高教數(shù)學(xué)解題方法研究

李奇芳

（山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031）

對(duì)于不同專業(yè)的高校學(xué)生來講，他們所要求的高教數(shù)學(xué)知識(shí)是不一樣的，但并不意味著高教數(shù)學(xué)可以取消，高教數(shù)學(xué)看似是一門學(xué)術(shù)性的學(xué)科，但它卻滲透著電子領(lǐng)域、經(jīng)管領(lǐng)域等這些實(shí)用性非常強(qiáng)的學(xué)科。正是由于高教數(shù)學(xué)如此重要，學(xué)生必須學(xué)會(huì)高教數(shù)學(xué)解題，而如何去解高教數(shù)學(xué)題，則是重中之重。只有掌握了方法，才有能力從容面對(duì)各種挑戰(zhàn)，才能使培養(yǎng)出來的學(xué)生成為合格的工程技術(shù)人才。

一、對(duì)比解題法在高教數(shù)學(xué)中體現(xiàn)

對(duì)比解題法簡(jiǎn)單來說，就是通過各個(gè)對(duì)象間的比較，在過程中找出他們的異同點(diǎn)。對(duì)比法在高教數(shù)學(xué)中是一種常用的解題方法，可以進(jìn)行對(duì)比的種類也是多種多樣的。例如幾個(gè)公式之間的對(duì)比、數(shù)與形的對(duì)比、解題方法的對(duì)比等。在高教數(shù)學(xué)解題過程中，如果能正確地運(yùn)用對(duì)比法，則可以引入新的課題，突出教學(xué)重點(diǎn)，加強(qiáng)高教數(shù)學(xué)的基本技能和基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練，最終達(dá)到學(xué)習(xí)新知識(shí)，發(fā)展智能的作用。

高教數(shù)學(xué)中存在著許多互逆的概念、關(guān)系、運(yùn)算、命題、公式等。在這一類關(guān)系的教學(xué)中“逆向問題”基本上都是難點(diǎn)，學(xué)生不容易掌握。如果，教學(xué)中恰當(dāng)充分地使用“逆向”與“正向”的對(duì)比，使問題成為互逆間的聯(lián)想，進(jìn)而把握正逆問題的區(qū)別和聯(lián)系，就可以最終解釋出逆向問題的本質(zhì)所在。

例：求不定積分與微分的基本公式。在學(xué)生已經(jīng)掌握了求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本運(yùn)算法則的前提下，講解清楚原函數(shù)與不定積分的定義，就可以在此基礎(chǔ)上提出了一個(gè)“正向問題”：

函數(shù) f(x)=SinX，求其導(dǎo)數(shù) f(x)?則 f(x)=f’(x)=(SinX)=CosX。

緊接著提出一個(gè)“逆向問題”；

如果一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)=CosX，求它的全體原函數(shù)。全體原函數(shù)則為；∫（f）dx=∫cosxdx=SinX+C=f（x）+C。

在此過程中，充分利用原函數(shù)概念這一轉(zhuǎn)換條件使得微分向積分而轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到了求出積分基本公式的要求，為全面掌握好求積分的方法奠定了一個(gè)良好基礎(chǔ)。

在高教數(shù)學(xué)的解題中，從正面講解公式、定理、概念等是十分重要的事，如果僅僅是這樣那將是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須利用反面和正面進(jìn)行對(duì)比，才能更加深入地了解問題的可能性，使之加深學(xué)生對(duì)其的理解程度。例如：在介紹數(shù)列極限的精確定義，即《ε-N》定義時(shí)，如果僅僅從證明講解，學(xué)生往往不能充分理解ε、N的真正含義和它們之間存在的關(guān)系。《ε-N》定義的要點(diǎn)是；

