基于FLAC3D巖石應變軟化模型的研究

周 勇，王 濤，b，呂 慶，朱遠樂，王翔翔

（武漢大學a.水資源與水電工程科學國家重點實驗室；b.水工巖石力學教育部重點實驗室，武漢 430072）

基于FLAC3D巖石應變軟化模型的研究

周 勇a，王 濤a，b，呂 慶a，朱遠樂a，王翔翔a

（武漢大學a.水資源與水電工程科學國家重點實驗室；b.水工巖石力學教育部重點實驗室，武漢 430072）

在巖土工程的實踐中，許多巖土體材料在載荷作用下表現出應變軟化特性，因而在巖土工程數值模擬中如何更好地表現出巖土材料的應變軟化特性非常關鍵。首先分析了“圓形孔洞問題”這一巖土工程領域的基本問題，并對該問題基于應變軟化模型建立的現有理論解與FLAC3D的數值計算結果進行了對比，所得到的結果驗證了FLAC3D應變軟化模型在數值計算時的準確性和適用性。接著采用FLAC3D程序中的應變軟化模型與理想彈塑性模型對該問題進行了計算，通過對計算結果的對比分析，認為忽略應變軟化巖土材料的強度軟化特性對工程是偏于危險的。最后對FLAC3D中應變軟化模型的相關參數（εpi、殘余系數）進行了研究。研究成果有助于研究人員更深入地理解巖石應變軟化模型的力學本質。

應變軟化；孔洞擴張；FLAC3D

1 研究背景

巖石在應力達到峰值強度之后，隨著變形的繼續增加，其強度迅速降到一個較低的水平，這種由于變形引起的巖石材料性能劣化的現象稱之為“應變軟化”。多年來巖土材料的應變軟化問題一直為力學界和巖土工程界所關注，如何準確地描述巖土的應變軟化已是巖土力學研究的難題［1］。

很多學者對應變軟化理論及數值模型等方面進行了深入研究。文獻［2］在1972年提出了含有應變軟化段的彈塑性本構關系；文獻［3］給出了完整的彈塑性本構積分的數值格式和增量型彈塑性有限元求解算法；文獻［4］研究了圍壓對軟巖峰后軟化特性的影響和軟巖的宏觀物理參數峰后應變軟化規律等；文獻［5］對三峽花崗巖進行了常規三軸壓縮試驗，并基于彈塑性理論，根據試驗數據擬合屈服面，研究花崗巖強度參數與峰后應變軟化參量的關系，建立了花崗巖的峰后應變軟化模型；文獻［6］通過對軟弱泥巖進行常規三軸壓縮試驗得到應力應變關系曲線，然后采用數值擬合的方法建立了廣義黏聚力和廣義內摩擦角等巖石峰后力學參數的軟化規律，最后利用數值模擬方法進行了驗證。

這些理論研究很大程度上加深了人們對巖石塑性應變軟化特性的認識，對實際工程應用也起到了一定的推動作用。文獻［7］研究了巖石應變軟化模型在深埋隧洞數值分析中的應用，并且通過數值加載分析了Mohr-Coulomb彈塑性模型和應變軟化模型，計算得到了巖石應力應變關系之間的區別；文獻［8］提出了將應變軟化過程簡化為一系列的脆性應力跌落與塑性流動過程的思想，并將這種模擬應變軟化過程的思想方法用于求解均勻初始應力場中應變軟化介質內的圓形隧道開挖問題；文獻［9］基于應變軟化模型建立了一種簡化程序應用于分析圓形隧洞的應力及位移分布特性等問題；文獻［10］在有限元數值分析程序中，采用基于Mohr-Coulomb屈服準則的應變軟化模型，對土質邊坡穩定性進行了分析，并將結果與其它本構關系進行了對比，認為采用應變軟化模型對土質邊坡穩定性問題進行分析是比較合理的。目前巖土應變軟化模型的應用在地下隧道工程等方面已經有較大發展，但在煤層開采、邊坡穩定性分析等其他巖土工程領域還有待進一步的發展。

