Keccak類非線性變換的差分性質(zhì)研究

李倩男，李云強，蔣淑靜，路遙

(1. 信息工程大學 電子技術(shù)學院，河南 鄭州 450004；2. 中國科學院 光電研究院，北京 100094；3. 國防科學技術(shù)大學 計算機學院，湖南 長沙 410073）

1 引言

2010年12月10日，美國國家標準與技術(shù)協(xié)會（NIST）公布進入 SHA3競選算法[1～3]最后一輪的5個雜湊算法[4]，由Bertoni G、Daemen J和Peeters M等人設計的Keccak雜湊算法就是其中之一[5]。Keccak雜湊算法蘊涵著雜湊算法的最新設計理念[6,7]，對其編碼環(huán)節(jié)的系統(tǒng)分析具有重要的理論和應用價值。χ變換是Keccak壓縮函數(shù)中唯一的非線性環(huán)節(jié)，也是文獻[8～10]的算法所選用的非線性環(huán)節(jié)，文獻[11]中通過對Keccak的非線性環(huán)節(jié)進行改造，構(gòu)造了新的非線性變換MiniKeccak。密碼算法抵抗差分分析的強度也一直是人們關注的問題，對密碼算法中的重要環(huán)節(jié)進行差分分析有助于分析整個密碼算法的抗差分分析攻擊的強度，也有助于對算法中的編碼環(huán)節(jié)進行更深刻的認識和把握。為了更好地應用Keccack類非線性變換編碼環(huán)節(jié)，本文將對其差分性質(zhì)進行系統(tǒng)研究。

2 基本概念

則稱Y=f( X)為n元Keccak類非線性變換。

顯然，Keccak壓縮函數(shù)中χ變換是5元Keccak類非線性變換，MiniKeccak中的非線性變換是3元Keccak類非線性變換。

定義2 設(X, +)，(Y, +)是有限交換群，f: X→Y，α∈X,β∈Y,

則稱pf(α→β)為f在輸入差為α條件下，輸出差為β的差分轉(zhuǎn)移概率，并稱α→β為f的一個差分對應，稱pf(α→β)為該差分對應的轉(zhuǎn)移概率。其中，和#{·}均表示集合·中的元素個數(shù)。

定義3 設X=(x0, x1,…,xn-1)∈GFn(2)為n維布爾向量，稱X=(x0, x1,…,xn-1)中的不為零的分量的個數(shù)為X的漢明重量，記做WH(X)。

3 差分性質(zhì)分析

定理1 對于n元Keccak類非線性變換f，如果α, α′,β, β′∈，且β=f( x⊕α)⊕f( x)，＜α′, β′＞∈{＜a, b＞|a=(α＜＜j)且b=(β＜＜j ),0≤j＜n,j∈Z}， 那 么 差 分 轉(zhuǎn) 移 概 率pf(α′→β′)=pf(α→β)。

證明 當j=1，即α′=(α＜＜1)時，輸入、輸入差和輸出差從高位比特到低位比特依次可以表示為：x=(x0, x1,…,xn-1)，α=(α0,α1,…,αn-1)，β=(β0,β1,…,βn-1)，x′=(x0′, x1′,…,xn′-1)，α′=(α1,α2,…,αn-1,α0)， β′=(β0′,β1′,…,βn′-1)， 其 中 ，i∈{0,1,…,n-1}。那么輸出差β和β'的每一個比特的差分變換布爾函數(shù)表達式可以寫為

可知，當α′=(α＜＜1)，x′=(x＜＜1)時，有β′=(β＜＜1),f((x＜＜1)⊕(α＜＜1))⊕f((x＜＜1))=(β＜＜1)， 即f( x′⊕α′)⊕f( x′)=β′。 所 以 ，x′=(x＜＜1)∈。

pf(α′→ β′)==pf(α→β)，所以pf(α′→β′)=pf(α→β)。

假設j=m-1,(1＜m＜n, m∈Z)，pf(α′→β′)=pf(α→β)成立。j=m時的情況就是在j=m-1的基礎上繼續(xù)向左循環(huán)移動1位，由j=1時的結(jié)論，pf(α′→β′)=pf(α→β)也成立。所以，由數(shù)學歸納法可知定理1成立。

定理2 對于Keccak類非線性變換f，如果α, β, γ∈，pf(α→β)≠0，pf(α→γ)≠0，那么差分轉(zhuǎn)移概率pf(α→β)=pf(α→γ)。

為系數(shù)矩陣，設系數(shù)矩陣A的秩R(A)=r，X

0

為一個特解，那么所有的解可以表示為

其中，kl∈{0,1}，l∈{1,2,…,n-r} ；，cm,n∈{0,1}，其中，m∈{1,2,…,n-r}，n∈{1,2,…,r} 。η1,η2,…,ηn-r為線性無關的基礎解系。

由于kl∈{0,1}，l∈{1,2,…,n-r}，所以方程組解的個數(shù)為2n-r個，||=2n-r。

又pf(α→β)==pf(α→γ)，所以定理2成立。

定理3 對于n(n≥3)元Keccak類非線性變換f，如果輸入差α，輸出差β，使β=f( x⊕α)⊕f( x)成立，且pf(α→β)≠0和1，那么。

證明 按照定理2的證明方法，pf(α→β)≠0時，將輸入、輸入差和輸出差從高位比特到低位比特依次可以表示為：x=(x0, x1,…,xn-1)，α=(α0,α1,…,αn-1)，β=(β0,β1,…,βn-1)，令yi=βi⊕αi⊕α(i+1)modnα(i+2)modn⊕α(i+2)modn， 其 中 ，xi,αi, βi,yi∈{0,1}，i∈{0,1,…,n -1}。={x| f( x ⊕α)⊕f( x)=β}，中元素個數(shù)||就是xi, yi∈{0,1}，i∈{0,1,…,n-1}的線性方程組解的個數(shù)。線性方程組的矩陣形式為

