子結構法在輸電塔全方位長短腿計算中的應用

崔磊

(廣東省電力設計研究院，廣州市，510663)

0 引言

全方位長短腿輸電塔是指鐵塔的4條腿可以互換通用的塔型，在工程設計中可以任意方位調節鐵塔接腿的長度以適應地形變化。因此，采用該塔型可確保將對塔位周圍的地形、地貌以及植被的損壞程度降到最低［1］。

目前主流工程軟件對于這種長短腿結構形式的輸電塔計算沒有較好的方法。計算實質是求解多個大型剛度矩陣方程組。隨著輸電塔結構越來越復雜，該計算方法的局限性逐漸顯現，主要表現在計算時間隨長短腿級數的增長呈指數增加。尤其在滿應力選材計算中，工程軟件不得不犧牲計算模型的數目，挑選特有的長短腿組合進行計算，以至于設計人員后期不得不重新驗算選材結果以保證所有的桿件都能滿足要求。即便如此，由于結構的超靜定特性，所得結果也并不能保證總是最優的。

研究人員試圖用各種各樣的方法縮短線性方程組求解時間，包括優化矩陣帶寬［2］、波前求解［3］等，但還是不能改變多次組裝計算全體桿件剛度矩陣的本質。子結構法是有限單元法［4］中的概念，到目前為止，并無學者將其引入輸電線路鐵塔的計算中，而常規的子結構法又存在凝聚效率較低等不足。鑒于此，本文重新分析了全方位長短腿輸電塔的計算模型，在以往理論研究的基礎上，提出一種將子結構概念應用于全方位長短腿的計算方法，并對其進行改進，優化了計算流程，節省了結構主體部分剛度矩陣組裝和分解的時間，在一定程度上提高了計算效率。

1 計算模型的重新分析

如前文所述，傳統工程軟件采用建立不同模型、分開計算的方法，如圖1(a)所示。其實通過觀察不難發現，全方位長短腿模型除了腿部稍有變化以外，參與計算的很大一部分是共用的，如圖1(b)所示。因此，本文提出了新的計算思路，即把共用的部分看作1個整體，稱之為子結構(或超單元)，子結構通過邊界點與高低腿進行組合。這樣，計算子結構需要的數據準備和剛度矩陣的計算只需要進行1次，并只用記錄與分配交界點自由度即可，大大減少了系統自由度的數量，從而可以大大節省計算的準備工作和計算機的運行時間。1個選用了8級長短腿的輸電塔，假設共400個節點(每個節點以3個自由度標記)。傳統方法的求解規模是84共4 096個1 200階的線性方程組。采用子結構法，交界面上共有8個自由節點，則求解規模降至1個1 176階及4 096個24階的線性方程組;后者在矩陣準備及分解這一部分的消耗時間僅為前者的2.0%，效率的提高是顯而易見的。

圖1 不同方法的對比Fig.1 Comparisons for different methods

2 算法描述

子結構法應用于全方位長短腿輸電塔結構中需要注意2方面的問題:邊界節點自由度的處理以及子結構內部節點的自由度凝聚。

參照前文的分析，可以將包含子結構(共用部分I)的長短腿模型計算分為3個步驟:

(1)劃分子結構。將子結構內部的自由度進行凝聚，包括剛度和荷載2部分。凝聚的結果是子結構對外表現成1個超單元，所有內部的剛度和荷載均等效成邊界上節點自由度的剛度和荷載。

(2)使用剛度集成法將子結構連接外部結構形成總結構，求解位移平衡方程。得到邊界節點自由度的位移。

(3)將邊界節點自由度位移回代凝聚方程，求解子結構內部自由度位移。

首先，為了將子結構內部節點自由度進行凝聚，需要將內部的節點自由度和邊界上的自由度分組編號，使子結構的剛度矩陣及相應的節點位移和荷載列向量寫成分塊的形式:

式中:K為剛度矩陣;δ為待求解的位移列向量;P為荷載列向量;下標b表示與邊界節點自由度相關;i表示與內部節點自由度相關。

由(1)式的第2行可得

將上式回代到(1)式的第1行，得到凝聚方程為

式(3)可以寫成

其中

關于 δi的計算，對(2)式稍作處理，可得

上式寫成

式(8)中

對于(8)式的求解，可以套用經典三角分解法［6］求解線性方程子程序模塊，但Kii對于不同的只需進行一次分解即可。

綜上所述，可以得到求解全方位長短腿模型節點位移的算法。

(1)找出不同方位長短腿的模型相同部分，定義為子結構I。

上述步驟3中的K(k)(l)與工況無關，故可以寫成K(l)，對于不同的工況，K(l)只需組裝和分解1次。但實際上，一方面考慮到可行的長短腿組合很多，需要大量的空間來存儲 K(l);另一方面，K(l)的階數實際上很小(對于無過渡段的輸電塔為24階，有過渡段的為36階)，K(l)的組裝分解時間可以忽略不計;故分工況計算的時候不存儲K(l)也不會對計算時間帶來大的影響。