（1）當(dāng)ε>0任意給定后，必須能找到相應(yīng)的N（但N不唯一），使得當(dāng)n>N時(shí)，恒有|Xn-A|<ε成立。

（2）當(dāng)ε>0具有相對(duì)穩(wěn)定性，即ε一旦給定，相應(yīng)的N也就隨之確定了，一般情況下，ε越小，N越大。

（3）當(dāng)ε>0具有任意性，正是因?yàn)檫@樣，不等式|Xn-A|<ε才能刻畫出數(shù)列Xn與A無限接近的意思。

高教數(shù)學(xué)解題過程中也存在各大題型間的對(duì)比，解題是檢驗(yàn)學(xué)生掌握所學(xué)內(nèi)容的最好方法，在甚多的題型中始終保持著正確的航向是一件非常難的事情。解題的主要法門是學(xué)生不能充分把握解題的要領(lǐng)，解題過程中不重視具體問題具體分析，不善于用一種全新的視角去思考問題，而是死記硬背公式或者相似題型而往上生搬硬套。如何才能從這種弊端中走出來，這就需要經(jīng)常在各個(gè)題型間進(jìn)行對(duì)比，這樣方能充分地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，達(dá)到培養(yǎng)智力的目的。題型間的對(duì)比可以從以下幾個(gè)方面來考慮：

（1）形同實(shí)同。有些題型表面與實(shí)質(zhì)都相同，因此思考方法解題途徑完全相同。

（2）形異實(shí)同。有些題型表面不同，實(shí)質(zhì)相同，因此解題方法以及途徑完全相同。

（3）形同實(shí)異，在求不定積分中，有些題型很類似，但要善于在類似中找出差異，找清楚實(shí)質(zhì)所在，并找出行之有效的解題途徑。

另外，在解題過程中還存在錯(cuò)誤與正確的對(duì)比。在接受新課題新要求的時(shí)候，學(xué)生往往沒能對(duì)出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤引起足夠的認(rèn)識(shí)，以至于不出現(xiàn)錯(cuò)誤才是不正當(dāng)?shù)模e(cuò)誤是正確的先導(dǎo)。問題的關(guān)鍵在于學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的時(shí)候，并不知道為什么出現(xiàn)錯(cuò)誤、錯(cuò)誤的原因在哪里，這時(shí)候老師就應(yīng)該發(fā)揮主要職責(zé)，在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的時(shí)候運(yùn)用正確的解題方法而與其作對(duì)比，因勢(shì)利導(dǎo)，這樣就能使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，并在以后的解題過程中避免此類錯(cuò)誤問題的出現(xiàn)。

二、高教數(shù)學(xué)解題逆向思維的運(yùn)用

所謂逆向思維，指的是在數(shù)學(xué)解題和研究過程中運(yùn)用和平時(shí)習(xí)慣的思維方式相反的一種思維方法。在高教數(shù)學(xué)解題過程中，當(dāng)順推不能解決問題時(shí)，就要考慮逆推方法；當(dāng)直接解題不能達(dá)到目的的時(shí)候，可采用間接解決問題的方法；當(dāng)探討的可能性發(fā)生困難時(shí)，可以反過來探討它的不可能性。這樣說來，不管什么情況下，當(dāng)反復(fù)思考一個(gè)問題而不得要領(lǐng)、陷入困境時(shí)，逆向思維往往可以使人茅塞頓開、絕境逢生。逆向思維在高教數(shù)學(xué)解題研究時(shí)經(jīng)常會(huì)被運(yùn)用到。例如：在證明題中所包含運(yùn)用的反證法就是運(yùn)用了這樣的一種思維方式。

三、高教數(shù)學(xué)解題中的化歸策略

當(dāng)我們所面對(duì)的數(shù)學(xué)問題不能用已知模型加以解決的時(shí)候，就要考慮其他意義上的解題策略，其中一個(gè)最為重要的策略就是化歸轉(zhuǎn)化策略，即化繁為簡(jiǎn)，化生為熟，化未知為已知，化新為舊等，這些是人類認(rèn)識(shí)的基本規(guī)律。簡(jiǎn)單來說，化就是變化原問題，轉(zhuǎn)化原問題。歸就是指變化、變換、轉(zhuǎn)化原問題，是有目的、有方向的，其主要目的是變化出一個(gè)已知數(shù)學(xué)模型，就是通過變化使面臨的問題轉(zhuǎn)化為解決問題的過程。

化歸策略共涉及到三個(gè)基本要素，即化歸的對(duì)象、化歸的方向和化歸的目標(biāo)。化歸的對(duì)象一般就是我們所面臨的高教數(shù)學(xué)問題；化歸的方向指的是解決數(shù)學(xué)問題的方法；化歸的目標(biāo)就是某個(gè)已知的數(shù)學(xué)模型。

