長江重慶主城段河流長度分維數與洪水的關系

吳立春，倪志輝

(1.重慶第二師范學院，重慶400067;2.重慶交通大學西南水運工程科學研究所，重慶400016)

近年來，一些研究已經初步證明了水系分形性質的存在。陳彥光，等［1］探討了水系分維計算方法的差異;姜永清，等［2］分析了黃土高原水系horton級比數和分形特征;朱曉華，等［3-5］應用網格法計算并探討了中國水系的盒維數及其關系，中國不同區域水系分維與山系、斷層系分維的關系;李后強，等［6］曾導出水系分形維數與水系級別的關系;王秀春，等［7］運用GIS模擬計算徑河流域的分維特征并分析其生態意義;馬宗偉，等［8］認為河流水系形態特征可以通過河流的分形特征來反映;倪志輝，等［9］基于分形理論對水流摻混長度進行了計算分析。

目前針對長江重慶主城段長度的分形特征的研究還很少，并且還處于理論探索分析階段。而重慶位于長江上游，地理位置優越，戰略地位重要，水系發達，港口密布，是長江上游最大的港口城市。因此，長江重慶段長度分維數的測量可充分發揮長江“黃金水道”作用，將更好的發揮重慶的水運優勢，具有重要的戰略和現實意義。筆者主要研究長江重慶主城段河流長度的分形維數及其與洪水的關系。

1 研究方法

1.1 分形模型的建立

按照 Mandelbrot［10］的定義，分形是指其組成部分以某種方式與整體相似的形體。分形分布滿足式(1)關系式:

式中:s為歐氏長度;y為度量尺碼;D為分形維數;A為一個比例常數。

對式(1)兩端取自然對數，得:

再把lns和lny分別繪于xy軸的坐標上，用最小二乘法來擬合該直線，它的斜率取 -D。這樣可以求出它的分維值D。

一般情況下D為常數，這種分形可稱為常維分形。若D與特征線度呈函數關系，則稱之為變維分形。事實上，自然界中嚴格滿足常維分形形式的現象是不存在的，大量的復雜現象需用變維分形來描述。

筆者采用由累計和序列獲得的分維模型，稱為“累計和分形”［11-12］。該方法是:對于任意函數關系u=f(y)都可以轉換成為常維分形u=Ay-D的形式，也就是將數據進行一系列地變換，使變換后的數據能用常維分形來處理，即通過構造1階、2階、3階…累計和序列分別建立各階累計和的分段變維分形模型，最后選擇效果最好的變換并確定其相應的常維分形參數。

該方法的具體步驟如下:

1)確定原始數據對(Ni，ri)，其中按r從小到大的順序排列，i=1，2，…，n。這些數據對在雙對數坐標上是一個個的數據點，利用式(3)計算相鄰兩點在雙對數坐標中所連接線段的斜率的相反數，即分段變維的分維數Di，i+1，這些分維數一般變化較大，沒有規律。

2)構造各階累計和。以(N1，N2，N3，…)等為基本序列，按下面的規則構造各階累計和:

式中:S1，S2，S3，…為指 1，2，3，…，n 累計和序列;N=1，2，3，…，n。

3)建立各階累計和的分段變維分形模型。以一階累計和為例，利用式(4)計算數據點(S1i，ri)和(S1i+1，ri+1)，及在雙對數坐標中的斜率的相反數D1i，i+1，即一階累計和的分段變維分形的分維數。根據n個數據對，可以得到n-1條線段的分段變維分形的分維數，稱之為分維數序列。用DNi，i+1表示N階累計和的分段變維分形的分維數序列，N=1，2，…，n;i=1，2，…，n-1。

4)確定效果較好的變換并確定相應的常維分形參數。

1.2 分形維數的計算

筆者采用實測的2007年長江重慶段地形圖為資料(圖1)。

按照式(2)進行分析計算，得雙對數坐標(圖2)，可以看出，數據點明顯不是直線，說明長江重慶段河流長度呈變維分形關系。因此，必須對其進行變換處理，建立變維分形模型。故筆者采用累計和變維分形方法計算，左岸計算過程見表1。

圖2 長江重慶主城段原始分段分維序列Fig.2 The original sub-dimensional fractal sequence of Chongqing city of Yangtze Rive

