一維雙極漂移——擴散方程在半空間上的解的漸近性*

周 芳，黃 娟

(1．湖北科技學院，數學與統計學院，湖北 咸寧 437100;2．咸寧溫泉中學數學組，湖北 咸寧 437100)

0 引言

本文中，我們考察下列一維經典雙極漂移—擴散方程：

這里n1=n1(x，t)和n2=n2(x，t)分別表示電子和孔穴的密度，E=E(x，t)表示電場，P(ni)(i=1，2)是壓力函數，f1=f1(x，t)和f2=f2(x，t)分別表示電子和孔穴的合成函數，μ1和μ2表示電子的遷移率．方程(1．1)是最簡單的宏觀半導體方程．

近來，有許多作者討論了古典漂移—擴散方程(1．1)．Markowich，Ringhofev和Schmeiser以及Kobayashi，Kurokiba和Kawashikawa討論了它的有界域和無界域的穩(wěn)態(tài)解的存在性．Mock建立了三維Neumann邊值條件的初邊值問題的光滑解的整體存在性和漸近行為．Fang和Ito也研究了相應的多維漂移—擴散方程的有Dirichlet邊值條件的初邊值問題的解的整體存在性和漸近行為．而Gajewski，Gajewski和Groger以及Ju¨ngel分別建立了更一般的漂移—擴散方程的初邊值的整體解的存在唯一性．近來，Kobayashi和Ogawa也討論了相似的問題．既然雙極漂移—擴散方程是雙極半導體方程的松弛時間極限，同時許多作者已經考察了雙極半導體方程的初值問題的光滑解和弱解的擴散波現象．因此，我們相信當時間t大的時候，雙極漂移—擴散方程的解也收斂到該非線性擴散波．近來，Li，Zhang，Zhang和Hao考察了雙極漂移—擴散方程的初值問題的強解的整體存在性和擴散波現象．在本文，我們打算考察相應的初邊值問題，即討論一維雙極漂移—擴散方程的初邊值問題的強解的非擴散波現象．

為簡單起見，這里我們僅僅討論下面的簡化方程：

具有初邊值條件

定理1．1 設P(n)是光滑函數，且當n＞0時，P＇(n)＞0．假設n10(x)－n+，n20(x)－n+∈L1(R+)滿足(2．4)，(φ10，φ20)(x)∈H3(R+)∩L1(R+)×H3(R+)∩L1(R+)滿足 ‖(n10－n+，n20－n+)‖L1(R+)‖(φ10，φ20)‖3+‖(φ10，φ20)‖L1(R+)+δ0＜＜1，則初邊值問題(1．2)－(1．3)具有一個唯一的整體解(n1，n2，E)(x，t)∈ (L∞［0，T］H2(R+))∩L2［0，T］，H3(R+)2×L∞［0，T］，(H3(R+))∩L2［0，T］，H4(R+)，滿足

這里C＜0和α＞0是常數．

注1．2 討論相應的多維漂移—擴散方程的類似的結果也是非常有意義的，這在我們以后的工作中再來討論．

1 非線性擴散波

在這一節(jié)，我們主要構造非線性擴散波．首先我們定義

這里函數φ(x，t+1)(使用t+1，而不使用t是為了避免解在t=0的奇性．)滿足

即

具有初邊值

這里φ0(x)是一個給定的光滑函數滿足

已經有作者使用了格林函數的方法和能量估計已經證明了φ(x，t)的存在性，并且

和

和邊值條件

根據(2．5)和(2．6)，，我們有

引理2．1若珔i(x，t)(i=1，2)如上面的定義，則

2 整體存在性和衰減率

在這一節(jié)，我們主要證明(1．2)－(1．3)的解的整體存在性和漸近行為．首先，令

具有初邊值條件

這里

另外，注意

為了后面的使用，我們也導出E滿足的方程：

具有初邊值條件

首先，使用標準的方法，我們能證明(3．1)－(3．3)的局部解的存在性．這里我們僅僅給出結果，而省略細節(jié)．

引理3．1 設P(n)是光滑函數，且當n＞0時有P＇(n)＞0，假設(φ10，φ20)(x)∈H3(R+)×H3(R+)，那么對某個時間T＞0，初值問題有一個唯一的解(φ1，φ2)∈L∞(［0，T］，H3(R+))∩L2(［0，T］，H4(R+))

注3．2 事實上，根據(3．4)我們有

使用連續(xù)性方法，為了推廣局部解到整體解，我們僅僅需要(φ1，φ2)的先驗估計．因此，在下面我們著重建立(φ1，φ2)的先驗估計．為此，我們記

現在我們給出先驗估計如下．

證明 分別用φ1乘以(3．1)，用φ2乘以(3．2)，然后在R+積分得

另外，注意到

它和(3．8)— (3．9)一起蘊含了

因此，聯立(3．10)和(3．11)，立即得到命題 3．3 的證明．

根據命題3．3和連續(xù)性方法，我們能把(3．1)－(3．3)的局部解推廣成整體解．

其次，我們能導出電場E的指數衰減率．首先，根據上面的結果，我們知道強解(φ1，φ2，E)滿足

那么根據Sobolev嵌入定理，知

從而，由(3．1)－(3．2)有，得

那么，我們有

引理3．5 假設(φ1，φ2)是(3．1)－(3．3)的整體光滑解，則電場E滿足下式

證明 在(3．5)兩邊乘以 ，然后在 上積分得到

又由Gronwall不等式知，存在正數α1，使得

成立

相似的，存在正數α2和α3，使得

和

取 α=min{α1，α2，α3}，我們即得(3．15)．

利用E的指數衰減率，下面我們導出φ1和φ2的代數衰減率．

證明 在(3．1)兩邊乘以(1+t)φ1x，然后在R+上積分得到

利用引理2．1 和(3．12)，有

那么我們立即得到

同理，當k=2，3，有

聯立(3．20)和(3．21)得到在(3．19)里的φ1的估計．完全相似的我們能得到在(3．19)里的φ2的估計．證畢．

［1］W．Fang，K．Ito，Solutions to a nonlinear drift－ diffusion model for semiconductors，Electro［J］．Differential Equations，15(1999)，38．

［2］W．Fang and K．Ito，Global solutions of the time－dependent drift－diffusion model semiconductor equations［J］．Differential Equations，123(1995)，523～566．

［3］W．Fang and K．Ito，Asymptotic behavior of the driftdiffusion semiconductor equations［J］．Differential Equations，123(1995)，567～587．

［4］H．Gajewski，On the uniqueness of solutions to the driftdiffusion model of semiconductor devices［J］．Math．Models Methods Appl．Sci．，4(1994)，121 ～133．

［5］H．Gajewski and K．Groger，On the basic equations for carrier transport in semiconduc － tors［J］．Math．Anal．Appl．，113(1986)，12 ～35．