本文基于以上研究成果，分析了巖土體應變軟化的一般特性和幾種典型的簡化模型。通過分析巖土工程領域的基本問題之一“圓形孔洞問題”，對該問題基于應變軟化模型建立的現有理論解與FLAC3D的數值計算結果進行對比，來驗證該數值計算方法的準確性和適用性。最后對FLAC3D中應變軟化模型的特性進行了分析研究。

2 巖土應變軟化特性與簡化模型

巖土體的應力應變全過程曲線能夠較好的反映巖土材料的物理力學特性［11］。圖1為巖石在低側限壓縮條件下典型的應力應變關系曲線。該曲線包含了2個基本特征行為區間：彈性特征區間和非線性特征區間。其中彈性特性區間的應變量微小且可逆；而非線性區間的應變中包含著永久變形，這是因為在整個非線性階段（包括峰前）中均有損傷（主要是微裂紋的形成及傳播）的產生和積累。

圖1 低側限條件下巖石典型的應力－應變曲線Fig.1 Typical com pressive stress-strain curve of rock under low lateral confinement

峰后非線性階段一般包含有脆性特征區間、軟化特征區間及殘余強度區間。巖石脆性特征表現為在達到峰值的瞬間其承載能力迅速下降的行為，整個過程的應變極小，但伴隨有微裂紋的急劇擴展與集結；軟化特征表現出一個承載能力持續降低的過程，且整個過程的變形量相對較大；殘余強度階段主要表現為巖體能夠在低載荷作用下“無限期”的產生形變。

基于以上分析，并考慮到不同巖土體材料力學特性所表現出的差異，根據室內外巖土力學試驗及廣泛的巖體工程經驗可以基于不同巖體類別將圖1進行簡化，巖土材料的本構關系可以劃分為純彈性（圖2（a））、理想彈塑性（圖2（b））、彈脆塑性（圖2（c））、應變軟化（圖2（d））特性等幾種本構關系，圖2顯示了4種基本的簡化模型類型。有關前3種本構關系的研究方法與理論已經發展的非常成熟，而對于具有廣泛應用價值的應變軟化本構關系，由于其相對復雜使得在該方向的研究上還存在較多的困難需要解決。文獻［12］建議將彈脆塑性本構（elastic-brittle-plastic）、應變軟化本構（elastic-strain softening）和理想彈塑性本構（elastic-perfectly plastic）分別對應于巖體質量的很好、中等及很差等3種情況。

圖2 幾種簡化的典型巖石應力－應變曲線Fig.2 Typical simplified stress-strain curves of rock

目前，利用基于三維顯式有限差分法的FLAC3D可以對圖2中所有類型的本構模型進行模擬，而且對于圖1表示的復雜本構關系也可以通過采用編制相應程序后進行內嵌的方式進行相應的數值計算。

FLAC3D［13］中的應變軟化模型是基于與剪切流動法則不相關聯而與拉力流動法則相關聯的Mohr-Coulomb屈服準則建立的一種本構模型。該模型與理想彈塑性本構模型的差別在于塑性屈服開始后，黏聚力、摩擦角、剪漲擴容和抗拉強度可能會發生變化，由此在數值模擬計算過程中反映出巖土體的應變軟化特性。

3 應變軟化模型數值驗證——“孔洞擴張問題”

在巖土工程的實踐中，多數巖、土體材料在工程載荷作用下表現出應變軟化特性，因此研究某類工程基本問題在應變軟化條件下的解析解或者研究模擬應變軟化行為的數值方法具有很重要的理論價值和工程意義。

“圓形孔洞問題”作為巖土工程領域的基本問題之一，長期受到研究者的廣泛關注。其研究意義不僅在于對巖土工程中可以簡化為類似問題的變形預測與支護設計有指導意義（如圓形巷道和硐室等的穩定、石油工程中的井壁穩定和巖土力學中的擴孔等問題等），而且由于研究對象相對簡單，該研究成果又能夠作為檢驗數值分析方法及程序正確與否的經典考題［8］。

3.1 “孔洞擴張問題”概述

由于孔壁處受到內壓力pi的作用，巖土體產生擴張，孔周圍巖體經歷3個階段：當pi較小時，巖土體處于彈性階段；當pi繼續增大并達到一定值時，孔壁附近巖土體進入軟化階段；隨著pi繼續增大，孔壁附近巖土體又進入殘余強度階段，最終在孔周圍形成殘余強度區、軟化區、彈性區，其中殘余強度區與軟化區構成了整個塑性區。圖3顯示了一個在初始處于彈性狀態的連續均勻各向同性介質的圓形孔洞，其內壁受到均勻內壓pi作用時孔口附近巖土體的物理力學狀態。