矩陣A的每一行和每一列都有輸入差的2bit，且同1bit出現(xiàn)在矩陣不同的行和列中，所以矩陣A中非零的行數(shù)越少，r越小；當矩陣A的每一行都有非零的元素時，r為最大值。顯然，當α=0，即A為零矩陣時，r=0；當α有1bit非零時，由于非零的比特出現(xiàn)在矩陣不同的行和列中，所以r=2；

當α有n-1和nbit非零時，矩陣A的所有行均非零。當α有n-1bit非零時，不妨設αi=0，

綜上，定理3成立。

定理4 對于n元Keccak類非線性變換f，如果 ＜α, β＞∈{＜(a＜＜j),(b＜＜j)＞|a=，其中*表示這個比特可以任意取0或1，那么。

再由定理1，

綜上，定理4成立。

定理5 對n元Keccak類非線性變換f，如果＜α, β＞∈{＜(a＜＜j),(b＜＜j)＞|a=或(·⊕1));或WH(a)=n,其中，*表示這個比特可以任意取0或1，·和(·⊕1)表示這2bit是互補的,0＜j≤n ,j∈Z}，則差分轉(zhuǎn)移概率

3) 輸入差α的漢明重量WH(α)=n,pf(α→β)≠0時，按照定理2的證明方法，將輸入、輸入差和輸出差從高位比特到低位比特依次可以表示為：x=(x0, x1,…,xn-1)，α=(α0, α1,…,αn-1)，β=(β0, β1,…,βn-1)，令yi=βi⊕αi⊕α(i+1)modnα(i+2)modn⊕α(i+2)modn，其中，xi,αi, βi,yi∈{0,1}，i∈{0,1,…,n-1}。，則方程組解的個數(shù)即為WH(α)=n時，中元素的個數(shù)||。為系數(shù)矩陣，系數(shù)矩陣的秩R(A)=r=n-1；所以||=2n-(n-1)=2，。

當WH(α)=n時，β的每個比特的布爾函數(shù)表達式為：

βi=x(i+1)modn⊕x(i+2)modn⊕1，其中，xi∈{0,1}，i∈{0,1,…,n -1}。

當n為偶數(shù)時：

所以，此時輸出差β的漢明重量為偶數(shù)。

同理可以證明，當WH(α)=n，n為奇數(shù)時，對于所有的WH(β)為奇數(shù)的輸出差β，都有pf(α→β)=。

綜上，定理5成立。

定理6 n元的Keccak類非線性變換f和n+1元的Keccak類非線性變換g有如下關系：對于n元Keccak類非線性變換f，輸入差α=(0,0,α0,α1,…,αn-3)，輸出差β=(β0,β1,…,βn-1)，對應的差分轉(zhuǎn)移概率為pf(α→β)；n+1元Keccak類非線性變換g，輸入差α′=(0,0,0,α0,α1,…,αn-3)，輸出差 β'=(0,β0,β1,…,βn-1)，差分轉(zhuǎn)移概率為pf(α′→β′)；那么pg(a′→β′)=pf(α→β)。其中,αi, βj∈{0,1},i∈{0,1,…,n-3},j∈{0,1,…,n -1}。

證明 當輸入x=(x0, x1,…,xn-1)、α=(0,0,α0,α1,…,αn-3)時，n元Keccak類非線性變換f對應的輸出差β每個比特的布爾函數(shù)表達式為：

當 輸 入x′=(x0′,x1′,x2′,…,xn′ ),α=(0,0,0,α0,α1,…,αn-3)時，n+1元Keccak類非線性變換g對應的輸出差β'每一個比特的布爾函數(shù)表達式為：

由 表 達 式 可 知 ， 當x0=x0′,xi=xi′+1(1≤i≤n-1)時，β=(β0,β1,…,βn-1)，β′=(0,β0,β1,…,βn-1)；x1′取值0或1對β′的值沒有影響。記，那么

pg( a′ →β′)==pf(α→β)，所以，pg(a′→β′)=pf(α→β)。

綜上，定理6成立。

4 結(jié)束語

雜湊函數(shù)Keccak中的壓縮函數(shù)的非線性變換已經(jīng)被廣泛應用到很多密碼算法中，文獻[11]通過對其進行改造，提出了Minikeccak的非線性變換，并取得了良好的效果。為了更好地應用這一類非線性變換，本文建立了n元Keccak類非線性變換模型，并且分析了它的差分轉(zhuǎn)移概率性質(zhì)，給出了最大的非平凡差分轉(zhuǎn)移概率和最小的非平凡差分轉(zhuǎn)移概率的結(jié)構(gòu)和計數(shù)，給出了這類非線性變換相鄰變元間取相同差分轉(zhuǎn)移概率的結(jié)構(gòu)。但是，還有許多Keccak類非線性變換模型的差分性質(zhì)例如次大差分轉(zhuǎn)移概率、差分轉(zhuǎn)移概率為0的結(jié)構(gòu)等情況，本文還沒有去研究分析。另外，對Keccak類非線性變換模型的Walsh譜值特性的研究將是下一個工作重點。

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