表1 長江重慶主城段左岸分段變維維數計算結果Table 1 Result of sub-dimensional fractal dimension of Chongqing city of Yangtze River left bank

右岸計算過程同左岸，相關計算結果見表2及圖3。

表2 實驗數據直線相關方程及2階累計和分維值計算結果Table 2 The second-order accumulated fractal dimension of the measured

圖3 長江重慶段2階累計和分段分維序列Fig.3 Second-order accumulated variable-dimensional fractal sequence of Chongqing city of Yangtze River

從圖3可明顯看出，通過2階累計和分維變換后，數據點與直線吻合得很好，說明長江重慶段河流分維呈2階累計和分形關系。經計算，左岸分維值 D2=-1.049 5，相關系數 R=0.999 7，右岸分維值 D2=-1.087 5，相關系數 R=0.999 4。由此可得出，長江重慶主城段河流長度具有二階分維特性。

2 長江重慶段河流分形維數與洪水的關系

河流長度的分維反映了河道彎曲程度的大小［13］，河流長度的分形維數越大，河流越蜿蜒曲折;反之，河流越平直。對一條河流來講，不同河段的彎曲程度是不同的，河流長度的分維值也是不同的;就洪水來說，不同河段發生洪水的可能性、洪水的強度是不同的。因此，計算整個河段長度的分維值意義不大，應該把河流分段，計算出不同河段的分維值，找出各河段分維值與洪水間的關聯。

從定性上分析，河流各河段洪水發生的可能性和各河段長度的分維有一定的關聯性。河段越曲折，河段長度的分維值越大，河流的泄洪能力越差，洪水發生的可能性和洪水的強度越大。為了從定量上分析河段長度分維與洪水的關系，筆者將以長江重慶主城段河道為例，通過定量計算河流長度分維與統計實測水位數據之間的關系，來探討河流長度分維與洪水的關系。

2.1 長江重慶段河流各河段長度分形維數的計算

筆者將長江重慶段分為6個河段:長江上游—李家沱長江大橋、李家沱長江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長江大橋、石板坡長江大橋—大佛寺長江大橋及大佛寺長江大橋—長江下游，并按左、右兩岸分開計算得到各河段長度的分形維數及相關系數(表3)。

從表3可以看出，長江重慶段各河段長度的分形維數，其相關系數均在98%以上，這說明長江重慶段河流長度具有很好的分維特征，得到的分形維數能夠很好的反映長江重慶段河道的特征。表3中，李家沱長江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長江大橋3個河段左岸的分形維數依次增大，分別為:-1.388 7，-1.030 6，-0.989 0;上述 3 個右岸河段長度的分形維數也依次增大，分別為:-1.451 0，-0.995 6，-0.984 2。分形維數的大小反應了河流彎曲程度大小，分形維數越大，河流越彎曲，所以可以得到李家沱長江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長江大橋3個河段河道的彎曲程度越來越大。

表3 長江分段左右岸實驗計算結果Table 3 The Result of Yangtze River left＆right bank

2.2 長江重慶段河流長度的分形維數與洪水關系

根據資料計算出，李家沱長江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長江大橋3個河段左右兩岸的高水位2階累計和分維值(表3)。從表中可以得到在同一觀測站水位越高，分維值越大。參考重慶海關水文站的水位流量關系(表4)，可以得出，在同一觀測站流量越大，水位越高。因此，在同一觀測站流量越大，水位越高，分維值越大，反過來講，分維值越大，水位越高，并且流量也越大，洪水就表現得越明顯。這正印證了河流各河段洪水發生的可能性和各河段長度的分維值之間的關系:河段越曲折，河段的分維值越大，河流的泄洪能力越差，洪水發生的可能性和洪水的強度越大。

表5 重慶海關水位站水位-流量關系線(黃海高程)Table 5 The water level-discharge line in Chongqing Haiguan station(Yellow Sea Elevation)

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3 結論

筆者以長江重慶主城段實測資料為例，從分形標度的角度出發去探討河道的分形特征。研究結果表明:

1)長江重慶主河段存在變維分形現象，具有2階分維特性，左岸分維值為-1.049 5，右岸分維值為 -1.087 5。

2)分維數可以反映河道的彎曲程度，李家沱長江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長江大橋3個河段的分維數依次增大，河道的彎曲程度也依次增大。

