多徑衰落信道中擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限

馬萬治，王俊，唐友喜

（電子科技大學(xué) 通信抗干擾技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611731）

1 引言

隨著無線通信技術(shù)的發(fā)展，擴(kuò)頻信號(hào)在無線通信領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。一方面，擴(kuò)頻信號(hào)是無線通信常見時(shí)間同步及頻率同步的基本信號(hào)形態(tài)；另一方面，擴(kuò)頻信號(hào)是無線通信系統(tǒng)常用抗干擾、低截獲特性的承載體。參考文獻(xiàn)[1]中，擴(kuò)頻增益定義為信號(hào)擴(kuò)展頻譜后的帶寬與原信號(hào)帶寬之比；處理增益定義為接收機(jī)輸出信噪比與輸入信噪比之比。與擴(kuò)頻增益相比，處理增益更能直觀地反映擴(kuò)頻機(jī)制對(duì)通信性能的影響。因此，討論多徑衰落信道中擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益是有意義的。

加性白高斯噪聲信道(AWGN)中，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益等效于擴(kuò)頻增益[1,2]，當(dāng)擴(kuò)頻碼片數(shù)無限增加時(shí)，擴(kuò)頻增益無限增大，擴(kuò)頻信號(hào)實(shí)際獲得的處理增益也會(huì)無限增大。考慮信號(hào)帶寬是原始符號(hào)擴(kuò)頻后的信號(hào)總帶寬，符號(hào)長(zhǎng)度是原始符號(hào)擴(kuò)頻后的總持續(xù)時(shí)間，若給定符號(hào)長(zhǎng)度，擴(kuò)頻碼片數(shù)無限增加等價(jià)于信號(hào)帶寬無限增大；若給定信號(hào)帶寬，擴(kuò)頻碼片數(shù)無限增加等價(jià)于符號(hào)長(zhǎng)度無限增大。由此，當(dāng)信號(hào)帶寬無限增大或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益會(huì)無限增大，即處理增益不存在上限。針對(duì)AWGN信道中的直接序列擴(kuò)頻系統(tǒng)，給定信號(hào)帶寬與比特速率，文獻(xiàn)[3]分析了存在單音或?qū)拵Ц蓴_時(shí)，二進(jìn)制相移鍵控(BPSK)、正交相移鍵控(QPSK)以及16值正交幅移鍵控(16QASK)調(diào)制信號(hào)的擴(kuò)頻增益與誤比特率，其中，16QASK處理增益最大，QPSK誤比特率最低。

到目前為止，對(duì)于多徑衰落信道中擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益，業(yè)界已有了一些研究。針對(duì)不同的擴(kuò)頻因子，文獻(xiàn)[4]仿真了多徑信道中二維擴(kuò)頻信號(hào)經(jīng)過信道均衡后的誤碼率性能，隨著擴(kuò)頻因子的增大，誤碼率不會(huì)一直降低。針對(duì)直接序列擴(kuò)頻與快速跳頻混合的碼分多址信號(hào)(DS/FHHCDMA)，給定信號(hào)功率與帶寬并且采用最大比合并，以最大化頻譜利用率為準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[5]研究了多徑衰落信道中直序擴(kuò)頻的最優(yōu)處理增益，隨著信噪比的提高、用戶數(shù)的減少以及跳頻點(diǎn)數(shù)的增加，直序擴(kuò)頻的最優(yōu)處理增益會(huì)降低。考慮多徑衰落信道中的時(shí)頻二維擴(kuò)頻系統(tǒng)，針對(duì)導(dǎo)引輔助的相干檢測(cè)，文獻(xiàn)[6]說明在一個(gè)擴(kuò)頻符號(hào)所占用的信號(hào)時(shí)頻二維區(qū)域等于信道的時(shí)頻相干區(qū)域時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益取得最大值。然而，對(duì)于非相干檢測(cè)時(shí)擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的最大值，至今未見有文獻(xiàn)報(bào)道。

本文針對(duì)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法，給出多徑衰落信道中擴(kuò)頻信號(hào)處理增益與信號(hào)帶寬、符號(hào)長(zhǎng)度的關(guān)系表達(dá)式，并分析信號(hào)帶寬無限增大或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的變化趨勢(shì)，尋找擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限。本文的其余部分安排如下：第2節(jié)給出系統(tǒng)模型，第3節(jié)分析處理增益與信號(hào)帶寬、符號(hào)長(zhǎng)度的相互關(guān)系，第4節(jié)中給出數(shù)值與仿真結(jié)果，第5節(jié)為結(jié)束語。

