一種基于自相關函數的載波頻偏估計方法

龔岳洲，周新力，王文琰，鞠振飛

（①海軍航空工程學院，山東 煙臺 264001；②海軍裝備部駐上海地區軍事代表局，上海 200000）

0 引言

載波同步的是數字通信系統必須解決的問題，消除發送端和接收端載波頻率的偏移是載波同步的關鍵技術。由于突發通信具有短時性、隱蔽性和不易截獲的特點，被廣泛應用于軍事通信，必須實現快速的載波同步[1]。

文獻[2]給出了在高斯白噪聲中對正弦波信號頻率進行最大似然估計(MLE，Maximum Likelihood Estimation)算法，估計誤差的方差達到了克拉美羅限，因此是最優估計.由于 MLE算法計算量大，難以實時進行處理。于是提出了很多基于最大似然估計的簡化算法，Kay在1989年提出了經典的Kay算法[3]，Kay算法相對于最大似然估計(MLE)算法在計算復雜度有了很大簡化，但是存在較高的信噪比門限（6 dB），當接收端信噪比小于該門限時，性能急劇惡化，沒有達到工程應用的要求。而針對Kay算法高信噪比門限的缺點，文獻[4]提出了L&R算法，L&R算法也是基于最大似然算法的簡化算法，具有很低信噪比門限（-10 dB），完全能滿足工程應用要求，但頻偏估計范圍過窄，也不適合運用于工程上。文獻[5]根據最大似然方程的另一種近似解，提出了Fitz算法,在頻差較小時均能取得較高的估計精度。但是，t同樣存在估計范圍小的缺點，且計算復雜度較高的缺點。文獻[6]提出了M&M算法，M&M算法既具有低的低信噪比門限，又能估計很大的頻偏，但是復雜度太高，同步過慢，不利于實時處理。

本文利用相位折疊現象使得自相關函數的頻偏具有周期化規律，基于這一思想，本文提出一種利用最大似然估計中的自相關函數進行頻偏估計的算法，該算法估計范圍廣，精度高且復雜度低，適于突發通信。

1 信號模型

本算法采用MPSK調制方式，在高斯白噪聲信道下進行傳輸，高斯白噪聲的雙邊譜密度為 N0/2，采樣時滿足Nyquist準則，已經完成信道均衡，消除了碼間干擾。并假定接受端進行載波同步之前已經進行精確的定時同步，不存在定時偏差。假設接受端的載波頻率相對于發送端的載波頻率有efHz的頻率偏差，則接收端基帶信號表達式如下：

其中，na是所要接受的信號，對于MPSK信號，可以表示為[3]：

Ts是符號周期，是載波相位，θ0在觀測數據長度N內，是確定的未知量，fe是需要估計的載波頻偏，Nn是加性高斯白噪聲，其均值為零且方差為σ2[7]。實際上由于表示 an的復數共軛），于是可以定義，即得到：在統計上是與 N 等價的，A是幅度n噪聲，nθ是相位噪聲，因此nb可以看成高斯白噪聲下的單音正弦信號[8]。文獻[3-10]提出了很多經典的方法，下面介紹一種新的頻偏估計方法。

2 算法分析

由經典的最大似然估計[9]得到：

可以等效為：

令：

于是得到最大似然的估計方程：

由于最大似然估計是非線性最優估計，復雜度太高，所以所以并不適用于工程實際。本文也是基于 R （k）得到的一種頻偏估計方法。

實際上R(k)可以寫成[10]:

可得簡化的公式：

η（ k ） 表示復噪聲 γ （ k ） 在相位上的噪聲。定義arg（R（ k ） ） 為 R （k） 的相位，則：

于是可得：

為直觀的分析算法原理，先用matlab進行蒙托卡羅仿真，仿真條件：數據長度N=50，歸一化頻偏信噪比

圖1 arg(R(k+1))-arg(R(k))的周期變化規律

從上面的分析可以將頻偏的估計轉化為對M的估計。新算法可以描述為：

1）計算自相關函數R(k)。

3）當頻偏大于零時，設定閘值 H，得到 X+1個 k 滿足

5）當頻偏小于零時，設定閘值 H，得到 X+1個 k 滿足 temp

7）求得歸一化頻偏feT=G/M。

接下來將從估計范圍，算法復雜度三個方面來分析本算法的性能。在此之前先介紹三種基于 R(k)的經典算法。

L&R算法[4]，其表達式為：

M&M算法[6], 其表達式為：

本算法的計算復雜度由于只需要計算自相關函數，相對于M&M算法有很明顯的改善，對于突發通信來說本算法具有突出的優勢。下表是L&R算法，kitz算法，M&M算法與本文算法在復雜度上的比較。

表1 復雜度比較

當數據長度N為1 000，L為500時，四種算法的計算復雜度依次為：乘法次數375 250、375 252、380 252、756 001；加法次數374 250、374 748、377 250、752 500。由此可知本文算法復雜度最低，M&M算法復雜度最高。

3 算法性能分析

通過仿真對上述討論及算法進行了驗證,并將本文算法與L&R算法、Fitz算法和M&M算法進行了比較。仿真使用了 AGWN下的 QPSK信號,即M=4。仿真中估計精度由歸一化估計方差來衡量,簡稱為估計方差,定義為

AGWN下的QPSK信號，數據長度N為100，性噪比為10 dB，用MATLAB進行蒙托卡羅仿真實驗，仿真結果如圖2所示，其中圖2(c)的縱坐標數量級為 10-3。從圖中可以看出，本文算法和 M&M算法估計范圍最大，歸一化頻偏范圍可以近似得到0.5，驗證了在本文第2節得到的結論。

算法的同步性能受信噪比的影響，因此本文在不同信噪比下進行仿真。圖3是觀察數據長度N=200,L=N/2=128,歸一化頻偏feT=0.002時,L&R算法、Fitz算法、M&M 算法和本文算法的估計方差隨信噪比變化的曲線圖,它反映了各算法在不同的信噪比下估計精度的變化趨勢。

圖2 頻偏范圍比較

圖3 估計方差與信噪比的關系

由仿真圖可以看出,在高信噪比條件下M&M算法的估計精度最高,新算法次之,L&R算法和Fitz算法的估計精度不及M&M算法和新算法。M&M算法雖然估計精度高,但是以較高的計算復雜度為代價。新算法在不同信噪比下的估計精度介于 M&M算法和L&R算法、Fitz算法之間,并且隨著信噪比的增加,新算法估計精度接近于 M&M 算法,但是在低信噪比下,新算法的估計精度較低，仿真圖3驗證了理論分析中新算法估計精度較高的性能。

4 結語

本文利用相位折疊現象使得自相關函數的頻偏具有周期化規律，基于這一思想,本文提出一種利用最大似然估計中的自相關函數進行頻偏估計的算法,該算法估計范圍廣,精度高,且計算簡單易于實現,適合短時突發信號傳輸模式,因此具有較高的實用價值,仿真結果也證明了算法的性能但是算法在低信噪比時估計精度較低,所以不適合在低信噪比情況下工作。

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