3)在同一河段分維值越大水位越高，洪水就越表現明顯。因此，河道的分形維數可以作為洪水預測的一個定量指標，河道的分形維數越大，洪水發生的可能性越大。但是，由于影響洪水產生的因素很多，如水位、含沙量等，所以河道的分形維數只能作為預測洪水的指標之一，應該找出更多的預測指標來更快、更準的預測洪水的發生。

［1］陳彥光，劉繼生.水系結構的分形與分維——Horton水系定律的模型重建及其參數分析［J］.地球科學進展，2001，16(2):178-183.Chen Yanguang，Liu Jisheng.Fractals and fractal dimensions of structure of river systems:Models reconstruction and parameters interpretation of Horton＇s laws of network composition［J］.Advances in Earth Sciences，2001，16(2):178-183.

［2］姜永清，邵明安，李占斌，等.黃土高原水系的Horton級比數和分形特征［J］.山地學報，2002，20(2):206-211 .Jiang Yongqing，Shao Mingan，Li Zhanbin，et al.Hortons order ratios of water course network of drainage basin and their fractal characters in the loess plateau［J］.Journal of Mountain Research，2002，20(2):206-211.

［3］朱曉華，蔡運龍.中國水系的盒維數及其關系［J］.水科學進展，2003，14(6):731-736.Zhu Xiaohua，Cai Yunlong.The box dimensions of the relationship of the Chinese River［J］.Advances in Water Science，2003，14(6):731-736.

［4］朱曉華，蔡運龍.中國大陸山系、斷層系與水系的空間維數及其關系探討［J］.山地學報.2003，21(3):311-317.Zhu Xiaohua，Cai Yunlong.Spatial dimensions of the relationship between Chinese mainland mountain ranges，fault systems and water systems and their comparative study［J］.Journal of Mountain Research，2003，21(3):311-317.

［5］Zhu Xiaohua.Coastline fractal dimension methods and their comparative study［J］.Journal of Oceanography of Huanghai＆ Bohai Seas，2002，20(2):31-36.

［6］李后強，程光鋪.分形與分維［M］.成都:四川教育出版社，1990:1-10.

［7］王秀春，吳姍，畢曉麗，等.徑河流域水系分維特征及其生態意義［J］.北京師范大學學報:自然科學版，2004，40(3):364-368.Wang Xiuchun，Wu Shan，Bi Xiaoli，et al.Characteristics of fractal dimension on diameter river basin water system and ecological significance［J］.Journal of Beijing Normal University:Natural Science，2004，40(3):364-368.

［8］馬宗偉，許有鵬，李嘉峻.河流形態的分維及與洪水關系的探討［J］.水科學進展，2005，16(4):531-534.Ma Zongwei，Xu Youpeng，Li Jiajun.The fractal dimension of river morphology and flood discussion［J］.Advances in Water Science，2005，16(4):531-534.

［9］倪志輝，吳立春，舒小紅.基于分形理論的挾沙水流混摻長度分析［J］.人民黃河，2009，31(9):32-33.Ni Zhihui，Wu Lichun，Shu Xiaohong.The mixed length of the sediment-laden flow based on fractal theory［J］.Yellow River，2009，31(9):32-33.

［10］Mandelbrot B B.How long is the coast of Britain?Statisticalselfsimilarity and fractional dimension［J］.Science，1967，156(3775):636-638.

［11］倪志輝.長江黃河垂線流速分布的分形研究［J］.人民長江，2008，39(18):17-19.Ni Zhihui.Fractal study on the vertical distribution in Yangtze River and Yellow River［J］.Yangtze River，2008，39(18):17-19.

［12］倪志輝，張緒進，胥潤生.長江黃河含沙量垂線分布的分形研究［J］.人民長江，2011，42(19):73-76.Ni Zhihui，Zhang Xujin，Xu Runsheng.Fractal study on the vertical concentration distribution of sediment flow in Yangtze River and Yellow River［J］.Yangtze River，2011，42(19):73-76.

［13］馮平，馮焱.河流形態特征的分維計算方法［J］.地理學報，1997，52(4):324-330.Feng Ping，Feng Yan.Fractal dimension calculation method of morphological.characteristics in rivers.Journal of Geography，1997，52(4):324-330.