2 系統(tǒng)模型

為了方便分別改變信號(hào)帶寬與符號(hào)長(zhǎng)度，本文采用時(shí)頻二維擴(kuò)頻的系統(tǒng)模型[4]，如圖1所示。發(fā)射機(jī)分別對(duì)BPSK調(diào)制導(dǎo)引符號(hào) bP、數(shù)據(jù)符號(hào) bD進(jìn)行時(shí)頻二維擴(kuò)頻，其中，bP取值+1、bD取值±1；將導(dǎo)引擴(kuò)頻輸出 XP與數(shù)據(jù)擴(kuò)頻輸出 XD合并得到X；經(jīng)正交多載波調(diào)制，產(chǎn)生發(fā)射信號(hào) s（t）。發(fā)射信號(hào)經(jīng)過充分散射的多徑衰落信道到達(dá)接收機(jī)。接收機(jī)對(duì)接收信號(hào) r（t）進(jìn)行正交多載波解調(diào)，產(chǎn)生時(shí)頻二維矩陣R；經(jīng)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)，得到數(shù)據(jù)符號(hào)的估計(jì)值。

2.1 發(fā)射機(jī)

導(dǎo)引符號(hào) bP經(jīng)過時(shí)頻二維擴(kuò)頻[4]后，得到M行N列的導(dǎo)引擴(kuò)頻輸出矩陣 XP。如式(1)所示，為XP中的第m行第n列元素；為導(dǎo)引擴(kuò)頻矩陣第m行第n列元素；M表示頻域子載波個(gè)數(shù)，N表示時(shí)域碼片個(gè)數(shù)。數(shù)據(jù)符號(hào) bD的與導(dǎo)引符號(hào) bP的時(shí)頻二維擴(kuò)頻過程類似，這里不再贅述。

按照塊狀導(dǎo)引插入方式，將導(dǎo)引與數(shù)據(jù)擴(kuò)頻輸出合并[7]。其具體內(nèi)容：在數(shù)據(jù)矩陣 XD的相鄰2列碼片之間插入1列導(dǎo)引碼片。導(dǎo)引插入后得到M行2N列時(shí)頻二維矩陣X。然后經(jīng)過正交多載波調(diào)制，X變換為時(shí)域數(shù)據(jù) s（t）。如式(2)所示， Tw表示一個(gè)時(shí)域碼片的持續(xù)時(shí)間， xmn為X中第m行第n列元素。s(t)經(jīng)過添加循環(huán)前綴及射頻處理后，饋入天線。

圖1 系統(tǒng)模型(iifτ、分別表示充分散射多徑衰落信道第i條徑的多徑延時(shí)與多普勒頻移)

2.2 信道

考慮充分散射的多徑衰落信道，即散射體密集分布在發(fā)射端和接收端的各個(gè)方向上，接收信號(hào)由時(shí)間和空間上連續(xù)到達(dá)的多徑分量組成[8]。針對(duì)本文討論的時(shí)頻二維擴(kuò)頻信號(hào)，其信號(hào)帶寬在零到無窮大內(nèi)變化，取值范圍很廣。當(dāng)信號(hào)帶寬無限增大時(shí)，寬帶信號(hào)接收機(jī)的時(shí)間分辨率遠(yuǎn)小于多徑最大時(shí)延，此時(shí)，以時(shí)間分辨率為間隔，連續(xù)的多徑分量可分割為多條可分辨徑[9]。因此，發(fā)射信號(hào) s（t）經(jīng)過充分散射的多徑衰落信道得到接收信號(hào) r（t）：

其中，τi為第i條徑的時(shí)延，取值iBs；hi為第i條徑的衰落因子，服從瑞利分布，且不同路徑的 hi相互獨(dú)立； n（t）為疊加在信號(hào)上的加性白高斯噪聲。本文假設(shè)信道多徑延時(shí)分布為負(fù)指數(shù)分布[9,10]，即，其中，tm= 5 × 1 0-6為負(fù)指數(shù)分布的衰落因子。

多徑信道中，若存在多普勒擴(kuò)展，則信道的時(shí)間選擇性衰落受最大多普勒頻移fd影響，用相干時(shí)間Tc表征[11]。

多徑信道的頻率選擇性衰落，受多徑延時(shí)分布影響，用相干帶寬 Bc表征[11]。給定信道的相干帶寬Bc由式(5)、式(6)確定[12]，其中，為高斯超幾何函數(shù)。