圖3 無限區域介質內的“圓形孔洞問題”Fig.3 Circular cavity in an infinitemedium

雖然“圓形孔洞問題”在有關其物理力學機理的研究中進行了很多簡化（如承受均勻地應力作用，圓形規則孔洞，考慮成平面應變問題等），但在探求其考慮應變軟化條件下解析解的問題上卻仍遇到了很多困難。這主要由于模擬應變軟化本構關系時，其峰值后區為負斜率，導致傳統彈塑性理論中增量應力－應變矩陣出現奇異或負定，從而使得數值解變得不穩定或者不可解［14］。同時應變軟化過程中應力、塑性應變與強度參數之間關系非常復雜，如果多個材料強度參數分別發生變化，就更難給出此類應變軟化問題的解析解。

目前，在“孔洞擴張問題”研究方面，主要是基于簡化的“三折線”應變軟化模型進行研究，圖4給出了在“三折線”假設條件下應變軟化模型的應力應變關系曲線。文獻［15－16］采用Mohr-Coulomb屈服準則對土體孔洞擴張過程中的擴展壓力、位移與塑性區等進行了分析。文獻［17］采用經典彈塑性理論，通過求自相似解（self-similar solutions，此方法不需求出顯式表達形式的解）的方法，分析了圓形洞室問題在應變軟化介質中的地層反應曲線（ground reaction curve）以及軟化區與殘余強度區的范圍。文獻［18］基于Tresca屈服準則給出了應變軟化特性材料中“孔洞擴張問題”的理論解。

3.2 基于應變軟化Tresca材料的“孔洞擴張問題”理論解

文獻［18］基于圖3和圖4進行了“孔洞擴張問題”數值解的推導。圖4中，參數β，f和h的值可由三軸壓縮試驗測得。其中f，h為非負的比例系數，其值在等于1、大于1和小于1時，分別對應于材料不可壓縮、剪脹和剪縮的特性。Rf，Rp分別為殘余強度區、軟化區、彈性區三者之間的交界面半徑。根據受力特點，此類問題可按平面應變問題求解，σr，σθ分別與σ1，σ3相對應，應變符號及對應關系類同。

圖4 應變軟化模型的簡化應力應變關系曲線［19］Fig.4 Sim plified stress-strain curves of strain softeningmodel［19］

根據Tresca屈服準則，材料屈服函數為

在初始屈服時，式中σ0＝2C0，C0為材料的凝聚力。在應變軟化區內，σ0＝2C0－λεpr，εpr為軟化區內的徑向塑性應變；在塑性流動區，σ0＝2Ccr，Ccr為材料的殘余凝聚力。

文獻［18］中考慮應變軟化特性Tresca材料的擴孔問題解析解的部分結果如下。

殘余強度區的位移場與應力場為

式中：ur為徑向位移；B＝（1＋v）C0／E，E為材料的名義彈性模量；v為材料的泊松比。

殘余強度區和應變軟化區的半徑之比為

殘余強度區的半徑為

式中λ＝2（C0－Ccr）／［（β－1）B］。

孔周進入流動區的最小擴孔壓力為

3.3 算例驗證與分析

為了驗證采用基于FLAC3D程序的應變軟化模型進行數值計算時的準確性和適用性，根據以上建立的基于應變軟化Tresca材料的“孔洞擴張問題”理論解與FLAC3D數值計算結果進行對比分析是十分有必要且可行的。下文以一個簡單的力學分析模型為例進行對比分析。

模擬圓形孔洞擴張問題，為了便于分析對比和計算，孔洞的半徑設為1 m，外周界壓力p0為0 MPa。模型的材料參數設定如下：材料的彈性模量E為250 MPa；泊松比v為0.25，凝聚力C0取0.5 MPa；殘余凝聚力Ccr取0.45 MPa；f和h均取為1；β取為1.468 8。由于研究對象是基于Tresca屈服準則，內摩擦角和剪脹角均可取為0。

