一種新的變步長LMS 自適應濾波算法及分析

楊曉波

（石家莊職業技術學院電子工程系 河北 石家莊 050081）

0 引言

圖1 自適應濾波的原理框圖

自適應濾波是現代信號處理技術的重要研究領域，自適應濾波技術廣泛應用于自適應控制、系統辨識等領域。 圖1 為自適應濾波系統辨識的一般原理框圖， 衡量自適應濾波算法的主要標準是：初期收斂速度、穩態誤差和對時變系統的跟蹤能力。 Widrow 等人[1]提出的最小均方誤差（LMS）算法因其計算簡單、易于實現因而獲得了廣泛應用，但此算法的缺點是收斂速度和穩態誤差性能不能同時得到滿足，即選擇較大的步長收斂快但穩態誤差大，選擇較小的步長穩態誤差小但是需要較長的收斂時間，對此文獻[2、3、4]進行了詳細的研究。 由于LMS 算法收斂速度和穩態誤差的性能由步長來控制[5]，為此人們提出了許多的基于改變步長機制的LMS 算法。文獻[6]提出了一種改變步長自適應濾波算法，其步長因子隨迭代次數增加而減小，文獻[7]提出使步長因子正比于誤差信號的大小，文獻[8]提出步長和輸入與誤差之間互相關值成正比，文獻[9] 提出了一種步長為Sigmoid 函數的變步長算法 （即SVSLMS 算法）。此算法的優點是在初始階段或未知系統參數發生變化時步長比較大， 從而有較快的收斂速度； 在算法收斂后，不管主輸入干擾v（n）有多大，都保持很小的調整步長從而獲得很小的穩態失調噪聲。 此算法的缺點是當穩態誤差e（n）在接近零處變化時，步長變化太大，使得SVSLMS 算法在自適應穩態階段仍有較大的步長變化。 為此，文獻[10]又在Sigmoid 函數的基礎上提出了一種新的步長調整原則，即步長因子μ（n）和誤差e（n）之間的新的非線性函數，μ（n）和e（n）的函數關系如下：

其中，參數α＞0 控制函數的形狀，參數β＞0 控制函數的取值范圍，μ（n）和e（n）的函數曲線如圖2，圖3 所示，該函數比Sigmoid 函數簡單，并且在e（n）接近零處具有緩慢變化的特性，在一定程度上克服了Sigmoid 函數的不足。 文獻[10]提出的自適應濾波的算法如下：

文獻[10]中對算法進行了仿真，取得了較好的效果，并驗證優于SVLMS 算法。 但是，其算法中控制步長函數形狀的參數α 是不變的，圖2、圖3 是文獻[10]的步長因子隨誤差信號e（n）變化的曲線。

我們從μ（n）和e（n）的函數關系曲線圖2、圖3 可以看出， μ（n）隨e（n）變化的總體規律是當選擇較大的α 時算法具有較大的初期收斂步長，但是當e（n）接近零時，步長同樣比較大；對于比較小的α 當e（n）接近零時初期收斂步長小，但同時初期收斂步長也較小。 基于以上分析，本文認為在算法的收斂初期可以選擇較大的α，取較大的步長，達到較快收斂的目的，而當e（n）接近零時，也就是收斂的后期可以根據一個e（n）的門限Ve 切換到較小的α，以得到較小的穩態誤差，這樣步長更為理想。

1 一種新的LMS 算法

由此，根據文獻[10]提出的步長因子和誤差信號的非線性函數，本文提出的一種新的變步長自適應濾波算法如下：

其中Ve 為切換步長因子的時e（n）的門限值，是一個較小的正值，α1和α2分別是切換前后控制函數形狀的參數，α2＜α1。

圖2 μ（n）和e（n）的關系曲線（α 不同，β 相同）

圖3 μ（n）和e（n）的關系曲線（α 相同，β 不同）

LMS 自適應濾波的收斂條件是：0＜μ＜1/λmax，λmax是輸入信號的自相關矩陣的最大特征值，由前面的討論可知參數β（β>0）控制函數的取值范圍，所以在β＜λmax的條件下，算法一定收斂。 同時由圖3 可知，較大的β 值對應較大的步長，所以在滿足β＜λmax條件下，使β 的值越大越好，因為算法中有步長的切換，所以不用擔心穩態誤差過大的問題。

圖2 是固定β 的情況下變化α 的步長曲線，α 越大對于相同誤差信號下步長越大，仿真結果還表明當α>1000 后，步長曲線已沒有明顯變化， 所以初始收斂時可以令α1=1000，因為算法中有步長的切換， 所以也不用擔心α1太大會造成穩態誤差過大的問題。

表1 Ve 和α2 對穩態誤差和收斂速度的影響

分析圖2 可知， 門限Ve 和α2的選擇對收斂速度和穩態誤差是一個調諧的過程， 下表列出了Ve 和α2的取值對穩態誤差和收斂速度的影響。

由表1 可知通過仿真可以根據收斂速度和穩態誤差的要求調諧設定Ve 和α2的取值。 當需要小的穩態誤差時可以選擇較大的Ve 和較小α2， 當需要較快的收斂速度時選擇較小的Ve 和較大α2， 當然也可以通過Ve 和α2的調諧同時獲得相對較好的收斂速度和穩態誤差。