當(dāng)Bs取值無限大時(shí)，接收機(jī)的時(shí)間分辨率無限小，多徑衰落信道中的可分辨徑無限多，結(jié)合服從負(fù)指數(shù)分布的信道多徑延時(shí)分布模型，式(5)變形為積分形式：

聯(lián)合式(6)、式(7)求解得到Bs取值無限大時(shí)的信道相干帶寬：

2.3 接收機(jī)

假設(shè)收發(fā)雙方已完成精確的時(shí)頻同步，接收機(jī)經(jīng)過射頻處理并且去除循環(huán)前綴，得到接收信號(hào)r（t）。r（t）經(jīng)過DFT變換，實(shí)現(xiàn)了正交多載波解調(diào)，得到了時(shí)頻二維接收矩陣R。

假設(shè)接收信號(hào)中各個(gè)子載波的輸入信號(hào)功率均為 Psi，輸入噪聲功率均為 Pni，則接收機(jī)的輸入信噪比為 PsiPni。接收矩陣R中的元素如式(10)、式(11)所示。其中，為第m行第n列導(dǎo)引和數(shù)據(jù)碼片的信道衰落因子；為疊加在第m行第n列導(dǎo)引和數(shù)據(jù)碼片上的加性白高斯噪聲；為 XD中第m行第n列元素，為 XP中第m行第n列元素。

經(jīng)過正交多載波解調(diào)后，對(duì)接收矩陣R進(jìn)行聯(lián)合相干非相干檢測(cè)。

1) 導(dǎo)引、數(shù)據(jù)恢復(fù)

分離導(dǎo)引、數(shù)據(jù)，得到導(dǎo)引矩陣 RP與數(shù)據(jù)矩陣RD。假設(shè)， RP與導(dǎo)引擴(kuò)頻矩陣的對(duì)應(yīng)元素相乘得到H，RD與數(shù)據(jù)擴(kuò)頻矩陣的對(duì)應(yīng)元素相乘得到S，如式(12)、式(13)所示。

2) 相干區(qū)域劃分

給定信道相干帶寬Bc與相干時(shí)間Tc，在接收矩陣R中，Bc除以子載波帶寬后得到頻域相干碼片個(gè)數(shù)(即相干行數(shù))、Tc除以時(shí)域碼片持續(xù)時(shí)間(包含循環(huán)前綴)后得到時(shí)域相干碼片個(gè)數(shù)(即相干列數(shù))。設(shè)R的相干行數(shù)為B，相干列數(shù)為T，則：

其中，Bs為信號(hào)帶寬，Ts為符號(hào)長(zhǎng)度，η為非循環(huán)前綴部分的長(zhǎng)度占總符號(hào)長(zhǎng)度的比例，Bo為一個(gè)子載波的帶寬，min表示取最小值，表示向下取整。

如式(16)所示，將R從上至下、從左至右順序劃分子矩陣，且每個(gè)子矩陣大小為B×T。子矩陣占據(jù)的時(shí)頻二維空間由相干行數(shù)與相干列數(shù)限定，因此又稱子矩陣為相干區(qū)域。結(jié)合式(14)～式（15），則R能夠劃分NBNT個(gè)相干區(qū)域：

3) 相干檢測(cè)

不失一般性，假設(shè)信道響應(yīng)在相干區(qū)域內(nèi)完全一致，在相干區(qū)域之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。針對(duì)第x行第y列相干區(qū)域，分離出導(dǎo)引碼片得到信道估計(jì)值；分離出數(shù)據(jù)碼片得到數(shù)據(jù)估計(jì)值。在對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)值進(jìn)行信道補(bǔ)償后，相干區(qū)域內(nèi)部的相干檢測(cè)完成。

其中，x∈｛1,2,…,NB｝、y∈｛1,2,…,NT｝ ，表示導(dǎo)引矩陣中第m行第n列元素，表示數(shù)據(jù)矩陣中第m行第n列元素，hxy表示第x行第y列相干區(qū)域的真實(shí)信道響應(yīng)。

4) 非相干檢測(cè)

將所有相干區(qū)域的檢測(cè)結(jié)果累加，實(shí)現(xiàn)非相干檢測(cè)。由于相干區(qū)域之間的信道衰落是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，非相干檢測(cè)能夠增加接收的分集度。結(jié)合式(12)～式(13)、式(19)～式(20)，得到符號(hào)判決量。