采用以上參數，根據公式（1）至（6）可以計算得到該模型的具體解析解結果，本文中主要分析了2種方案的位移分布及塑性區分布情況。如圖7為繪制的圍巖特性曲線圖（其中橫坐標Pi／C0為內壓力與材料凝聚力之比，縱坐標ru為孔洞內壁徑向位移），圖8為Rp／R0與Pi／C0關系曲線圖（其中縱坐標Rp／R0為塑性區半徑與孔洞半徑之比）。

FLAC3D數值計算模型的建立：利用FLAC3D數值計算程序，建立了如圖5所示的圓形孔口擴展模型，模型的尺寸、采用的材料參數均與力學分析模型相同或等效。有關“三折線”應變軟化模型，在FLAC3D程序中可以采用式（7）表示其峰后應力應變關系：

式中：殘余系數η＝Ccr／C0，可反映后區應力跌落的程度，εp1為軟化階段與殘余應力階段交界點處的總塑性應變，算例中“孔洞擴張問題”理論解中的β取1.468 8時通過相應公式轉換可等效于FLAC3D程序中εp1＝1.875×10－3。

圖5 簡化計算模型Fig.5 Simplified calculation model

為了保證數值計算的可操作性和合理性，模型的外圍半徑取值足夠大（為20 m），整個模型共有4 560個網格。數值模擬過程中通過采用逐漸增大的內壓力pi分別進行計算，最后可得到多組工況下應變軟化材料的變形與塑性區分布等數值計算結果。本文為了回避軟化過程中的分叉或局部化問題，將內壓力pi的值放置在一個合適的范圍內進行計算。具體數值計算結果詳見圖6和圖7。

圖6 不同條件下的塑性區半徑分布情況Fig.6 Change of p lastic zone radiiw ith different internal pressures

圖7 不同內壓力條件下的圍巖特性曲線Fig.7 Ground reaction curve w ith different internal pressures

通過對比圖6和圖7中的應變軟化模型理論解與FLAC3D數值計算結果：發現2種方法所得的塑性區半徑非常吻合，雖然數值解結果曲線是基于Tresca屈服準則繪出的，FLAC3D進行數值計算中采用的應變軟化模型卻是基于Mohr-Coulomb屈服準則條件的，但考慮到Tresca屈服準則是Mohr-Coulomb屈服準則在不考慮內摩擦角時的特例，故得出以上結果是完全可以理解的；對于孔壁徑向位移分布情況（孔洞圍巖特征曲線），FLAC3D數值計算結果在內壓力pi較小時與理論解十分接近，隨著pi的增加，數值計算結果相對理論結果有一定的偏差，但偏差相對較小（約為10%），究其原因是FLAC3D數值計算結果受到網格的密度和分布形態及邊界條件的影響較大，當pi過大時該模型計算的結果可能會有所偏差；2種方式計算的最小擴孔壓力基本一致，pmin約為0.68 MPa。

4 FLAC3D中應變軟化模型特性分析

4.1 FLAC3D的應變軟化模型與理想彈塑性模型的對比分析

為了進一步研究FLAC3D中應變軟化模型的特性，將該計算結果與FLAC3D中的理想彈塑性本構模型（Mohr-Coulomb本構模型）進行了對比分析。基于上節建立的幾何模型，采用理想彈塑性本構模型進行計算，繪制其與采用應變軟化模型計算所得結果的對比圖，如圖8和圖9所示。

圖8 理想彈塑性本構模型與應變軟化模型圍巖特性曲線Fig.8 Ground reaction curves of M ohr-Coulomb model and strain softening model

圖9 理想彈塑性本構模型與應變軟化模型塑性區半徑分布情況Fig.9 Change of plastic zone radii of M ohr-Coulomb model and strain softening model

通過圖8和圖9中的對比分析，不難發現采用應變軟化模型計算出的塑性區半徑比采用理想彈塑性本構模型時要大，且孔洞內壁的徑向位移也相對較大。

應變軟化模型與理想彈塑性本構模型對比分析研究結果表明，對于應變軟化巖土材料，忽略其強度軟化特性對工程是偏于危險的，采用應變軟化模型可能會更加合理的反映圍巖的應力、變形情況。

