一種基于DFT的次優(yōu)高精度頻率估計(jì)算法與實(shí)現(xiàn)

王 樂,王竹剛,熊蔚明

（1.中國科學(xué)院研究生院，北京 100190;2.中國科學(xué)院空間科學(xué)與應(yīng)用研究中心，北京 100190）

對淹沒在噪聲中的正弦波信號進(jìn)行頻率估計(jì)是信號處理的經(jīng)典課題，在通信、雷達(dá)、電子偵察及振動(dòng)信號處理等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。在加性高斯白噪聲信道中，頻率估計(jì)算法大致可分為最大似然估計(jì)算法、最大后驗(yàn)概率 （MAP）估計(jì)算法和自相關(guān)估計(jì)算法。RIFE D和BOORSTYN R通過分析Cramer-Rao下界，提出了工程可實(shí)現(xiàn)的 ML算法[1]，利用快速傅里葉變換(FFT)進(jìn)行粗搜索再進(jìn)行精確搜索。為了充分利用頻率分布的先驗(yàn)知識，Hua Fu和 KAM P Y提出了 MAP充分估計(jì)算法[2]。以上兩種算法都具有較高的復(fù)雜度，而自相關(guān)估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低,參考文獻(xiàn)[3]給出了自相關(guān)估計(jì)算法的具體細(xì)節(jié)。現(xiàn)有的精確估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)多采用FFT粗搜索，再進(jìn)行精確估計(jì)。本文在分析了現(xiàn)有的幾種精確估計(jì)后，結(jié)合實(shí)際硬件設(shè)計(jì)，提出了直接利用幅度平方信息做精確估計(jì)的算法，有效地簡化了現(xiàn)有算法的運(yùn)算量。通過仿真驗(yàn)證了其在低信噪比下也具有一定的估計(jì)精度。

1 頻率精確估計(jì)的幾種算法

Voglewede方法[4]利用FFT輸出的峰值以及相鄰的兩個(gè)頻點(diǎn)的幅值，擬合出一條二次曲線逼近原插值函數(shù)，通過求二次函數(shù)即拋物線的最大值求解精確頻率。在有噪聲的情況下，估計(jì)精度不高。Quinn方法[5]利用FFT輸出的次大頻點(diǎn)和最大頻點(diǎn)復(fù)數(shù)值之比插值得出精確頻率值。Jacobsen方法[6]利用三個(gè)頻點(diǎn)復(fù)輸出的實(shí)部實(shí)現(xiàn)頻偏估計(jì)。參考文獻(xiàn)[7]通過對FFT的輸出表達(dá)式做泰勒級數(shù)展開，給出了Jacobsen方法的理論依據(jù)，并對原方法進(jìn)行了誤差校正。改進(jìn)后的Jacobsen方法修正了原方法的系數(shù)。Jacobsen對原方法也進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，通過仿真分析了不同窗函數(shù)下的Jacobsen方法的性能，歸納了各種窗函數(shù)下對估計(jì)算法的系數(shù)修正。

2 算法的構(gòu)造

利用FFT粗估計(jì)時(shí)，為最大程度地簡化設(shè)計(jì)，通過搜索FFT幅度平方的最大值確定峰值頻點(diǎn)。Voglewede方法利用幅度的二次曲線擬合，引入開方運(yùn)算，該方法在低信噪比下的表現(xiàn)不佳。Jacobsen方法和Quinn方法需要FFT輸出復(fù)數(shù)的實(shí)部，從而在確定最大頻點(diǎn)和其相鄰頻點(diǎn)的位置前需要存儲所有FFT復(fù)數(shù)的輸出。眾所周知，復(fù)數(shù)的加法和減法運(yùn)算量是實(shí)數(shù)的兩倍，乘法和除法更甚。Jacobsen方法和Quinn方法都含有復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，增加了硬件的復(fù)雜性。為了簡化硬件，本文考慮設(shè)計(jì)一種精確估計(jì)結(jié)構(gòu)直接利用幅度平方估計(jì)頻偏小數(shù)部分的算法。

下面定義觀測信號的解析表達(dá)式：

其離散傅里葉變換為：

令FFT后幅度最大值的頻點(diǎn)為k0，小數(shù)部分為δ。由此可得：

y0、y2為峰值相鄰的兩個(gè)頻率點(diǎn)幅度值的平方。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)式(4)～式(6)的分母完全相同，在此可以獲得最優(yōu)的估計(jì)表達(dá)式：