式(21)中第1項(xiàng)為期望信號(hào)，第2項(xiàng)是輸入噪聲一次項(xiàng)的加權(quán)和，第3項(xiàng)是輸入噪聲二次項(xiàng)之和，其中，后2項(xiàng)共同構(gòu)成判決變量中的噪聲分量。為簡(jiǎn)化敘述，文章后續(xù)部分將第2項(xiàng)稱為噪聲一次項(xiàng)，第3項(xiàng)稱為噪聲二次項(xiàng)。最后，將判決變量送入解調(diào)模塊，輸出數(shù)據(jù)符號(hào)的估計(jì)值。

3 性能分析

3.1 處理增益分析

考慮充分散射多徑衰落信道中時(shí)頻二維擴(kuò)頻的BPSK調(diào)制信號(hào)，針對(duì)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法，本節(jié)就其處理增益進(jìn)行分析。擴(kuò)頻信號(hào)處理增益定義為接收機(jī)解擴(kuò)輸出信噪比與輸入信噪比之比[2]如式(22)所示，其中，Pso為輸出信號(hào)功率，Pno為輸出噪聲功率，Pso/Pno為輸出信噪比。

由于信道衰落因子hmn為復(fù)高斯隨機(jī)變量，其均值為零、方差為，且不同相干區(qū)域的hxy獨(dú)立同分布，則服從自由度為2NBNT的χ2分布。假設(shè)=1，分別對(duì)式(21)中的期望信號(hào)分量與噪聲分量求功率，得到輸出信號(hào)功率與輸出噪聲功率，如式(23)、式(24)所示。

結(jié)合式(23)、式(24)，得到信號(hào)經(jīng)過聯(lián)合相干非相干檢測(cè)后的輸出信噪比：

擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益：

當(dāng)BTPsi/Pni＞＞1，即輸入信噪比足夠大時(shí)，式(24)中的噪聲一次項(xiàng)決定了輸出噪聲功率的大小。從式(26)中容易看出，此時(shí)處理增益與相干區(qū)域的大小、個(gè)數(shù)近似成正比。當(dāng)BTPsi/Pni＜＜1，即輸入信噪比足夠小時(shí)，式(24)中的噪聲二次項(xiàng)決定了輸出噪聲功率的大小。從式(26)中容易看出，此時(shí)輸出信噪比急劇下降，處理增益不僅受相干區(qū)域的大小、個(gè)數(shù)影響，還與輸入信噪比成正比。

3.2 處理增益上限

針對(duì)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法，式(2)給出了多徑衰落信道中，BPSK調(diào)制時(shí)頻二維擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益表達(dá)式。為深入分析處理增益的變化趨勢(shì)，現(xiàn)給出如下假設(shè)：

1) 相干時(shí)間能夠映射為整數(shù)個(gè)時(shí)域相干碼片，相干帶寬能夠映射為整數(shù)個(gè)頻域相干碼片；

2) 接收矩陣R能夠劃分為整數(shù)個(gè)相干區(qū)域；

3) 信噪比Eb/N0恒定，且Eb/N0=BsTs Psi/Pni。

在多徑衰落信道中，信號(hào)參數(shù)與信道參數(shù)之間的關(guān)系決定了不同的發(fā)送信號(hào)將經(jīng)歷不同的衰落類型[11]。針對(duì)信道衰落的4種類型，分別對(duì)處理增益進(jìn)行化簡(jiǎn)、分析。

① 平坦慢衰落

當(dāng)Bs≤Bc且Ts≤Tc時(shí)，信道衰落為平坦慢衰落。此時(shí)，根據(jù)式(14)、式(15)，式(26)可化簡(jiǎn)為

假設(shè)Eb/N0＞＞1，由式(27)可知，當(dāng)信號(hào)帶寬小于相干帶寬，并且符號(hào)長(zhǎng)度小于相干時(shí)間時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益與信號(hào)帶寬、符號(hào)長(zhǎng)度成正比，即在信號(hào)的時(shí)頻二維空間與信道相干區(qū)域一致時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益取得最大值。這一結(jié)論與文獻(xiàn)[6]的結(jié)論一致。

②頻選慢衰落

當(dāng)Bs＞Bc，Ts≤Tc時(shí)，信道衰落為頻選慢衰落。

此時(shí)，根據(jù)式(14)、式(15)，式(26)可化簡(jiǎn)為

由式(28)可知，當(dāng)信號(hào)帶寬遠(yuǎn)大于相干帶寬且符號(hào)長(zhǎng)度小于相干時(shí)間時(shí)，EbN0越大，處理增益越大；此外，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益與符號(hào)長(zhǎng)度成正比。