在解題過程中，必須注重思維定勢(shì)的積極作用。在各種解題的基本方法（圖像法、判別式法、換元法、代定系數(shù)法、賦特殊值法等）和基本的策略上（對(duì)比考慮、逆向考慮、正難則反、以進(jìn)為退、以退為進(jìn)、換向考慮等）如果一旦形成了思維定勢(shì)，這就使學(xué)生在實(shí)際解題過程中胸有成竹、有規(guī)可循，最終能夠完整輕松地把問題解決掉。

四、把高教數(shù)學(xué)題與所學(xué)專業(yè)相結(jié)合

把高教數(shù)學(xué)題與所學(xué)專業(yè)相結(jié)合是高教數(shù)學(xué)解題的有效方法。其實(shí)，高教數(shù)學(xué)的解題方法不是只針對(duì)題目而言，更重要的是針對(duì)學(xué)生的興趣與注意力，當(dāng)學(xué)生們的興趣注意力上來了，高教數(shù)學(xué)的解題也不是什么難事。把高教數(shù)學(xué)題融入到學(xué)生們所學(xué)的專業(yè)中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到高教數(shù)學(xué)不是獨(dú)立的，不是陌生的，更是與他們的專業(yè)息息相關(guān)的。例如，對(duì)經(jīng)管類的學(xué)生，通過邊際成本、收益效應(yīng)等與他們熟知的概念與高教數(shù)學(xué)知識(shí)相串聯(lián)，對(duì)電子類的學(xué)生，通過電流的瞬時(shí)感應(yīng)等概念與高教數(shù)學(xué)知識(shí)相串聯(lián)。熟悉的知識(shí)概念與抽象的高教數(shù)學(xué)相結(jié)合，可以激發(fā)學(xué)生更多的學(xué)習(xí)興趣。因此，把高教數(shù)學(xué)題與所學(xué)專業(yè)相結(jié)合是高教數(shù)學(xué)解題的有效方法。

五、啟發(fā)討論、理論與實(shí)踐相結(jié)合

在平時(shí)高教數(shù)學(xué)解題過程中，注意要有自己的啟發(fā)性，培養(yǎng)出自己獨(dú)立思考、聯(lián)想問題的習(xí)慣。在課堂解題過程中，全體同學(xué)一塊參與、共同研討，每個(gè)人的想法都是不一樣的，都有自己獨(dú)立的思維空間，這就形成了課堂上的被動(dòng)解題變?yōu)榱酥鲃?dòng)解題，啟發(fā)與討論相結(jié)合，使每個(gè)學(xué)生都能從群體研討中獲得屬于自己的收益。

在每一節(jié)高教數(shù)學(xué)課結(jié)束的時(shí)候，教師除了安排必要的課外習(xí)題和復(fù)習(xí)外，盡量給學(xué)生安排與自己專業(yè)相關(guān)的應(yīng)用性問題，讓學(xué)生共同參與用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的樂趣。數(shù)學(xué)的本質(zhì)也在于此，它是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。對(duì)實(shí)際問題，通過分析、假設(shè)的方法，舍掉一部分次要的因素，最終把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)找到相應(yīng)的解決方法，最終通過所學(xué)的專業(yè)數(shù)學(xué)知識(shí)把問題徹底解決掉。

六、數(shù)形結(jié)合，化抽象于具體

數(shù)形結(jié)合，化抽象于具體是高教數(shù)學(xué)解題的重要方法。高教數(shù)學(xué)內(nèi)容的確是抽象的，但是如果通過幾何知識(shí)來輔助，這些知識(shí)就不再那么抽象。例如，在介紹羅爾定理時(shí)，就可以從引入直觀的幾何圖像入手，那么可導(dǎo)性和增減性則一目了然。老師在課堂上是這樣講的，那么在高教數(shù)學(xué)解題中照樣可以運(yùn)用。通過大致繪圖，便可以了解函數(shù)的增減性，這種數(shù)形結(jié)合方法一直備受推崇。不是所有的題目都要手算，有的時(shí)候，圖一畫便解決了。因此，在高教數(shù)學(xué)解題中多運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，不僅豐富了解題思路，更節(jié)省了解題時(shí)間和解題效率。

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