4.2 FLAC3D中應變軟化模型的相關參數研究

基于上節建立的幾何模型，現就FLAC3D的應變軟化模型中幾個重要參數進行分析。

當εp1＝1.875×10－3時，取不同的殘余系數η＝Ccr／C0，進行“孔洞擴張問題”數值模擬，計算結果如圖10和圖11所示。

圖10 不同η條件下的圍巖特性曲線Fig.10 Ground reaction curves w ith differentηvalues

圖11 不同η條件下的塑性區半徑分布情況Fig.11 Change of plastic zone radiiw ith differentηvalues

圖10和圖11中的結果顯示：殘余系數η對“孔口擴張問題”的塑性區半徑及孔壁徑向位移的影響十分明顯。隨著η的增加，塑性區半徑及孔壁徑向位移均有較大幅度的減小，且內壓pi越大時影響越明顯。由此可見殘余系數η的取值十分關鍵，對模型的位移和塑性區分布均起到十分明顯的作用。

當殘余系數η＝Ccr／C0＝0.9時，通過調整εp1的值，進行了多組數值計算試驗，部分結果如圖12所示。結果表明：εp1的變化對“孔口擴張問題”的塑性區半徑及孔壁徑向位移的影響很小。圖12顯示εp1大幅增加（1.875×10－3→2.5×10－2）時，孔壁徑向位移也只有大約10%左右的下降，且整個變化過程中塑性區半徑變化很小。

圖12 不同條件下的圍巖特性曲線Fig.12 Ground reaction curves w ith differentvalues

5 結 論

（1）本文通過分析巖土工程領域的基本問題之一“圓形孔洞問題”，對該問題基于應變軟化模型建立的現有理論解與FLAC3D的數值計算結果進行對比，所得到的結果在一定程度上驗證了采用FLAC3D中的應變軟化模型進行數值計算時的準確性和適用性。

（2）采用數值計算方法進行巖土工程問題模擬時，通過對應變軟化模型與理想彈塑性本構模型的對比分析，可知忽略應變軟化巖土材料的強度軟化特性對工程是偏于危險的。

（3）通過對FLAC3D中應變軟化模型的相關參數（εp1、殘余系數η）進行了研究：發現殘余系數η與數值模擬中的位移及塑性區分布等關鍵表征參量有著很強的相關性，而塑性應變指標εp1對這些表征參量的影響相對較小。這些規律對數值計算中的參數取值問題有一定的指導意義。

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（編輯：趙衛兵）

Strain Softening M odel of Rock Based on FLAC3D

ZHOU Yong1，WANG Tao1，2，LV Qing1，ZHU Yuan-le1，WANG Xiang-xiang1
（1.State Key Laboratory ofWater Resources and Hydropower Engineering Science，Wuhan University，Wuhan 430072，China；2.Key Laboratory of Rock Mechanics in Hydraulic Structural Engineering of MOE，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

Many of rock and soilmaterials exhibit strain softening behaviour under load in geotechnical engineering practice.To show the strain softening properties of geotechnicalmaterial is crucial in the numerical simulation of geotechnical engineering.Based on previous researches，the authors analyze the circular cavity expansion problem which is one of the basic problems in geotechnical engineering，and compares the results of theoretical solution of strain softeningmodelwith FLAC3Dnumerical calculations.The comparison confirms the accuracy and applicability of strain softeningmodel in FLAC3Dnumerical calculation.Moreover，the numerical results obtained from computations by strain softeningmodel and elastic-perfectly plastic constitutivemodel are compared.Results show that the strength softening of strain softening geotechnicalmaterials could not afford to be ignored.Finally，the related parameters（εpiandη）of strain softeningmodel are analyzed.The research results could help researchers understand the nature ofmechanics in strain softeningmodel of rocks in the numerical calculation.

strain softening；cavity expansion；FLAC3D

TU452

A

1001－5485（2012）05－0051－06

2011－05－03；

2011－07－13

國家自然科學基金（51079111，50879063）；國家自然科學基金重大研究計劃資助項目（90715042）

周 勇（1987－），男，湖北石首人，碩士研究生，主要從事工程地質和巖土力學方面的研究工作，（電話）13871511155（電子信箱）wuhanstudy＠sohu.com。