信號(hào)帶寬無限增大時(shí)，對(duì)式(28)求極限：

由式(29)可知當(dāng)符號(hào)長(zhǎng)度小于相干時(shí)間時(shí)，隨著信號(hào)帶寬的無限增大，處理增益不會(huì)無限增大。式(28)中，處理增益的表達(dá)式由2個(gè)多項(xiàng)式相除構(gòu)成；同時(shí)，信號(hào)帶寬無限增大時(shí)，處理增益存在極限。基于此，當(dāng)時(shí)，處理增益是Ts、Bs的連續(xù)函數(shù)[13]。根據(jù)文獻(xiàn)[13]中，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必存在最大值，可以得出：信道衰落為頻選慢衰落時(shí)，隨著信號(hào)帶寬的無限增大，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限存在，且由信道參數(shù)與信噪比確定。

考慮多徑時(shí)延tm無窮小的情況，信道的相干帶寬趨于無窮大，故頻選慢衰落信道無限逼近于AWGN信道。此時(shí)，隨著信號(hào)帶寬的無限增大，式(30)所示的處理增益極限趨近于無窮大。這與AWGN信道中擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的變化趨勢(shì)一致。

③平坦快衰落

當(dāng)Bs≤Bc，Ts＞Tc時(shí)，信道衰落為平坦快衰落。此時(shí)，根據(jù)式(14)、式(15)，式(26)可化簡(jiǎn)為

式(30)對(duì)df求偏導(dǎo)可知，當(dāng)信號(hào)帶寬小于相干帶寬且符號(hào)長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于相干時(shí)間時(shí)，df越小，處理增益越大。從式(30)中還可以看出，在該種情況下，Eb/N0越大，處理增益越大；此外，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益與信號(hào)帶寬成正比。

符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，對(duì)處理增益求極限：

由式(31)可知當(dāng)信號(hào)帶寬小于相干帶寬時(shí)，隨著符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，處理增益不會(huì)無限增大。式(30)中，處理增益的表達(dá)式由2個(gè)多項(xiàng)式相除構(gòu)成；同時(shí)，符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，處理增益存在極限。基于此，當(dāng)Ts∈[Tc,∞]、Bs∈[0,Bc]時(shí)，處理增益是Ts、Bs的連續(xù)函數(shù)[13]。根據(jù)文獻(xiàn)[13]中，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必存在最大值，可以得出：信道衰落為平坦快衰落時(shí)，隨著符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限存在，且由信道參數(shù)與信噪比確定。

考慮最大多普勒頻移fd無窮小的情況，信道的相干時(shí)間趨于無窮大，故平坦快衰落信道無限逼近于AWGN信道。此時(shí)，隨著符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，式(32)所示的處理增益極限趨近于無窮大。這與AWGN信道中擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的變化趨勢(shì)一致。

④頻選快衰落

當(dāng)Bs＞Bc，Ts＞Tc時(shí)，信道衰落為頻選快衰落。此時(shí)，根據(jù)式(14)、式(15)，式(26)可化簡(jiǎn)為

式(32)對(duì)fd求導(dǎo)可知，當(dāng)信號(hào)帶寬大于相干帶寬且符號(hào)長(zhǎng)度大于相干時(shí)間時(shí)，fd越小，處理增益越大；從式(32)中還可以看出，在該種情況下，Eb/N0越大，處理增益越大。

信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，對(duì)處理增益求極限：

由式(33)～式(35)中的3組極限可知，隨著信號(hào)帶寬無限增大或者符號(hào)長(zhǎng)度無限增大，處理增益不會(huì)無限增大。式(32)中，處理增益的表達(dá)式由2個(gè)多項(xiàng)式相除構(gòu)成；同時(shí)，信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，處理增益存在極限。基于此，當(dāng)時(shí)，處理增益是sT、sB的連續(xù)函數(shù)[13]。根據(jù)文獻(xiàn)[13]中，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必存在最大值，可以得出：信道衰落為頻選快衰落時(shí)，隨著信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限存在，且由信道參數(shù)與信噪比確定。

考慮最大多普勒頻移fd無窮小且多徑時(shí)延tm無窮小，信道的相干時(shí)間以及相干帶寬均趨于無窮大，故頻選快衰落信道無限逼近于AWGN信道。此時(shí)，隨著信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，式(36)所示的處理增益極限趨近于無窮大。這與AWGN信道中擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的變化趨勢(shì)一致。

