對(duì)兩相切球脫離速度的深度探究

馬 輝 王金聚

(1. 江蘇省豐縣中學(xué),江蘇 豐縣 221700; 2. 浙江省溫州中學(xué)，浙江 溫州 325000)

?

對(duì)兩相切球脫離速度的深度探究

馬 輝1王金聚2

(1. 江蘇省豐縣中學(xué),江蘇 豐縣 221700; 2. 浙江省溫州中學(xué)，浙江 溫州 325000)

本文將數(shù)學(xué)知識(shí)與物理規(guī)律相結(jié)合,對(duì)兩相切球的脫離速度的大小,作了深入細(xì)致的剖析．

相切球； 脫離速度； 滿足條件

1 矛盾呈現(xiàn)

我們先來看如下一道填空題:

圖1

例.如圖1所示,一半徑為r=1m的小球,放在一固定的大球的正上方．小球球心為O1,大球球心為O2,大球半徑R=2m．已知重力加速度為g=10m/s2,若小球獲得一水平向右v0=5m/s的初速度,則小球?qū)_______脫離大球．(填“瞬間”或“沿大球下滑一段距離后”)．

有人給出了如下的解法:

辨析:上述解答正確與否?我們不妨在小球上具體取一點(diǎn)來看一看．

如圖2所示,設(shè)兩球相切于O點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn)建立xOy坐標(biāo)系,x軸正方向水平向右,y軸

圖2

小球與xOy平面的交線為一小圓,我們不妨在該小圓上取一點(diǎn)P,使連線O1P與豎直方向成θ=30°角,則P點(diǎn)的坐標(biāo)可寫為P(-rsinθ,rcosθ-r)．假如小球一出發(fā)就能與大球分離,則小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)．如果經(jīng)t=0.2s的時(shí)間,P點(diǎn)的位置坐標(biāo)又會(huì)變?yōu)槎嗌倌?

因小球在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng),所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為xP=-rsinθ+v0t=(-1×0.5+5×0.2)m=0.5m;豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),所以其縱坐標(biāo)應(yīng)為

當(dāng)x=xP=0.5m時(shí),對(duì)應(yīng)的下面的大球球面上的縱坐標(biāo)y又為多大呢?

如圖2所示．

可知y1

圖3

2 矛盾解析

(1)

(2)

圖4

3 原題再探

圖5

既然出發(fā)時(shí)兩球未能脫離,說明小球在大球表面滑行了一段距離才能脫離,那么,這個(gè)脫離的位置在哪里呢?

如圖5所示,設(shè)小球滑至二球心連線O1O2與豎直方向成θ角時(shí)開始脫離,脫離時(shí)小球?qū)Υ笄蚯o壓力,由向心力公式得

(3)

由機(jī)械能守恒定律得

(4)

聯(lián)立(3)、(4)式可解得

所以θ≈19.2°,即小球沿大球表面滑至二球心連線與豎直方向成19.2°處時(shí)二者始分離．

4 結(jié)論

2017-02-23)