將式(4)～(6)帶入式(7)可得：

簡化式(7)的結(jié)構(gòu)，得到δ的一個(gè)擬合次優(yōu)估計(jì)表達(dá)式：

同上將式(4)～式(6)帶入式(9)可得：

解得

所以

3 算法的性能分析與實(shí)現(xiàn)比較

算法性能分析就是利用估計(jì)的均方誤差對上述方法進(jìn)行評估。以參考文獻(xiàn)[7]給出的各種精確估計(jì)方法來分類，現(xiàn)有的方法可以分為兩大類。第一類是利用FFT復(fù)輸出的實(shí)部信息，第二類是利用FFT的幅度信息。從抗噪性能上講，利用幅度信息對噪聲同樣進(jìn)行了平方運(yùn)算，引入了平方損失，故第一類的抗噪性能要優(yōu)于第二類，但第二類的實(shí)現(xiàn)要易于第一類。在實(shí)際的工程實(shí)現(xiàn)中，希望獲得實(shí)現(xiàn)簡單且具有一定估計(jì)精度的算法。本文提出的次優(yōu)算法屬于第二類算法，而且在低信噪比下具有較高的估計(jì)精度。本節(jié)通過仿真驗(yàn)證該算法的性能。仿真分兩組，第一組是第二類方法中的Voglewede方法與本文的兩種方法的均方誤差比較。第二組是本文提出的次優(yōu)算法在有窗情況下均方誤差比較,以 CRB（Cramer-Rao Bound）下界作為參考[9]：

3.1 不加窗函數(shù)的估計(jì)性能

仿真設(shè)計(jì)的FFT截?cái)嚅L度N為1 024，信噪比的范圍是-12 dB～14 dB，步進(jìn)為 2 dB。對 δ從 0～0.5選取 4個(gè)點(diǎn)作為測試頻偏，分別是0.1、0.2、0.3和 0.4。仿真結(jié)果如圖1所示。

由仿真結(jié)果可知，高信噪比下，本文的兩種方法均優(yōu)于Voglewede方法。低信噪比下，次優(yōu)精確估計(jì)算法優(yōu)于Voglewede方法。

3.2 增加窗函數(shù)時(shí)的估計(jì)性能

本組仿真采用Hanning、Hamming和Blackman三種窗函數(shù)和不加窗的次優(yōu)算法進(jìn)行比較，仿真結(jié)果如圖2所示。

由仿真結(jié)果可以看出，Hamming窗和Hanning窗估計(jì)精度均不高。而Blackman窗可達(dá)到最佳的性能，在低信噪比下，有效地降低了次優(yōu)算法的均方誤差，在高信噪比下,保持次優(yōu)算法良好的估計(jì)精度。其估計(jì)性能接近CRB。

3.3 實(shí)現(xiàn)資源占用對比

正如在第2節(jié)中的討論,最大頻點(diǎn)的選擇需要對FFT實(shí)部和虛部進(jìn)行平方相加的運(yùn)算。如果精確估計(jì)算法利用幅度信息（如 Voglewede方法），則在確定最大值后需要開方得到幅度信息。如果精確估計(jì)算法利用FFT的實(shí)部信息 (如Jacobsen方法),則在確定最大值前需對各頻點(diǎn)的實(shí)部存儲。表1給出了Jacobsen方法、Voglewede方法和本文兩種方法的資源占用情況。本文提出的次優(yōu)算法直接利用FFT幅度的平方信息,也簡化了算法的實(shí)現(xiàn)。

本文提出的次優(yōu)估計(jì)算法，是一種基于FFT輸出幅度平方的信息通過曲線擬合估計(jì)精確頻偏的算法。從算法原理和仿真驗(yàn)證兩方面說明了本算法的可行性。原理上，算法根據(jù)FFT幅度平方輸出的函數(shù)，推導(dǎo)出最優(yōu)的估計(jì)表達(dá)式，算法簡化后得到一種僅需要兩個(gè)頻點(diǎn)的估計(jì)算法，并優(yōu)化算法系數(shù)。通過仿真說明了算法在不同信噪比下的估計(jì)精度，加入Blackman窗后有效改善算法抗噪性能，使其在高信噪比和低信噪比下都有較高的精度。算法設(shè)計(jì)上，由于采用FFT輸出幅度的平方，兩個(gè)頻點(diǎn)輸出值參與運(yùn)算，硬件實(shí)現(xiàn)簡單，可在各類適合的頻率估計(jì)領(lǐng)域應(yīng)用。

表1 實(shí)現(xiàn)資源占用對比

[1]RIFE D,BOORSTYN R.Single-tone parameter estimation from discrete-time observations[J].IEEE Transactions on Information Theory,1974,20(5)：591-598.

[2]FU H,KAM P Y.MPA/ML estimation of the frequency and phase of a single sinusoid in noise[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2007,55(3)：834-845.

[3]VOLKER B,HANDEL P.Frequency estimation from proper sets of correlations[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2002,50(4)：791-802.

[4]VOGLEWEDE P.Parabola approximation for peak determination[J].Global DSP Magazine,2004,3(5)：13-17.

[5]QUINN B G.Frequency estimation using tapered data[C].2006 IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing,Toulouse,France,2006：73-76.

[6]JACOBSEN E.On local interpolation of DFT outputs[EB/OL].[2011-03]http：//www.ericjacobsen.org/FTinterp.pdf,(Fall,1994).

[7]CANDAN C.A method for fine resolution frequency estimation from three DFT samples[J].IEEE Signal Processing Letters,2011,18(6)：351-354.

[8]袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，1997.

[9]BELEGA D,DALLET D.Multipoint interpolated DFT method for frequency estimation[C].Systems,Signals and Devices,2009.SSD’09,6th international Multi-conference on,Djerba,Tunisia.2009：1-6.