基于遺傳算法的FIR濾波器設(shè)計

吳艷君

（菏澤學(xué)院 物理系，山東 菏澤 274015）

0 引言

FIR數(shù)字濾波器以其具有的穩(wěn)定性和線性相位這兩2個突出優(yōu)點在現(xiàn)代信號處理中發(fā)揮了非常重要的作用。常用的FIR濾波器設(shè)計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和最佳逼近法等，而頻率采樣法直接從頻域進(jìn)行設(shè)計，易于理解與實現(xiàn)，但存在一些不足，比如，如何確定過渡帶樣本值，傳統(tǒng)的查表法不能保證數(shù)據(jù)是最優(yōu)的。

本文提出一種FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計，用遺傳算法確定最佳過渡帶樣本值，得到最大的阻帶最小衰減。

1 頻率采樣法的基本原理

對希望逼近的濾波器的頻率響應(yīng)H （ejω）在0～d2π之間等間隔采樣N點，得到頻率采樣值Hd（k）[1]：

其中，Hg（k）為Hd（k）的幅度函數(shù)，θ（k）為相位函數(shù)。

對 Hd（k）進(jìn)行N點IDFT,得到單位脈沖響應(yīng) h（n）∶

由h（n）可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H（z）：

FIR濾波器具有線性相位的條件是 h（n）為實序列，且 h（n ） = ± h （N - 1- n ） 。若要設(shè)計線性相位濾波器，采樣值 Hd（k）要具有以下約束條件：

2 遺傳算法

遺傳算法[2]（GA，Genetic Algorithm），是一種全局優(yōu)化算法，它借用了生物遺傳學(xué)的觀點，通過自然選擇、遺傳、變異等作用機制，實現(xiàn)各個個體適應(yīng)性的提高。GA通常由3個基本操作組成：選擇、交叉和變異，可定義為一個7元組，又稱遺傳算法的形式化定義[3]，即：

其中，M為群體大小；F為個體適應(yīng)度評價函數(shù)；s為選擇算子；c為交叉算子；m為變異算子；Pc為交叉概率；Pm為變異概率。在運行GA之前需設(shè)置以上各參數(shù)值。圖1所示為遺傳算法的流程。

圖1 遺傳算法流程

3 濾波器設(shè)計

3.1 GA實現(xiàn)

基于GA用頻率采樣法設(shè)計一帶通FIR濾波器，技術(shù)指標(biāo)為：通帶上截止頻率 ωpl= 0 .35π，通帶下截止頻率 ωpu= 0 .65π ，阻帶上截止頻率 ωsl=0.2π ，阻帶下截止頻率 ωsu= 0 .8π，通帶最大衰減Ap= 0 .3dB ，阻帶最小衰減 As= 6 0dB 。

選擇采樣點數(shù)N=40，在0～2π內(nèi)等間隔采樣，采樣間隔 Δω=2π 4 0=0.05π。過渡帶0.2π＜ω＜0.35π、0.65π＜ω＜0.8π中均有2個樣本，對上過渡帶來說，樣本在 k = 5 ,k = 6 和 k = 2 5,k = 2 6處。假設(shè)用 T1、T2表示過渡帶樣本的值（ 0 ＜ T1＜ 1 ,0 ＜ T2＜ 1 ），則采樣的幅度響應(yīng)為：相位響應(yīng)為：

由式（1）得 Hd（k），經(jīng)式（2）可得到61點FIR濾波器的脈沖響應(yīng) h （n）。本文就是運用GA尋找最佳的 T1、 T2，從而得到最大的阻帶最小衰減。

在GA的每i代中，對第 j條個體（表示 T1、T2的字符串）譯碼計算出 T1、 T2，并求出相應(yīng)的實際最小阻帶衰減 As，這樣就可以定義該個體的適應(yīng)度即：

其中，M為群體規(guī)模。然后在設(shè)置必要的參數(shù)后，即可按照圖1執(zhí)行操作，從而實現(xiàn)GA算法。

3.2 結(jié)果分析

對 T1、 T2進(jìn)行編碼，令個體為 L = 3 2的二進(jìn)制字符串，因為設(shè)群體規(guī)模 M = 1 00，Pc=0.9，Pm= 0 .01，G= 2 0，運行GA[5-8]。經(jīng)GA與查表法的設(shè)計結(jié)果如表1所示，表中 As是實際阻帶最小衰減。圖2和圖3分別給出了查表法和GA得到的濾波器幅度響應(yīng)曲線。可看出，經(jīng)GA進(jìn)行優(yōu)化得到最佳的過渡帶采樣點，所設(shè)計的濾波器的阻帶最小衰減參數(shù)，要明顯優(yōu)于查表結(jié)果，獲得了最大的阻帶最小衰減。

表1 GA與查表法設(shè)計結(jié)果

圖2 查表法所得幅度響應(yīng)曲線

圖3 GA所得幅度響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計一直受到廣泛關(guān)注，本文將遺傳算法應(yīng)用于頻率采樣法設(shè)計帶通FIR濾波器，通過尋找過渡帶的最佳采樣值，得到最大的阻帶最小衰減，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)查表法，實現(xiàn)了優(yōu)化設(shè)計的效果。遺傳算法可以應(yīng)用于不同領(lǐng)域，解決各種問題的最優(yōu)解，但對其的改進(jìn)及收斂問題也是以后值得研究的。

[1] 高西全，丁玉美．?dāng)?shù)字信號處理[M]. 第 3版,山西:西安電子科技大學(xué)出版社，2008：217-223．

[2] 李樂,陳鴻昶.一種改進(jìn)的遺傳算法在聚類分析中的應(yīng)用[J].通信技術(shù),2009,42(03):263-265．

[3] 周明，孫樹棟.遺傳算法原理及應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社，1999：18-20．

[4] 張思才,張方曉.一種遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)的改進(jìn)方法[J].計算機應(yīng)用與軟件,2006,23(02):108-110．

[5] 陳彬,周韻,盧紅偉,等.基于遺傳算法的數(shù)字濾波器的實現(xiàn)[J].儀器儀表學(xué)報.2008，29(8)：221-224．

[6] 雷英杰,張善文.MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社.2005：102-105．

[7] 高欣,卓東風(fēng),劉國洋.基于改進(jìn)遺傳算法的圖像分割[J].通信技術(shù),2011,44(10):46-47．

[8] 程之剛,黎湘,莊釗文.一種基于多群體搜索的實數(shù)遺傳算法[J].信號處理,2006,22(06):830-834．