基于自由權矩陣法的網絡控制系統穩定性研究

孫堅棟,蔣靜坪

（浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州310027）

網絡控制系統 NCSs（Networked Control Systems）是指通過網絡形成閉環的反饋控制系統，其主要特征是系統各功能部件通過網絡交換控制信息。與傳統點對點結構的控制系統相比，NCSs具有減少電纜使用、降低安裝和調試費用、易于維護和故障診斷等諸多優點，應用前景非常廣闊，目前已在網絡制造、兵器系統、遠程醫療、遠程故障診斷和試驗等復雜控制領域得到了使用[1]。

由于網絡帶寬的限制,在NCSs中進行信息交換時不可避免地存在傳輸時延，根據所使用網絡協議的不同，時延可能是定常、周期性或隨機變化的。此外，網絡不是絕對可靠的傳輸介質，除了時延之外，在NCSs中還存在因節點競爭和信號干擾等因素引起的數據包丟失問題。時延和丟包是導致NCSs性能變差、甚至不穩定的重要原因。

從本質上看，NCSs是一類包含時變、有界輸入時延的時滯系統。目前在一般時滯系統的穩定和鎮定方面已經取得了大量成果，如還原法、奇異系統法、自由權矩陣法等。其中自由權矩陣法是最有效的方法之一，它的基本原理是利用零等式將多個自由權矩陣引入李雅普諾夫泛函的微分中。使用該方法時一般不需要進行模型變換，因而克服了產生保守性的一個重要根源。

如果把一般時滯系統的研究成果結合網絡控制系統的特點加以應用，則可以得到關于NCSs的分析和設計方法。參考文獻[2-4]將存在時延和丟包的NCSs建模為具有時變輸入時延的連續或離散時間時滯模型，利用自由權矩陣法進行穩定性分析和控制器設計，推導出基于線性矩陣不等式 LMI（Linear Matrix Inequality）的漸近穩定充分條件。上述文獻在NCSs建模時同時考慮了時延和丟包的影響，模型接近實際情形，因此具有一定的實用價值，但是它們都舍棄了李雅普諾夫泛函微分或差分中的某些非正交叉項，導致結果具有保守性。另外，網絡時延的實際最小值一般大于0，而參考文獻[2-4]假設最小值為 0，GAO等人[5]指出，這種處理方式人為地擴大了時延變化范圍，也將帶來保守性。

本文將包含隨機、有界傳輸時延和丟包的NCSs建模為離散時間時滯模型進行穩定性分析，推導出基于LMI形式的漸近穩定充分條件。不同于參考文獻[2-4]，本文在建模時假設時延的最小值不為0，并且在處理李雅普諾夫泛函差分時，采用合理方法消除其中產生的非正交叉項，而不是在同類文獻中使用的簡單舍棄的做法，降低了系統保守性。

1 網絡控制系統的模型

設被控對象的離散時間狀態方程為：

式中，x(k)∈Rn為狀態向量，u(k)∈Rm為輸入向量，A、B為適維常數矩陣。當系統狀態全部可測，并采用增益為K的靜態反饋控制器時，在傳統計算機控制系統中，各部件之間不存在傳輸時延，有

在 NCSs中，由于存在時延和丟包，式(2)不成立，即kT時刻的輸入u(k)一般不是根據kT時刻的狀態計算得到的。

典型NCSs的結構如圖1所示，其中存在傳感器到控制器的時延τsc、控制器計算時延τc以及控制器到執行器的時延τca，τc一般可忽略。另外在NCSs中還存在丟包，圖1中dsc表示傳感器到控制器的連續丟包數，dca表示控制器到執行器的連續丟包數。

圖1 典型網絡控制系統的結構

為了建模需要，提出以下關于NCSs的4個假設：

(1)控制數據采用單包傳輸；

(2)系統狀態全部可測并采用狀態反饋控制器；

(3)傳感器和執行器采用時鐘驅動，控制器采用事件驅動；

(4)傳輸時延和連續丟包數是時變、有界的，其中時延下限可以不為0。

由假設(1)，在反饋或前向通道中傳輸的數據具有相同的時延和丟包數。由假設(2)，可以將反饋通道和前向通道中的兩部分時延合并，得到總時延 τk=τsc+τca。 由于執行器采用時鐘驅動，因此是采樣周期T的整數倍，定義以T為單位的總時延εk=τk/T。同理，連續丟包數 dsc和dca也可以合并，得到總丟包數dk=dsc+dca。由假設(4)，傳輸時 延和 丟包數 是有 界的 ，即 εk∈[εm,εM]、dk∈[0,dM]。