3 計算結果與計算時間對比

與傳統算法相比，子結構法可節約計算時間。傳統方法核心求解總時間

式中:tC1為共用部分(子結構)組裝剛度矩陣的時間;tD1為分解時間;tL1為生成單工況荷載列陣時間;tS1為求解時間;tC2、tD2、tL2與 tS2分別為共用部分(子結構)與1種長短腿組合的對應時間;M為工況數目，N為長短腿的級數。

比較(10)式與(11)式不難發現，傳統算法比子結構法多消耗的時間為 (N4-1)(tC1+tD1)。文獻［7］指出，對于優化計算各階段的時間耗用統計，利用三角分解法解線性方程組時tC1、tD1耗時最多，因此隨著長短腿級數 N的上升，采用子結構法所節約的時間是相當可觀的。

以某500 kV雙回路轉角塔5G2W5為例(如圖2所示)，結構共有桿件594根，共6級全方位長短腿，54種控制工況，各階段耗用時間統計如表1所示。

同時，為了驗證子結構法計算結果的正確性，隨機抽取9根塔身及塔腿不同位置的桿件進行比較(圖2)，比較結果如表2所示。

?

?

對計算結果進行分析，總結如下:

(1)多工況下，采用子結構法總計算時間為傳統時間的60%，其中輸電塔長短腿結構共用部分模型組裝、剛度矩陣組裝與分解時間僅為傳統法的1.6%，大大提高了計算效率。

(2)實際計算中采用子結構法組裝荷載列向量、回代求解以及回收資源等時間相比傳統算法也有一定減少，這主要是隨著計算規模減小，內存堆空間運作效率提高的原因。因此采用子結構法在硬件上更有利于解決桿件較多的大規模的計算問題。

(3)子結構法與傳統方法同樣是基于剛度法原理的直接解法(并無迭代求解過程)，因此桿件內力計算結果二者完全一致。

從公式(10)、(11)及算例分析表明:在長短腿級數不變的情況下，回代求解時間與子結構法無關，運行時間更多的決定于工況數目，在計算模型固定的情況下，進行一次結構的內力分析以后，對應各根桿件的最大內力必定有且僅有1種控制工況，且所有桿件的控制工況序列在局部桿件變化的情況下是基本不變的［8］。因此，在需要進行桿件內力重分析時，可以一定的方法流程縮短計算時間。注意點如下:

(1)建立模型后計算所有的工況，在“回代桿端位移求內力”這個步驟時，在記錄桿件最大內力的同時記錄對應的工況序號，作為該桿件的附加信息存儲到數據庫(可作為桿件類的成員變量進行處理)。

(2)第1輪所有工況計算完畢后，遍歷所有參與計算的桿件，創建“控制工況”序列，將所有出現的控制工況序號放入該序列，最后存儲入數據庫。

(3)新的1輪內力重新分析，采用“控制工況”序列中出現的工況。

4 結語

本文采用的算法將全方位長短腿的共用部分作為子結構處理，提高了計算效率。結合耗時分析，進一步提出了減少工況數目的方法。另外，子結構法與壓縮帶寬存儲、各種矩陣分解法等優化算法是并行不悖的，綜合各種算法，全方位長短腿輸電塔結構計算效率的進一步提高是可以預期的。

［1］秦慶芝，于泓，張益國，等.輸電線路不等高基礎設計及試驗研究［J］. 電力建設，2008，29(12):26-30.

［2］王家林.有限元模型中自由度層次的帶寬優化算法［J］.西南交通大學學報，2009，44(2):186-189.

［3］金瑞椿，劉永仁，陳學潮.通用波前法［J］.同濟大學學報，1981(3):33-43.

［4］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學出版社，2003:186-190.

［5］葉碧泉，馮振興.大型線性方程組(集)的分段分片直接解法及其與子結構法的耦合［J］.高等學校計算數學學報，1980(6):1-6.

［6］侯新錄.結構分析中的有限元法與程序設計-用Visual C++實現［M］.北京:中國建材工業出版社，2004:192-198.

［7］崔磊.輸電塔結構優化設計理論及應用［D］.上海:同濟大學，2009:49-50.

［8］孫煥純，王躍方.靜定化假設對結構優化設計解的影響［J］.大連理工大學學報，2005，45(2):161-165.