綜上所述，針對(duì)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法，給定Eb/N0與多徑信道參數(shù)時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限存在。在上述條件下，若信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大，擴(kuò)頻增益無限增大，接收機(jī)的輸入信噪功率比無限下降，但由于擴(kuò)頻信號(hào)實(shí)際獲得的處理增益不能超過其上限，接收機(jī)檢測(cè)信號(hào)的輸出信噪比無限低，使得接收信號(hào)無法被正確解調(diào)。然而，在最大多普勒頻移fd無窮小、多徑時(shí)延tm無窮小的情況下，多徑衰落信道無限逼近于AWGN信道。此時(shí)隨著信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，處理增益無限增大。

基于上述分析，可以得出：多徑衰落信道中，擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限存在。該上限存在的原因是：多徑衰落信道中，當(dāng)信號(hào)的時(shí)頻二維區(qū)域超過信道的相干區(qū)域時(shí)，相干檢測(cè)不能直接使用[4]，取而代之的是聯(lián)合相干非相干檢測(cè)。其中，在相干區(qū)域內(nèi)進(jìn)行導(dǎo)引輔助的相干檢測(cè)時(shí)，由于信道估計(jì)受噪聲影響，信道估計(jì)值與信號(hào)共軛相乘產(chǎn)生了噪聲的二次項(xiàng)。Eb/N0恒定時(shí)，隨著信號(hào)帶寬或者符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，接收機(jī)的輸入信噪功率比無限下降，又因?yàn)橄喔蓞^(qū)域的大小受限，所以相干區(qū)域內(nèi)的信道估計(jì)值受到的噪聲影響逐漸增大。由式(24)～式(26)可知，在該種情況下，信道補(bǔ)償過程中產(chǎn)生的噪聲二次項(xiàng)逐漸增大，并且超越噪聲一次項(xiàng)成為決定輸出噪聲功率的主要因素，此時(shí)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)的輸出信噪比急劇惡化，故處理增益不能無限增大。

4 數(shù)值與仿真結(jié)果

以聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法為基礎(chǔ)，本部分利用 MATLAB仿真軟件仿真了時(shí)頻二維擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益，同時(shí)根據(jù)式(28)、式(30)、式(32)計(jì)算出擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的理論值，最后簡(jiǎn)要分析了擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的性質(zhì)。為了得到精確的仿真結(jié)果，處理增益的仿真值是通過對(duì)多個(gè)符號(hào)的仿真值進(jìn)行平均得到的，用于平均的符號(hào)個(gè)數(shù)等于仿真時(shí)間除以符號(hào)長(zhǎng)度，其中，仿真時(shí)間為200s。數(shù)值與仿真分析基于表1所示的參數(shù)設(shè)置。

表1 數(shù)值與仿真分析的參數(shù)設(shè)置

4.1 處理增益的數(shù)值與仿真結(jié)果

如圖2～圖5所示，處理增益的仿真曲線與理論曲線基本相符，但數(shù)值上存在著不超過3dB的差異。其原因在于：理論分析中，相干區(qū)域內(nèi)信道響應(yīng)是假設(shè)完全相關(guān)的，即信道響應(yīng)的時(shí)域相關(guān)系數(shù)為1，頻域相關(guān)系數(shù)也為 1；而仿真過程中，相干區(qū)域內(nèi)信道響應(yīng)是部分相關(guān)的，其時(shí)域相關(guān)系數(shù)不超過0.5[11]，頻率相關(guān)系數(shù)不超過0.9[12]。因而，輸出信噪比的仿真值比理論值低，進(jìn)一步使得處理增益的仿真值比理論值低。

圖2給出了 Eb/ N0取不同值時(shí)，處理增益隨信號(hào)帶寬變化的理論與仿真曲線；圖3給出了最大多普勒頻移取不同值時(shí)，處理增益隨信號(hào)帶寬變化的理論與仿真曲線。

圖2 處理增益隨信號(hào)帶寬變化的理論與仿真曲線（符號(hào)長(zhǎng)度 Ts= 0 .002 25s ，多徑信道的最大多普勒頻移 fd= 1 00Hz ）