2 計算機仿真結果及分析

為同時獲得較快的收斂速度和較小的穩態誤差下面通過計算機仿真來確定Ve 和α2， 并檢驗我們給出的變步長LMS 自適應算法的收斂性以及Ve 和α2的選擇對算法收斂性能的影響的分析，為了對比，本文選用文獻[10]的仿真條件：

1）自適應濾波器的階數L=2；

2）未知系統為FIR 濾波器，其系數為W= [0.8，0.5]T，在第500 個采樣點時刻系統發生時變，系數變為W= [0.4，0.2]T；

3）參考輸入信號x（n）是均值為零，方差為1 的高斯白噪聲；

4）v（n）是與x（n）不相關的高斯白噪聲，其均值為零，方差為0.04.分別作200 次仿真，采樣點數為1000，然后求其平均值，得到學習曲線。

圖4 是在α=1000，β=0.2 情況下的收斂曲線（在該實驗條件下，文獻[10]已經驗證β=0.2 為最優），算法在均方誤差為0.05 左右收斂，所以Ve 可以在0.05 左右取值，由于e（n）有一定的隨機性， 為了不影響收斂速度可以取的稍小于0.05，由圖5 的仿真結果可證明取0.03 是合適的。

圖4 α=1000，β=0.2 收斂曲線

圖5 β=0.2，α1=1000，α2=20 情況下Ve 取不同值的仿真曲線

圖6 是β=0.2，α1=1000，Ve=0.03 情況下不同α2的仿真曲線，可以看出α2=100 時，算法收斂快，但是穩態誤差要大；α2=20 時，算法收斂慢，但是穩態誤差要小；中間的曲線為α2=60時情況， 算法收斂速度和穩態誤差是前兩種情況的折衷，對此， 如果想讓收斂速度和穩態誤差比較合適可以取為60 左右。 由此可以確定本文算法的參數α1=1000，α2=60，β＝0.2，Ve=0.03；

圖6 β=0.2，α1=1000，Ve=0.03 情況下不同α2 的收斂曲線

圖7 兩組不同Ve、α2 的收斂曲線

圖5 在α2相同情況下，Ve 越小收斂越快，但是穩態誤差越大； 由圖6 可知Ve 相同情況下，α2越小收斂越慢，但是穩態誤差越小。

圖7 是Ve 和α2分別取兩組不同值的情況的收斂曲線，Ve=0.03，α2=100 切換門限小，α2大其收斂速度快但是穩態誤差較大，Ve=0.5，α2=20 切換門限大，α2小，其收斂速度慢但是其穩態誤差小，這和第2 節對Ve 和α2的分析是一致的，證明第2 節的分析是正確的。

3 本文算法和其他文獻算法的比較

仍利用上面的實驗條件，在此實驗條件下文獻[10]算法的α＝300，β=0.2（最優情況），對于本文算法α1=1000，α2=60，β=0.2，Ve=0.03；

圖8 文獻[10]算法和本文算法比較

圖8 為本文算法和文獻[10]算法的比較，可以看出本文算法收斂更快，并且具有更好的穩態。 并且在第500 個采樣點時刻未知系統發生變化時，本文算法能比文獻[10]算法更快地回到穩態，這說明本文算法具有更好的魯棒性[11]。

4 結論

［1］WIDROW B. Adaptive Signal Processing [M] USA： Prentice2Hall Inc.， 1985.

［2］WIDROW B ，MCCOOL J M ， LARMOR E M G ，JO HN2SON C R. Stationary and non stationary learning characteristics of t he LMS adaptive filter [J ] . Proc IEEE， 1976， 64 （8）：l947－l95l.

［3］GEL FAND S B， WEI Y KROGMEI ER J V. The stability of variable step size LMS al－gorithms [J]. IEEE Trans on Signal Processing，l999， 47（l2）：3277－3288.

［4］ABOULNASRT M YAS K. A robust variable step size lms type algorithm： Analysis and simulations [J].IEEE Trans on Signal Processing，1997， 45（3）：631－639.

［5］GUO L， LJUNG L， WANG G G J.Necessary and sufficient conditions for stability of LMS [J]. IEEE Trans on Automatic Control，1997，42（6）：761－770.

［6］Gitlin R. D， Weinstein S. D. On the design of gradient algorithms for digitally implement－ed adaptive filters [J]. IEEE Trans on CT,1973（2）:125－136.

［7］R H Kwong， E w Johnston. A variable step size LMS algorithm [J].IEEE Trans Signal processing， 1992，40（7）:1633－1642.

［8］T J Shan Kailaith.Adaptive algorithm with an automatic gain control feature[J].IEEE Trans.Acoust，Signal processing，1991，35（1）：122－127.

［9］覃景繁，歐陽景正.一種新的變步長自適應濾波算法[J].數據采集與處理，1997，12 （3）：171－194.

［10］高鷹，謝勝利.一種變步長LMS 自適應濾波算法及分析[J].電子學報，2001，8.

［11］楊學賢，張群英，侯紫峰.用于ADSL 中的變步長LMS 算法[J].通信學報，2002，23（3）：78－83.