件周期等于，它與土壤的性質和震源的半徑有關。

可見，剪應力τmax(r/R0)在震源r=R0和彈性波陣r=R0+Cpt的區域內，是坐標r/R0的單調遞減函數。在震源表面(r=R0)上達到最大值，而在波陣面前達到最小值。波陣上各點處的振幅，由于彈性壓縮波的傳播有一個突降值[6]，因此剪切力的振幅也將有一個突變。

圖7計算給出了觀察點r/R0=1.1和1.5處對應于式(17)相對環向應力隨時間 t/t0變化的歷程。在介質運動的初始階段，環向應力是拉應力(＞0)，然后拉應力變成壓應力(＜0)。拉應力可能引起(在許多情況下都會引起)徑向裂紋破壞。當t無限增加時，趨近于靜力解。

圖6 最大剪應力沿半徑的分布

圖7 環向正應力的時程曲線

如果在球形震源r=r0表面上作用的是靜荷載σ0，可以得到無窮大彈性介質中邊值問題的精確解析解:

可見靜力問題中環向應力σθ(r)總是拉應力，徑向應力σr總是壓應力(σr＜0)。靜應力的幅值隨著遠離震源而與一樣衰減，位移場則與一樣衰減，應力與靜態作用力源周圍介質的參數無關。

4 結語

以彈性空腔膨脹為研究對象，利用速度和應力兩種邊界條件下運動場勢函數相等的原理，建立了球面波運動場中速度場與應力場的轉換關系。結果表明:

1)不同于平面波中應力和速度的線性關系，球面波中應力與速度轉換關系要復雜的多，相同應力條件下，球面波上的質點的速度要小，影響這種差異大小的主要因素是波的傳播距離和介質中波的傳播速度。2)通過對階躍壓力荷載作用下應力場的衰減規律研究發現，球面波的情形場變量隨著遠離震源服從至少是γ－1量級的幾何衰減。3)介質的徑向運動具有使振動衰減的特點。振幅的衰減參數和振動的有條件周期與土壤的性質和震源的半徑有關。4)剪應力在震源γ=R0和彈性波陣r=R0+Cpt的區域內是坐標r/R0的單調遞減函數，在震源表面上達到最大值。波陣上各點處的振幅，由于彈性壓縮波的傳播有一個突降值，因此剪切力的振幅也將有一個突變。5)在介質運動的初始階段，環向應力是拉應力，然后拉應力變成壓應力。拉應力可能引起(在許多情況下都會引起)徑向裂紋破壞。當t無限增加時，環向應力趨近于靜力解。6)靜力問題中環向應力總是拉應力，徑向應力總是壓應力。靜應力的幅值隨著遠離震源而與一樣衰減，位移場則與一樣衰減，應力與靜態作用力源周圍介質的參數無關。

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