圖3 處理增益隨信號(hào)帶寬變化的理論與仿真曲線（符號(hào)長(zhǎng)度 Ts= 0 .09s ，信噪比 Eb N0= 2 0dB ）

從圖2、圖3可以看出：給定符號(hào)長(zhǎng)度時(shí)，隨著信號(hào)帶寬的增大，處理增益并非線性增大，而是無限趨近式(29)、式(33)給出的極限值。其原因在于：在相干區(qū)域內(nèi)進(jìn)行導(dǎo)引輔助的相干檢測(cè)時(shí)，由于信道估計(jì)受噪聲影響，信道估計(jì)值與信號(hào)共軛相乘產(chǎn)生了噪聲的二次項(xiàng)。 Eb/N0恒定時(shí)，隨著信號(hào)帶寬的無限增大，接收機(jī)的輸入信噪功率比無限下降，又因?yàn)橄喔蓞^(qū)域的大小受限，所以相干區(qū)域內(nèi)的信道估計(jì)值受到的噪聲影響逐漸增大，式(24)中的噪聲二次項(xiàng)會(huì)迅速超越噪聲一次項(xiàng)，并成為決定輸出噪聲功率的主要因素。根據(jù)式(25)，此時(shí)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)的輸出信噪比急劇惡化。

圖2表明了給定符號(hào)長(zhǎng)度時(shí)，隨著信號(hào)帶寬的無限增大，若 E b/ N0增大，則輸入信噪功率比增大，進(jìn)而相干區(qū)域的信道估計(jì)值受噪聲影響減小，噪聲二次項(xiàng)引起的信噪比損失減小，故處理增益增大。圖3表明了當(dāng)符號(hào)長(zhǎng)度大于相干時(shí)間時(shí)，最大多普勒頻移越小，能實(shí)現(xiàn)相干檢測(cè)的相干區(qū)域越大，故處理增益越大。

圖4 處理增益隨符號(hào)長(zhǎng)度變化的理論與仿真曲線（信號(hào)帶寬Bs= 8 kHz ，多徑信道的最大多普勒頻移 fd= 1 00Hz ）

圖5 處理增益隨符號(hào)長(zhǎng)度變化的理論與仿真曲線（信號(hào)帶寬 Bs= 8 kHz 、信噪比 E b/N0= 2 0dB ）

圖4給出了 Eb/N0取不同值時(shí)，處理增益隨符號(hào)長(zhǎng)度變化的理論與仿真曲線；圖5給出了最大多普勒頻移取不同值時(shí)，處理增益隨符號(hào)長(zhǎng)度變化的理論與仿真曲線。

從圖4、圖5可以看出：給定信號(hào)帶寬時(shí)，隨著符號(hào)長(zhǎng)度的增大，處理增益并非線性增大，而是無限趨近式(31)、式(34)給出的極限值。其原因在于：在相干區(qū)域內(nèi)進(jìn)行導(dǎo)引輔助的相干檢測(cè)時(shí)，由于信道估計(jì)受噪聲影響，信道估計(jì)值與信號(hào)共軛相乘產(chǎn)生了噪聲的二次項(xiàng)。 Eb/N0恒定時(shí)，隨著符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，接收機(jī)的輸入信噪功率比無限下降，又因?yàn)橄喔蓞^(qū)域的大小受限，所以相干區(qū)域內(nèi)的信道估計(jì)值受到的噪聲影響逐漸增大，式(24)中的噪聲二次項(xiàng)會(huì)迅速超越噪聲一次項(xiàng)，并成為決定輸出噪聲功率的主要因素。根據(jù)式(25)，此時(shí)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)的輸出信噪比急劇惡化。

圖4表明了給定信號(hào)帶寬時(shí)，隨著符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，若 Eb/N0增大，則輸入信噪功率比增大，進(jìn)而相干區(qū)域的信道估計(jì)值受噪聲影響減小，噪聲二次項(xiàng)引起的信噪比損失減小，故處理增益增大。圖5表明了當(dāng)符號(hào)長(zhǎng)度大于相干時(shí)間時(shí)，最大多普勒頻移越小，能實(shí)現(xiàn)相干檢測(cè)的相干區(qū)域越大，故處理增益越大。

4.2 處理增益上限存在的原因

3.2節(jié)分析了處理增益不能無限增大的原因。從分析中可以看出，隨著信號(hào)帶寬或者符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，噪聲二次項(xiàng)的迅速增大是導(dǎo)致擴(kuò)頻信號(hào)處理增益存在上限的原因。本節(jié)將針對(duì)噪聲二次項(xiàng)對(duì)輸出信噪比的影響，給出其數(shù)值與仿真結(jié)果。

假設(shè)接收信號(hào)中的加性白高斯噪聲是接收機(jī)內(nèi)部的熱噪聲，當(dāng)環(huán)境溫度為290K時(shí)，白噪聲的功率譜密度為 N0=-1 74dBm/Hz 。

