一個重要引理的改進及其應用*

彭 娟

(湖北科技學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 咸寧 437100)

在［1］中有如下引理：

引理1 如果X為實隨機變量，則

對任意p＞0都成立．

本文在Banach空間，用一般的隨機變量代替實隨機變量X，將關于|X|p的結論推廣到更一般的情形φ(‖X‖)．

1 對引理1的改進

定理1 設X是Banach空間的隨機變量，φ(x)為在［0，+∞］的任一有限區(qū)間上絕對連續(xù)且單調上升的函數(shù)，則有

證明 由條件可得φ＇(x)幾乎處處存在且有限，根據(jù)G．Fubini定理有：

即

其中

與引理1相比，定理1將實隨機變量X的函數(shù)|X|P(P＞0)改進為Banach空間隨機變量X的函數(shù)φ(‖X‖)這種更一般的情形．

2 定理1的應用

我們將用到下面兩個引理，這里X1，X2，…，Xn… 是Banach空間獨立對稱的隨機變量．

引理3［2］對每個r＞0及無窮整數(shù)集∧，

由于‖Y‖≤M，容易得到E‖Y‖P≤EMP，現(xiàn)在希望得到EMP被E‖Y‖P控制的上界．運用引理2、引理3及定理1，我們有：

定理2 若φ(x)為在［0，+∞］的任一有限區(qū)間上絕對連續(xù)、單調上升的函數(shù)且φ(0)=0，則

證明 由定理1及φ(0)=0有

由引理2，對任意t＞0有

又因為φ(x)單調上升且φ(0)=0，所以φ＇(x)≥0，從而

結合引理3，與定理2的證明類似，可以得到如下定理：

定理3 若φ(x)為在［0，+∞］的任一有限區(qū)間上絕對連續(xù)、單調上升的函數(shù)且φ(0)=0，則

由定理2還可以得到如下推論：

推論1 對任意p＞0有EMP≤2E‖Y‖P．

該推論是定理2的直接結果．

推論2 對任意 α＞0有EMP≤2Eeα‖Y‖－1．

證明：由定理1與定理2有

［1］吳智泉，王向忱．巴氏空間上的概率論［M］．長春：吉林大學出版社，1990：106～107．

［2］J－P卡昂納．函數(shù)項隨機級數(shù)［M］．武漢：武漢大學出版社，1986：15～16．