零級擬亞純映射的對數級Borel方向*

陳 湘，吳 佳，劉玉璽

(1．湖北科技學院 數學與統計學院，湖北 咸寧 437100;2．咸寧職業技術學院 中專部，湖北 咸寧 437100)

1 基本定義

為方便我們的討論，先介紹一些基本定義［1～2］．

定義1 設f是區域D到D＇的同胚

(1)對D內任意矩形{x+iy：a＜x＜b，c＜y＜d}D，函數f(x+iy)對幾乎所有的x∈(a，b)是y的絕對連續函數，而對幾乎所有的y∈(c，d)，f(x+iy)是x的連續函數．

(2)存在K≥1，使得f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在D內幾乎處處滿足

則稱f(z)是D內的單葉K－擬共形映射，若其值域是Riemann球面上的區域，則稱f(z)是D內的單葉K－擬亞純映射．

定義2 設f(z)是平面區域D內的復值連續函數，若對D內一點z0，存在z0的鄰域U(D)與一正整數n(依賴于z0)使

是U上的單葉K－擬亞純映射，則稱f(z)在z0點是n葉K－擬亞純映射，若f在D內每一點都是n葉K－擬亞純映射，則稱f是D內的K－擬亞純映射．

下面我們給出一些記號的簡單解釋及S(r，f)的含義，設f是復平面上的K－擬亞純映射(當K=1時，f(z)就是亞純函數)．對于任意復數a，記f－a在|z|＜r內的零點總數為n(r，a);若不記零點的重數，則記為珔n(r，a)．相應地，對于角域{|z|＜r}∩{|argz－θ|＜ε}有記號珔n(r，θ，ε，a)．記|z|＜r在映射f(z)=u(x，y)+iv(x，y)下到V上的覆蓋曲面為Fr，Fr對V的平均覆蓋次數

其中|Fr|與|V|分別表示Fr與V的面積．

定義3 設f(z)是超越K－擬亞純映射，則

稱為f的級，當ρ=0時，稱f為零級K－擬亞純映射;

當0＜ρ＜∞ 時，稱f為有限正級K－擬亞純映射;

當ρ=∞ 時，稱f為無窮級K－擬亞純映射．

定義4 設f(z)是復平面C內的p(0＜p＜∞)級K－擬亞純映射，如果對任意ε和C內的任何復數a，可能除去兩個例外值外，有下列等式

成立，則稱從原點出發的半直線argz=θ為f(z)的p級Borel方向，其中n(θ－ε，θ+ε，r，f=a)是f(z)在Ω(θ－ε，θ+ε，r)內零點的個數，重級按其重數計算

2 主要結果

自1997年孫道椿、楊樂［1］的工作發表以來，關于擬亞純映射的值分布取得了很多重要結果．其中孫道椿、楊樂［1］證明了

定理A設f(z)是平面上的ρ(0＜ρ＜∞)級K－擬亞純映射，則f(z)至少存在一條ρ級Borel方向．

后來，陳特為、孫道椿(［3］［4］［5］)研究了無限級K－擬亞純映射的Borel方向的存在性．為了引入他們的結果，先介紹如下結論

定理B［5］設函數B(r)在［a，∞］上連續，且

則存在連續可微函數ρ(r)及U(r)，滿足：

(1)ρ(r)單調下降趨于零，ρ＇(r)單調上升．

在［5］中，陳特為、孫道椿證明了

定理C設f(z)是Z平面上的無限級擬亞純映射，U(r)是它的型函數，則f(z)至少有一條關于U(r)的Borel方向，即對任意0＜ε＜δ及任意復數a(至多除去一個零測集)，恒有

其中n(Ω(φ－ε，φ+ε)，r，a)是f(z)－a在角域Ω(φ－ε，φ+ε，r)內的零點的個數，重級按其重數計算．

對于零級K－擬亞純映射，由于函數增長太慢，研究起來有一定的困難．關于零級K－擬亞純映射的值分布，雖然有一些結果，但并不完善，比如吳昭君［6］應用零級函數的型函數證明了零級K－擬亞純映射的Borel方向的存在性．最近，陳天佑［7］引入對數級的概念研究了零級亞純函數的對數級Borel方向．一個自然的問題是我們能否避開型函數的討論來研究零級－擬亞純映射的對數級Borel方向呢?本文主要利用覆蓋曲面的幾何方法來討論這一問題，事實上，我們將證明如下定理：

定理1 設f(z)是平面上的滿足增長條件

的零級K－擬亞純映射，則至少存在一條從原點出發的射線L：argz=θ，使得

對任意的復數a及任意的正數ε成立，至多可能除去關于a的兩個例外值．

我們稱滿足定理1條件的射線L：argz=θ為f(z)的對數級Borel方向．

3 相關引理及其定理的證明

為了證明定理1，我們還需要如下引理．

引理1［8］設f是平面上的K－擬亞純映射;△：|argz|≤a是包含于△0：|argz|≤a0的角域(0＜α＜α0≤2π);a1，a2，…，aq是q個(q＞2)判別復數，則

下面開始證明定理1．

定理1的證明 由于

如若不然，則

又

則

再把△1等分成兩塊，由(2)知，其中至少存在一塊記為 △2．滿足

且△1△2，如此一直進行下去，我們得到一個角形域序列{△n}，滿足

對于每一個△n都有

由10)，20)，我們可知△n收斂于一條半直線B：argz=θ，下面我們證明半直線B：argz=θ為f(z)一條滿足定理1要求的方向．

如若不然．則存在以B為角分線的某角域Ω：{z：|argz－θ|＜ε}以及三個不同的復數a1，a2，a3使得

由于△n→θ0，則對上述ε＞0，存在充分大的n，使得△nΩ．由引理1得

則

結合(3)式有

這與

相矛盾．

故假設不成立．這就是說，對于任意復數(至多除去兩個例外值)，都有

定理得證．

［1］孫道椿，楊樂．擬亞純映射的值分布［J］．中國科學(A輯)，1997，27，(2)：132 ～139．

［2］李忠．擬共形映射及其在黎曼曲面論中的應用［M］．北京：科技出版社，1998．

［3］孫道椿．Nevalinna方向的存在性［J］．數學年刊，1986，7A，(2)：212～221．

［4］孫道椿，楊樂．擬亞純映射的正規族［J］．中國科學(A輯 )，2003，33，(1)：48 ～56．

［5］陳特為，孫道椿．擬亞純映射的奇異方向［J］．數學物理學報，1999，19，(4)：472 ～478．

［6］吳昭君．零級擬亞純映射的Borel方向［J］．咸寧學院學報，2003，23，(6)：32 ～33．

［7］陳天佑 ，Common Borel directions of ameromorphic function with zero order and its derivative［J］，Proc．Amer．Math．Soc．2004，132，(4)：1171 ～1175．

［8］宋述剛．擬亞純映射的 Borel方向［J］．數學雜志，1999，19，(3)：277 ～281．