圖 6給出了不同信號(hào)帶寬下，聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法的輸出信號(hào)功率、輸出噪聲一次項(xiàng)的功率以及輸出噪聲二次項(xiàng)的功率。如圖6所示，信號(hào)帶寬增大時(shí)，輸出信號(hào)功率與輸出噪聲的一次項(xiàng)功率變化一致，都為先降低后保持不變；而輸出噪聲的二次項(xiàng)功率則先降低后線性增加。式(24)中輸出噪聲總功率為噪聲的一次項(xiàng)功率與二次項(xiàng)功率之和。因此，隨著信號(hào)帶寬的無限增大，輸出信號(hào)功率保持不變，但輸出噪聲二次項(xiàng)的功率卻無限增大，則輸出信噪比會(huì)無限下降，故處理增益不能無限增大。

圖6 不同信號(hào)帶寬下，輸出信號(hào)功率、輸出噪聲一次項(xiàng)、噪聲二次項(xiàng)的功率（符號(hào)長(zhǎng)度 Ts= 0 .09s ， Eb /N0= 2 0dB，多徑信道的最大多普勒頻移 fd= 1 00Hz）

圖7給出了不同符號(hào)長(zhǎng)度下，聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法的輸出信號(hào)功率、輸出噪聲一次項(xiàng)的功率以及輸出噪聲二次項(xiàng)的功率。如圖7所示，符號(hào)長(zhǎng)度增大時(shí)，輸出信號(hào)功率與輸出噪聲的一次項(xiàng)功率均保持不變，而輸出噪聲的二次項(xiàng)功率則線性增加。式(24)中輸出噪聲總功率為噪聲的一次項(xiàng)功率與二次項(xiàng)功率之和。因此，隨著符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，輸出信號(hào)功率保持不變，但輸出噪聲二次項(xiàng)的功率卻無限增大，則輸出信噪比會(huì)急劇下降，故處理增益不能無限增大。

圖7 不同符號(hào)長(zhǎng)度下，輸出信號(hào)功率、輸出噪聲一次項(xiàng)、噪聲二次項(xiàng)的功率（信號(hào)帶寬 Bs= 8 kHz ，信噪比 Eb/N0= 2 0dB，多徑信道最大多普勒頻移 fd= 1 00Hz）

從圖6～圖7中可以看出，在多徑衰落信道中，EbN0恒定時(shí)，隨著信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，輸出噪聲一次項(xiàng)的功率保持不變，但輸出噪聲二次項(xiàng)的功率卻無限增大。當(dāng)信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度增大到一定程度時(shí)，噪聲二次項(xiàng)便超越噪聲一次項(xiàng)，并成為了決定輸出噪聲功率的主要因素，此時(shí)輸出信噪比會(huì)急劇下降，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益不能無限增大，即擴(kuò)頻信號(hào)處理增益的上限存在。

綜上所述，針對(duì)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法，在充分散射的多徑衰落信道中，信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益不會(huì)無限增大。從圖 2～圖 5給出的數(shù)值與仿真結(jié)果中容易看出：BPSK調(diào)制、20dB信噪比、100Hz最大多普勒頻移、5×10-6負(fù)指數(shù)衰落因子的充分散射多徑信道，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益不超過30dB。

5 結(jié)束語

本文考慮充分散射多徑衰落信道中的BPSK調(diào)制擴(kuò)頻信號(hào)，針對(duì)聯(lián)合相干非相干檢測(cè)算法，分析得到信號(hào)帶寬無限增大或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，擴(kuò)頻信號(hào)的處理增益不能無限增大；處理增益的上限由信道參數(shù)與信噪比確定。究其原因，當(dāng)信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度無限增大時(shí)，接收機(jī)的輸入信噪功率比無限下降，并且由于相干區(qū)域的大小受限，其相干區(qū)域內(nèi)的信道估計(jì)值受到的噪聲影響逐漸增大。此時(shí)，信道補(bǔ)償過程中產(chǎn)生的噪聲二次項(xiàng)逐漸增大，并且超越噪聲一次項(xiàng)成為決定輸出噪聲功率的主要因素，故聯(lián)合相干非相干檢測(cè)的輸出信噪比急劇惡化。但是當(dāng)最大多普勒頻移無窮小、多徑時(shí)延無窮小時(shí)，多徑衰落信道無限逼近于 AWGN信道，在該種情況下，隨著信號(hào)帶寬或符號(hào)長(zhǎng)度的無限增大，處理增益無限增大。綜上所述，本文對(duì)多徑衰落信道中擴(kuò)頻信號(hào)處理增益上限的研究，可以從理論上指導(dǎo)需要隱蔽無線通信的工程應(yīng)用。

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