由于時延的影響，根據lT時刻狀態計算得到的控制量，將在(l+εl)T時刻輸入到被控對象。發生丟包時，假設根據lT時刻狀態得到的控制量發送成功后，經過連續d次丟包，才有根據(l+d+1)T時刻狀態得到的控制量在 (l+d+1+εl+d+1)T時刻作用到對象，在連續丟包期間，執行器使用最后一次接收到的控制量，故有：

將式(3)代入狀態方程(1)，有

η(k)表示輸入Kx(l)有效期間，當前時刻 kT與采樣時刻lT之間的間隔時間。由假設(4)，η(k)是有界的，即 η(k)∈[ηm,ηM]，其中，ηm=εm,ηM=εM+dM。 式(5)可轉化為：

將式(6)代入式(4)，有

綜上所述，對于符合以上假設的NCSs，其數學模型式可用式(7)描述，它表示一類具有時變、有界輸入時延的離散時滯系統。

2 網絡控制系統的穩定性分析

以下定理給出NCSs漸近穩定的充分條件。

定理1對于給定的狀態反饋增益矩陣K和標量ηm＞0，ηM＞0，如果存在適維正定矩陣 P、Q1、Q2、Z1、Z2、U、W 以及普通矩陣 F、G、H、L1、L2,使得以下矩陣不等式(8)～(11)成立，則當時變輸入時延 ηm≤η(k)≤ηM時，網絡控制系統(7)是漸近穩定的。

式中，

證明：定義

由狀態方程(7)得到

取任意適維矩陣L1和L2，在等式(13)兩邊左乘2(xT(k)得到

(11)約束的矩陣，對于向量 ξ(k)和 Ψ(k)，有

構造以下李雅普諾夫泛函

式中，

其中 P、Q1、Q2、Z1和 Z2均為正定矩陣。

分別對上述范函各子項計算差分，得到

由式(15)～(17)和(20)，得到

綜合式(14)、(18)、(19)和(21)可得

若式(8)～(11)成立，則對于任意 ξ(k)≠0，均有

由此根據Lyapunov-Krasovskii定理，網絡控制系統(7)是漸近穩定的，定理1得證。

注2：對于鎮定問題，即控制器增益 K未知時，定理1的式(8)具有雙線性，不易求解，可參考文獻[6]的方法將定理1轉化為LMI形式進行求解。

3 示例及仿真

例1：分析以下連續時間被控對象的穩定性，

假設狀態反饋控制器增益K=[-3.75 -11.5]。

[3]利用自由權矩陣法計算得到的最大輸入時延為0.869 5 s，即當時變輸入時延小于0.869 5 s時，式(22)是穩定的。由于未考慮時延最小值大于0，并且在計算李雅普諾夫泛函差分時舍棄了某個非正交叉項，所以該結果存在保守性。

本文選擇采樣周期為0.01 s，將連續系統(22)離散化后轉換成(7)的形式，得到離散狀態方程為：

對于不同的輸入時延下限ηm，利用定理 1計算得到的輸入時延上限ηM如表1所示。表1結果的保守性有明顯改進，例如，當時延下限ηm=0時，可行的最大輸入時延ηM=103，該數值等價于連續系統的最大輸入時延為1.04 s，與同類文獻相比有很大提高。此外，當時延下限ηm逐漸增大時，使系統保持穩定的時延上限ηM也相應增大，由此表明，如果在穩定性判據中考慮實際時延下限大于0的因素，則可以進一步降低保守性。

表1 不同時延下限對應的可行時延上限(例1)

設初始狀態 x(0)=[5 -3]T，采樣周期為 0.01 s，傳輸時延為50個采樣周期，連續丟包數為56個，即輸入時延取表1中最大的可行時延上限106時，利用MATLIB/Simulink仿真得到的響應曲線如圖2所示，由曲線可知，上述NCSs是漸近穩定的。

例2分析以下離散時間被控對象的穩定性，

參考文獻[4]基于離散時滯系統理論計算得到，當輸入時延上限時，系統是可鎮定的，其中增益K=[0.000 5-0.130 4]。本文采用參考文獻[4]的反饋增益，對于不同的時延下限ηm，利用定理1計算得到使系統保持穩定的輸入時延上限ηM如表2所示，當時延下限為 0時，使系統保持穩定的最大時延上限為33，表明本文結果的保守性明顯小于參考文獻[4]。

本文研究了NCSs的穩定問題。將包含隨機、有界時延和丟包的NCSs建模為具有時變輸入時延的離散時滯模型。利用自由權矩陣法推導出基于LMI形式的漸近穩定充分條件。由于本文采用合理的上限約束技術消除了同類文獻中忽略的李雅普諾夫泛函差分計算過程中產生的非正交叉項，因而保守性更小。仿真結果表明系統性能得到了明顯提高。本文結論可用于分析NCSs穩定性，如果按文獻[7]中方法將定理1進行適當變換，則也可用于控制器設計。

表2 不同時延下限對應的可行時延上限(例2)

參考文獻

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